精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考检查数学试卷

湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年度第一学期 第二次作业检查数学试卷 时量：120分钟 满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 3. 若一个三角形的两边长分别为3和9，则第三边长可能是（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系；根据三角形三边关系定理，第三边必须大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系： ，即． 因此，第三边长可能是11， 故选：D． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班50名学生的身高情况宜采用全面调查 B. “太阳东升西落”是不可能事件 C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键．根据全面调查的适用情况、事件的分类、统计图的选择及概率的意义，逐一分析选项即可． 【详解】A． 调查某班50名学生的身高，人数较少且需精确数据，适合全面调查，正确． B． “太阳东升西落”是必然事件，而非不可能事件，错误． C． 展示各成分百分比应使用扇形统计图，而非条形统计图，错误． D． 投掷硬币26次，正面朝上次数可能接近13次，但不一定正好13次，错误． 故选：A． 5. 已知的半径为，当时，点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断。 【详解】解：∵的半径为，O， ∴点到圆心的距离小于圆的半径， 因此点在内． 故选：A． 6. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线： C. 开口方向向上 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，分析各选项的正误． 【详解】解：，顶点坐标为，对称轴是直线， 二次项系数，开口方向向上，当时，随的增大而增大． 故选：B． 7. 如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解： 是由绕点旋转得到的， 和为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 8. 如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 9. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，连接、，过作于点，根据正六边形的特点得到，，进而证明是等边三角形，则，据此可得答案． 【详解】解：连接、，过作于点，如图所示， ∵多边形是正六边形，正六边形的周长是12， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是2， 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的图象可得再分析反比例与一次函数的图象即可． 【详解】由抛物线图像可知， 所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限． 故选D 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点与关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于原点对称“横、纵坐标分别互为相反数”求得m的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称点的坐标变化规律是解题关键． 12. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，该圆锥的侧面展开图的面积为_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．求出圆锥的底面圆周长，利用公式即可求出圆锥的侧面积． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为， 则圆锥的侧面积为． 故答案为：． 13. 如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A=___________°． 【答案】35 【解析】 【详解】解：∵PC与⊙O相切，∴∠OCP=90°， ∴∠COP=90°-∠P=90°-20°=70°， ∵OA=OC，∴∠A=∠ACO， ∵∠A+∠ACO=∠COP， ∴∠A=35°， 故答案为35. 14. 如图，AB∥CD∥EF，点E，F分别在线段AD，BC上，已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，则DE的长为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的定理即可得出，分别将BF＝4，CF＝6，AE＝5代入，可求DE的长度. 【详解】∵AB∥CD∥EF， ∴，即， ∴DE， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理.三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 15. 如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 16. 如图，已知反比例函数的图象上有一点A，过点A作轴于点B，若的面积为，则此反比例函数的解析式为_______ 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵双曲线在二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共7小题，17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共计72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，二次根式的性质进行计算即可求解；正确计算是解题的关键． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握计算法则是解题关键．将括号内的部分相减，再将除法转化为乘法后计算，最后将代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或． 20. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______； （2）图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； （4）测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 【答案】（1）人 （2）； 补全条形统计图如下： （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． （1）利用B级的人数除其所占百分比即可求解； （2）利用A级人数除总人数，得出其所占比例，再乘360°即得出的大小；利用C级的人数所占百分比乘抽样测试的总人数即可求出C级的人数，从而可补全统计图； （3）求出不及格的人数所占比例，再乘九年级学生总数即可求解； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 （人） ∴本次抽样测试的学生人数是40人， 故答案为：； 【小问2详解】 ． 故答案为：； C级的人数为（人） 【小问3详解】 （人） ∴估计不及格的人数为3600人， 故答案为：3600人； 【小问4详解】 根据题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 甲、乙 乙、丙 乙、丁 丙 甲、丙 乙、丙 丙、丁 丁 甲、丁 乙、丁 丙、丁 由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲乙的有2种， ∴选中甲乙的概率为． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． （1）求证：BF=CF； （2）若DG=8，求FG的长． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD ∴∠E=∠EDC， ∵BE=AB， ∴BE=CD，∠E=∠EDC，∠BFE=∠DFC， ∴△EBF≌△DCF， ∴BF=CF； （2）4． 【解析】 【分析】（1）由“AAS”可证△EBF≌△DCF，可得BF=CF； （2）通过证明△ADG∽△CFG，可得，即可求解． 【详解】证明：（1）略． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△ADG∽△CFG， ∴， ∵BF=CF=BC=AD，DG=8， ∴FG=4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】（1）每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 （2）5辆 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式； （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； 【小问2详解】 解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为5． 答：B型车至少销售5辆． 23. 如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：直线与相切， 理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 我们不妨约定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“守正点”，横纵坐标互为相反数的点为“创新点”．并且我们把图象上只存在守正点的函数称为“守正函数”；只存在创新点的函数称为“创新函数”；既存在守正点又存在创新点的函数叫“守正创新函数”．例如在二次函数的图象上，既存在守正点又存在创新点，所以是守正创新函数． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①函数只有一个守正点；（ ） ②反比例函数一定是守正创新函数；（ ） ③二次函数一定是创新函数．（ ） （2）若该反比例函数的图象上的“守正点”A、B与x轴上的一点构成的的面积为16，求值； （3）已知关于x的二次函数是守正创新函数，且函数图象上只有一个守正点和一个创新点．若有s关于t的二次函数，当时，s有最小值，求a的值． 【答案】（1）①√；②×；③× （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，反比例函数与三角形的面积，反比例函数与一次函数交点问题，二次函数的性质； （1）根据新定义进行判断即可求解； （2）依题意，设，根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据新定义得出，，进而可得，分和，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：① 解得： ∴函数只有一个守正点，故①正确 ②∵在一三象限，与有交点，则是守正函数 与无交点，则不是创新函数，故②错误 ③联立 消去得， 即， ∵，即与无交点， ∴二次函数不是创新函数，故③错误 故答案为：①√；②×；③×． 【小问2详解】 解：如图， 依题意，设，则 ∴ 【小问3详解】 解：∵关于x的二次函数是守正创新函数，且函数图象上只有一个守正点和一个创新点． ∴，有两个相等的实数根， ∴， ∴ ∴ 代入 ∴，即 ∴ ∵，， ∴ ∴对称轴为直线， ∵时，s有最小值， ①当时， ∴时取得最小值，最小值为， ∴ 解得：或（舍去） ②当时，开口向下，则最小值在或 ∴ i）当时，即，则当时取得最小值，最小值为 ∴ 解得：或（舍去） ii）当，即时，时取得最小值，最小值为， 同理可得 解得：（舍去）或（舍去） iii）当即时，同理可得或，由以上可得无合适的解 综上所述，或 25. 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，交于点，过点作，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，且，设的面积为的面积为． ①当，求的长； ②当时，求的最大值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，以及平行线的性质得出角相等，再利用两角对应相等的两个三角形相似证得结论； （2）①连接构造直角三角形，再过B作，根据，可得，，，，证明，可得，根据，解得，在中，根据勾股定理得，求得，在中，，根据，解得； ②过点M作出的高，再由，得出线段间的比例关系，从而可得出的关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，作交于F， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由图可知为直径，，得， ，解得， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴ ②当，即， ， ， ∵， ∴， ∴． 过M作，（以为直径）， 可知， ∴， ∴． 设，则 ∵ ∴ ∵，当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】此题是圆中的相似问题，考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、二次函数的性质等，一般利用两角相等证明相似，同时注意结合圆中作辅助线的技巧，构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年度第一学期 第二次作业检查数学试卷 时量：120分钟 满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 平行四边形 3. 若一个三角形的两边长分别为3和9，则第三边长可能是（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班50名学生的身高情况宜采用全面调查 B. “太阳东升西落”是不可能事件 C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 5. 已知的半径为，当时，点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 不能确定 6. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线： C. 开口方向向上 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 8. 如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点与关于原点对称，则___________． 12. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，该圆锥的侧面展开图的面积为_______（结果保留）． 13. 如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A=___________°． 14. 如图，AB∥CD∥EF，点E，F分别在线段AD，BC上，已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，则DE的长为_____． 15. 如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是_______． 16. 如图，已知反比例函数的图象上有一点A，过点A作轴于点B，若的面积为，则此反比例函数的解析式为_______ 三．解答题（共7小题，17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共计72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______； （2）图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； （4）测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． （1）求证：BF=CF； （2）若DG=8，求FG的长． 22. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 23. 如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 我们不妨约定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“守正点”，横纵坐标互为相反数的点为“创新点”．并且我们把图象上只存在守正点的函数称为“守正函数”；只存在创新点的函数称为“创新函数”；既存在守正点又存在创新点的函数叫“守正创新函数”．例如在二次函数的图象上，既存在守正点又存在创新点，所以是守正创新函数． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①函数只有一个守正点；（ ） ②反比例函数一定是守正创新函数；（ ） ③二次函数一定是创新函数．（ ） （2）若该反比例函数的图象上的“守正点”A、B与x轴上的一点构成的的面积为16，求值； （3）已知关于x的二次函数是守正创新函数，且函数图象上只有一个守正点和一个创新点．若有s关于t的二次函数，当时，s有最小值，求a的值． 25. 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，交于点，过点作，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，且，设的面积为的面积为． ①当，求的长； ②当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $