精品解析：河北省邢台市第十二中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学 说明： 1．本试卷共6页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（共12道题，每题3分，共36分） 1. 下列三角函数的值是的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】A、＝，符合题意； B、＝，不符合题意； C、＝，不符合题意； D、＝，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，且， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 3. 已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据成比例线段的性质，即可求解． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是一组成比例线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一个三角形只有一个外接圆 B. 三点确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的外心到三角形三条边的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可． 【详解】解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理以及圆有关的知识，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 5. 如图，点A，B，C三点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质及圆周角定理，牢记圆的性质是解题关键，设点P是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接，先求出进而求出结论． 【详解】解：设点P是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：：：， ：：， ∽， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 7. 已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么它和函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性判断出k0,再由函数的性质即可判定图形所过象限. 【详解】解：∵y=kx中，y随x的增大而减小， ∴k0, ∴的图像经过二四象限,的图像经过二四象限, 故选D. 【点睛】本题考查了函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数增减性与系数的关系是解题关键. 8. 如图，与相切于点A，连接交于点B，连接．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先利用切线的性质得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算的度数即可． 【详解】解：∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 10. 在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 11. 如图，，，是上的点，，，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，，过点作于点，根据正切值及圆周角定理求出，，解直角三角形求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 圆的半径为． 故选：B． 12. 如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，如图，与交于点E，连接、，先由已知推出，，则，，，进而得是等边三角形，则，，进而得，扇形的面积扇形的面积，再根据阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，与交于点E，连接、， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴扇形的面积扇形的面积， 阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积 梯形的面积 ， 故选：D． 二、填空题（共4个小题，共13分，13-15题每空3分，16题每空1分） 13. 在中，，，．则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据正弦的定义：对边比斜边求出，再根据勾股定理，进行计算即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 故答案为：3． 14. 若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的意义． 根据图像在第二、四象限列不等式计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，反比例函数的图像经过点，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数表达式为， 故答案为：． 16. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~4的整数）．函数的图象为曲线L． （1）的坐标是______ （2）当曲线L过时，k的值为______，此时曲线L是否过？______（填“是”或“否”） （3）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，请直接写出k的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 12 ③. 是 ④. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是解决本题的关键． （1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，即可求解； （2）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，即可求得的坐标，据此即可解答； （3）分别求得过点和时，过点和时的k值，即可求解． 【详解】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， 故答案为：； （2）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， 当曲线L过时，把代入解析式，得， ∴， 当时，， ∴此时曲线L过点； 故答案为：12；是； （3）当函数过点和时，， 当函数过点和时，， ∴若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：， 故答案为：． 三、解答题（共71分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，先把各特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，垂足为，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】（）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，然后由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义即可解答； 本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 在中，，， ，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 19. 某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． （1）请直接写出P与S的函数关系式． （2）求m的值，并解释m的实际意义． （3）如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】（1） （2），当木板对地面的压强时，木板面积是； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图象得出结果． （1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式； （2）将代入解析式，可求出S的值，即可求解； （3）将代入解析式，可求出S值，然后根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数关系式为， 把代入，得， 解得， ∴P与S的函数关系式； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， 当木板对地面的压强为时，木板面积是； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， ∵在中，， ∴P随S的增大而减小， 故当压强不超过时，木板的面积至少是． 20. 如图，两个圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于C，长为，小圆半径为，求大圆的半径． 【答案】大圆的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和勾股定理．关键是构造直角三角形进行解答．连接，先根据切线的性质得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出便可． 【详解】解：连接，如图， ∵为小圆的切线， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 则大圆的半径为． 21. 已知扇形的圆心角为，半径为，如果用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的全面积是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥，设底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求出底面圆的半径，然后分别求出圆锥的侧面积和底面积，即可求解． 【详解】解∶ 设底面圆半径为r， 则， 解得， ∴圆锥的侧面积为，底面积为， ∴圆锥的全面积为． 22. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键； （1）根据题意可得，即有，问题随之得解； （2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可； （3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解． 【小问1详解】 由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； 【小问2详解】 由图象可知自变量x的取值范围为或 【小问3详解】 若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴． 23. 数学课上，老师给出这样一个题目： 如图1，已知内接于，过点B的直线与相切．求证：； 小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过B作的直径，连接． （1）请按小明的做法完成证明． 证明：过B作的直径，连接． （2）请利用题目中心结论，完成以下证明． 如图2，Q为外一点，经过Q的直线交于E、F．经过点Q的直线与相切于点D．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）先根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余得到，再根据切线性质得到，进而利用同角的余角相等可得结论； （2）连接，由（1）中结论得到，证明得到，整理可得结论． 【小问1详解】 证明：过B作的直径，连接，如下图， ∴， ∴， ∴， ∵过点B的直线与相切， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 由（1）知， 又∵， ∴， ， ． 24. 图中是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，带动点Q使磨盘绕点O转动，，． （1）当点O、P、Q三点共线时，的长为 ． （2）点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过的过程中： ①与相切于点Q，如图1，求的长； ②从①中相切的位置开始，点P继续向点A方向滑动至点，点Q随之逆时针运动至点，此时，求点Q运动的路径长（结果保留π）（参考数据：，，） 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分点Q在线段上和点Q在的延长线上两种情况，分别利用勾股定理求解即可； （2）①连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理可进行求解；②连接、，过点作交于点．证明四边形是平行四边形，得到，解直角三角形得到，利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图：当点Q线段上时， 在中，， ， ； 如图：当点Q在的延长线上时， ， ， 综上，的长为或； 【小问2详解】 解：①如图1，连接， 与相切于点， ， 在中， ， 在中，； ②如图2，连接、，过点作交于点． ，， 四边形是平行四边形， 交于点 ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质及勾股定理，弧长的计算，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学 说明： 1．本试卷共6页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（共12道题，每题3分，共36分） 1. 下列三角函数的值是的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一个三角形只有一个外接圆 B. 三点确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的外心到三角形三条边的距离相等 5. 如图，点A，B，C三点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么它和函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是 （　　） A. B. C. D. 8. 如图，与相切于点A，连接交于点B，连接．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，．是内切圆，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，，是上的点，，，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（ ） A B. C. 1 D. 二、填空题（共4个小题，共13分，13-15题每空3分，16题每空1分） 13. 在中，，，．则值为______． 14. 若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是___________． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，反比例函数的图像经过点，则反比例函数的表达式为______． 16. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~4的整数）．函数的图象为曲线L． （1）的坐标是______ （2）当曲线L过时，k的值为______，此时曲线L是否过？______（填“是”或“否”） （3）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，请直接写出k的取值范围______． 三、解答题（共71分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，垂足为，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 19. 某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． （1）请直接写出P与S的函数关系式． （2）求m的值，并解释m的实际意义． （3）如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 20. 如图，两个圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于C，长为，小圆半径为，求大圆的半径． 21. 已知扇形圆心角为，半径为，如果用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的全面积是多少？ 22. 如图，已知反比例函数和一次函数图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积． 23. 数学课上，老师给出这样一个题目： 如图1，已知内接于，过点B的直线与相切．求证：； 小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过B作的直径，连接． （1）请按小明的做法完成证明． 证明：过B作的直径，连接． （2）请利用题目中心结论，完成以下证明． 如图2，Q为外一点，经过Q的直线交于E、F．经过点Q的直线与相切于点D．求证：． 24. 图中是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，带动点Q使磨盘绕点O转动，，． （1）当点O、P、Q三点共线时，的长为 ． （2）点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过的过程中： ①与相切于点Q，如图1，求的长； ②从①中相切的位置开始，点P继续向点A方向滑动至点，点Q随之逆时针运动至点，此时，求点Q运动的路径长（结果保留π）（参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$