第十七讲 轴对称及其性质（3个知识点5大典例）暑假预习讲义2025-2026学年八年级上册数学人教版

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第十七讲 轴对称及其性质 知识点梳理 知识点1 轴对称图形及对称轴 1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 2.判断一个图形是否轴对称图形可利用轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，看是否能够完全重合，若完全重合，则这个图形就是轴对称图形。否则不是轴对称图形。 要点诠释： （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 知识点2 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 要点诠释： 1.两个图形之间的特殊位置关系 2.两个图形成轴对称时，对称轴是唯一的 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 要点诠释： 轴对称图形 ：沿对称轴折叠后两部分重合，对称轴可能唯一（如等腰三角形）或无数（如圆）。 两个图形成轴对称 ：通过平移、旋转等操作可视为一个整体轴对称图形，其对称轴由对应点连线垂直平分确定 典例精讲 题型1 轴对称图形的识别 例1．围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 名师支招 判断一个图形是否轴对称图形可利用轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，看是否能够完全重合，若完全重合，则这个图形就是轴对称图形。否则不是轴对称图形。 针对训练1 1．下面的图象是我国几所大学的校徽，其中校徽中的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型2 成轴对称的两个图形的识别 例2．下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（　　） A． B． C． D． 名师支招 1.两个图形之间的特殊位置关系 2.两个图形成轴对称时，对称轴是唯一的 针对训练2 1．下列说法中，正确的个数是（　　） 轴对称图形只有一条对称轴，轴对称图形的对称轴是一条线段，两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，全等的两个图形一定成轴对称，轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②如果等腰三角形的一个外角是80°，则另外两个角一定都等于40°；③如果两个三角形全等、则它们必是关于某条直线成轴对称的图形．④若两个直角三角形斜边上的中线相等，则这两个直角三角形全等．其中正确的判断有　 　（填序号即可）． 3．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等 ②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 ③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 ④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 ⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 符合题意命题的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型3 求对称轴条数与画对称轴 例3．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴． 名师支招 基本图形对称轴数量 线段 ：2条（线段所在直线及垂直平分线） 射线 ：1条（射线所在直线） 直线 ：无数条（直线本身及所有垂直于它的直线） 角 ：1条（角平分线所在直线） 圆 ：无数条（过圆心的任意直线） 等腰三角形 ：1条（底边上的高/中线/顶角平分线所在直线） 等边三角形 ：3条（各边上的高/中线/角平分线所在直线） 正方形 ：4条（两条对角线及对边中线所在直线）  正多边形对称轴规律  奇数边正多边形 ：对称轴条数等于边数（如正三角形3条、正五边形5条） 偶数边正多边形 ：对称轴条数等于边数（如正方形4条、正六边形6条） 针对训练3 1．下面的轴对称图形中，只能画出一条对称轴的是（　　） A．长方形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．圆 2．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴． 3．画出下列轴对称图形的所有对称轴． （1） （2） （3） 题型4 轴对称和轴对称图形的性质判断结论 例4． 点A与点A´关于直线L对称，则直线L是(　　) A．线段AA´的垂直平分线 B．垂直于线段AA´的直线 C．平分线段AA´的直线 D．过线段AA´中点的直线 名师支招 通过平移、旋转等操作可视为一个整体轴对称图形，其对称轴由对应点连线垂直平分确定 针对训练4 1． 如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点(落在点A处. （1）求证：∠BAE=∠C； （2）若∠BAE=32°，求∠B的度数. 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标________； （2）在轴上找点，使得最小，并在轴上标出点的位置，直接写出点的坐标________． 3.如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 题型5 轴对称和轴对称图形的性质的应用 例5．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为　 　．（用含的代数式表示） 名师支招 轴对称性质通过转化问题（如折线为直线）、简化计算（如对称点连线）和构造模型，广泛应用于几何证明、工程设计和实际生活场景中 针对训练5 1．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． （1）如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； （2）在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 3．一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是 ，则这辆汽车的牌照号码应为　 　. 4．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形． 创新拓展能力提升 1．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA． （1）求证：∠BAD＝∠EDC； （2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由． 2．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（　　） A．15 B． C．20 D． 3．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹. （1）在图①中，画出线段O'A'，使O'A'与OA关于直线l成轴对称； （2）在图②中，画出△BCD的对称轴； （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF. 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，小方格的边长为． （1）画出关于轴的对称图形，并写出，的坐标； （2）求出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第十七讲 轴对称及其性质（解析版） 知识点梳理 知识点1 轴对称图形及对称轴 1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 2.判断一个图形是否轴对称图形可利用轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，看是否能够完全重合，若完全重合，则这个图形就是轴对称图形。否则不是轴对称图形。 要点诠释： （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 知识点2 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 要点诠释： 1.两个图形之间的特殊位置关系 2.两个图形成轴对称时，对称轴是唯一的 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 要点诠释： 轴对称图形 ：沿对称轴折叠后两部分重合，对称轴可能唯一（如等腰三角形）或无数（如圆）。 两个图形成轴对称 ：通过平移、旋转等操作可视为一个整体轴对称图形，其对称轴由对应点连线垂直平分确定 典例精讲 题型1 轴对称图形的识别 例1．围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 名师支招 判断一个图形是否轴对称图形可利用轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，看是否能够完全重合，若完全重合，则这个图形就是轴对称图形。否则不是轴对称图形。 【答案】C 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：C、图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，∴是轴对称图形，C正确； A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，A、B、D错误； 故答案为：C. 【分析】根据轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐一判断即可. 针对训练1 1．下面的图象是我国几所大学的校徽，其中校徽中的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，故D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐项进行判断即可. 2．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，故D不符合题意. 故答案为：A. 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可一一判断得出答案. 3．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 题型2 成轴对称的两个图形的识别 例2．下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（　　） A． B． C． D． 名师支招 1.两个图形之间的特殊位置关系 2.两个图形成轴对称时，对称轴是唯一的 【答案】D 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，A不符合题意； B、不是轴对称图形，B不符合题意； C、不是轴对称图形，C不符合题意； D、是轴对称图形，D符合题意． 故答案为：D． 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；判断即可. 针对训练2 1．下列说法中，正确的个数是（　　） 轴对称图形只有一条对称轴，轴对称图形的对称轴是一条线段，两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，全等的两个图形一定成轴对称，轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】轴对称的性质；轴对称图形 【解析】【解答】解：(1)比如圆是轴对称图形，它有无数条条对称轴，故(1)说法错误； (2)轴对称图形的对称轴是一条直线， 故(2)说法错误； (3)两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，(3)说法正确； (4)全等的两个图形不一定成轴对称，故(4)说法错误； (5)轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，(5)说法正确； 则正确的有③⑤共2个. 故答案为：B. 【分析】根据轴对称图形的概念和轴对称的性质结合题目中的说法求解. 2．下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②如果等腰三角形的一个外角是80°，则另外两个角一定都等于40°；③如果两个三角形全等、则它们必是关于某条直线成轴对称的图形．④若两个直角三角形斜边上的中线相等，则这两个直角三角形全等．其中正确的判断有　 　（填序号即可）． 【答案】①② 【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称图形 【解析】【解答】解：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等； 已知∠A=∠E，BD=FH，AB=AC，EF=EG，BD平分∠ABC，FH平分∠EFG，求证△ABC≌△EFG， 证明∵AB=AC，EF=EG， ∴∠ABC=∠C，∠EFG=∠G， ∵∠A=∠E， ∴∠ABC=，∠EFG=， ∴∠ABC=∠EFG， ∵BD平分∠ABC，FH平分∠EFG， ∴∠ABD=，∠EFG=， ∴∠ABD=∠EFG， 在△ABD和△EFH中， ， ∴△ABD≌△EFH（AAS）， ∴AB=EF， 在△ABC和△EFG中， ， ∴△ABC≌△EFG（SAS），故①符合题意 ②如果等腰三角形的一个外角是80°，则其相邻内角为100°＞90°， ∴顶角100°，两个底角相等=40°， 则另外两个角一定都等于40°；故②符合题意； ③如图△ABC≌△EFG，但它们不是成轴对称的图形．故③不符合题意； ④若两个直角三角形斜边上的中线相等，OB=OD，∠ABC=∠ADC=90°，但这两个直角三角形不全等．故④不符合题意． 正确的判断有①②． 故答案为①②． 【分析】根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质，轴对称的性质分别判断即可. 3．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等 ②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 ③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 ④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 ⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 符合题意命题的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；轴对称图形 【解析】【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①符合题意 全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②不符合题意 成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③符合题意 等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④不符合题意 成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤不符合题意 综上，符合题意命题的个数是2个 故答案为：A． 【分析】根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可． 题型3 求对称轴条数与画对称轴 例3．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴． 名师支招 基本图形对称轴数量 线段 ：2条（线段所在直线及垂直平分线） 射线 ：1条（射线所在直线） 直线 ：无数条（直线本身及所有垂直于它的直线） 角 ：1条（角平分线所在直线） 圆 ：无数条（过圆心的任意直线） 等腰三角形 ：1条（底边上的高/中线/顶角平分线所在直线） 等边三角形 ：3条（各边上的高/中线/角平分线所在直线） 正方形 ：4条（两条对角线及对边中线所在直线）  正多边形对称轴规律  奇数边正多边形 ：对称轴条数等于边数（如正三角形3条、正五边形5条） 偶数边正多边形 ：对称轴条数等于边数（如正方形4条、正六边形6条） 【答案】解：根据轴对称图形的定义，第二个图形不是轴对称图形，第一个和第三个图形是轴对称图形，对称轴如图所示： 【知识点】轴对称的性质；轴对称图形；作图﹣轴对称 【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，可判断第一个，第三个图形是轴对称图形，根据轴对称图形的性质，利用对应点连线在对称轴上，进而得出两点，画出对称轴即可. 针对训练3 1．下面的轴对称图形中，只能画出一条对称轴的是（　　） A．长方形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．圆 【答案】B 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】A、长方形有两条对称轴，不合题意； B、等腰直角三角形，有1条对称轴，符合题意． C、等边三角形有3条对称轴，不合题意； D、圆有无数条对称轴，不合题意. 故答案为：B. 【分析】分别根据每个图形判断其对称轴的数量，得到一条对称轴的即为正确答案。 2．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴． 【答案】解答：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，可完成此题． 解：（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴． 【知识点】轴对称图形 【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，可完成此题． 3．画出下列轴对称图形的所有对称轴． （1） （2） （3） 【答案】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：如图， 【知识点】轴对称图形 【解析】【分析】（1）图中的五边形不是正五边形，只有一条对称轴，水平的一边垂直平分线就是对称轴； （2）图中三角形是正三角形，有3条对称轴，每条边的垂直平分线就是对称轴； （3）图中菱形有2条对称轴，两对角线所在的直线就是对称轴. 题型4 轴对称和轴对称图形的性质判断结论 例4． 点A与点A´关于直线L对称，则直线L是(　　) A．线段AA´的垂直平分线 B．垂直于线段AA´的直线 C．平分线段AA´的直线 D．过线段AA´中点的直线 名师支招 通过平移、旋转等操作可视为一个整体轴对称图形，其对称轴由对应点连线垂直平分确定 【答案】A 【知识点】轴对称的性质；线段垂直平分线的概念 【解析】【解答】根据轴对称的性质，点A与点A´关于直线L对称，则直线L是线段AA´的垂直平分线。 故答案为：A 【分析】根据轴对称的性质可得答案。 针对训练4 1． 如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点(落在点A处. （1）求证：∠BAE=∠C； （2）若∠BAE=32°，求∠B的度数. 【答案】（1）证明：∠BAC的平分线AE交BC于点E BAE=DAE 将△CED沿DE折叠，使点(落在点A处. DE垂直平分AC EA=EC C=DAE ∠BAE=∠C （2）由（1）得BAE=DAE=C ∠BAE=32° BAE=DAE=C=32° BAC+B+C=180° B=180° -(BAC+C)=180° -(EAD+BAE+C)=84° 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质；角平分线的概念 【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得BAE=DAE，根据折叠的性质可得EA=EC，C=DAE，则 ∠BAE=∠C ； （2）由（1）可得BAE=DAE=C=32°，根据三角形内角和可得B=180° -(BAC+C)=180° -(EAD+BAE+C)=84°。 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标________； （2）在轴上找点，使得最小，并在轴上标出点的位置，直接写出点的坐标________． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，点即为所求， 【知识点】点的坐标；轴对称的性质；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质找到的对应点，，然后顺次连接，根据坐标系写出点的坐标； （2）连接交轴于点，则点即为所求，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． （1）解：如图所示，即为所求， 故答案为：． （2）解：如图所示，点即为所求， 故答案为：． 3.如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 题型5 轴对称和轴对称图形的性质的应用 例5．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为　 　．（用含的代数式表示） 名师支招 轴对称性质通过转化问题（如折线为直线）、简化计算（如对称点连线）和构造模型，广泛应用于几何证明、工程设计和实际生活场景中 【答案】​​​​​​​​​​​​​​ 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角；轴对称的性质 【解析】【解答】解：如图，连接，，过作于， 点关于的对称点恰好落在上， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形中，， ， ， 故答案为． 【分析】连接，，过作于，根据对称性质可得，，根据等腰三角形性质可得，则，根据四边形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 针对训练5 1．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】生活中的轴对称现象；探索图形规律 【解析】【解答】解：根据题意画出小球反弹的路径 弹性小球从点P出发，经过6次反弹又返回到P点 说明小球经过337次循环后又回到P点，然后又碰到矩形的边2次，P-Q-M点 故答案为：C 【分析】首先模拟小球的路径画出草图，寻找它要经过多少次反弹能重返出发点，即找到循环的周期，然后根据题中给定的碰撞次数计算小球循环往复了多少次、还要继续碰撞几次，就能够从图中找到终点。 2．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． （1）如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； （2）在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： ​​​​​​​ （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称的性质 【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质（对应点连线与对称轴垂直），找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 （1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 3．一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是 ，则这辆汽车的牌照号码应为　 　. 【答案】H•8379 【知识点】生活中的轴对称现象 【解析】【解答】解：如图所示： 该车牌照号码为：H•8379. 故答案为：H•8379. 【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解. 4．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形． 【答案】解：如图 【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形 【解析】【分析】根据轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 创新拓展能力提升 1．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA． （1）求证：∠BAD＝∠EDC； （2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°. 又∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC，∠EDC＋∠DEC＝∠ACB， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠EDC＋∠DEC. ∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC， ∴∠BAD＝∠EDC. （2）解：按题意画图如图所示． 猜想：DM＝AM. 理由如下：∵点M、E关于直线BC对称， ∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM. 又由(1)知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD. ∵∠ADC＝∠BAD＋∠B，即∠ADM＋∠MDC＝∠BAD＋∠B， ∴∠ADM＝∠B＝60°. 又∵DA＝DE＝DM， ∴△ADM是等边三角形， ∴DM＝AM. 【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的角，相等的边，再等量代换即可得证；（2）根据题意画出图形，根据轴对称的性质，得∠MDC＝∠EDC，DE＝DM，然后根据（1）的结论和等边三角形的性质证明即可. 2．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（　　） A．15 B． C．20 D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质 【解析】【解答】解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F， ∴，， ∴，， ∴，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于， 依题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 即两次传球中皮球飞过的最短路径为， 故选：B． 【分析】本题考查轴对称，等腰三角形的判定与性质，勾股定理.作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，利用线段的运算可得：，，再根据轴对称的性质可判断两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：，进而可得：，根据等边对等角可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出，再利用勾股定理可求出，再根据三线合一求出，进而可求出两次传球中皮球飞过的最短路径． 3．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹. （1）在图①中，画出线段O'A'，使O'A'与OA关于直线l成轴对称； （2）在图②中，画出△BCD的对称轴； （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF. 【答案】（1）解：如图①，线段 O'A'即为所求． （2）解：如图②，取 CD 的中点 E，作直线 BE，则直线BE 即为所求 （3）解：如图③，点 P 即为所求． 【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称 【解析】【分析】 (1) 找出点A关于直线l的对称点，将得到的点与O连结即可； （2）根据题意，可知三角形BCD是等腰三角形，作出底边上的高线所在的直线即为三角形的对称轴； （3）利用等腰直角三角形的两个底角为45度求解. 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，小方格的边长为． （1）画出关于轴的对称图形，并写出，的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1）解：关于轴的对称图形，则各点到轴的距离等于各点到轴的距离，如图所示， ∴即为所求图形， 根据点关于轴对称的特点，即横坐标变为相反数，纵坐标不变， ∴，的坐标分别是，． 故答案为：，的坐标分别是，. （2）解：根据图示得，． 故答案为：. 【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可. （2）利用三角形的面积公式及割补法求出三角形的面积即可. （1）解：关于轴的对称图形，则各点到轴的距离等于各点到轴的距离，如图所示， ∴即为所求图形， 根据点关于轴对称的特点，即横坐标变为相反数，纵坐标不变， ∴，的坐标分别是，． （2）解：根据图示得，． 学科网（北京）股份有限公司 $$