22.3 实际问题与二次函数 暑期预习讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 知识点一：根据实际问题列出二次函数关系式 1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2.设元：选择一个适当的变量（通常设为 ）表示问题中的一个未知量，并根据题意用含 的代数式表示其他相关的未知量。 3.列关系式：根据题目中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理公式等），列出关于 的二次函数关系式 （）。 4.确定自变量取值范围：根据实际问题的意义，确定自变量 的取值范围（使实际问题有意义，如长度不能为负，人数不能为小数等）。 易错点提示： 1.等量关系找错：未能准确理解题目中的数量关系，导致列出的函数关系式错误。 2.自变量取值范围忽略：只注重列出函数关系式，而忽略了自变量 在实际问题中的取值限制，导致后续求解没有实际意义。 3.单位不统一：在列关系式前，未将所有已知量的单位统一，导致计算错误。 4.表达式不是二次函数：有时可能由于分析错误，列出的表达式不是二次函数，而是一次函数或其他函数。 知识点二：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值 1.配方或公式法求顶点：对于列出的二次函数 ，可以通过配方转化为顶点式 ，或者直接利用顶点坐标公式 求出顶点坐标。 2.判断最值： （1）当 时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为 （或 ），此时自变量 （或 ）。 （2）当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为 （或 ），此时自变量 （或 ）。 3.结合实际意义：求出的顶点横坐标 必须在其取值范围内，此时顶点纵坐标才是实际问题的最值。若不在，则需根据函数在自变量取值范围内的增减性，在端点处取得最值。 易错点提示： 1.配方或计算顶点坐标出错：配方过程中符号出错，或使用顶点坐标公式时计算失误。 2.忽略自变量取值范围对最值的影响：盲目认为顶点处就是最值，而没有检验顶点的横坐标是否在实际问题所允许的自变量取值范围内。若不在，则最值应在自变量取值范围的端点处取得。 3.混淆最大值与最小值：忘记根据二次项系数 的符号来判断函数有最大值还是最小值。 4.最值单位书写：求出的最值是一个具体的数值，要注意带上相应的单位。 知识点三：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题 1.常见模型：如长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积问题，或利用一面墙围矩形、用定长铁丝围图形等。 2.关键步骤： （1）设出一个适当的自变量（通常是图形的边长、宽、高或变化的长度等）。 （2）根据图形的性质和题目条件，用含自变量的代数式表示出与面积相关的其他边长或维度。 （3）根据面积公式列出二次函数关系式。 （4）求出函数的最值及对应的自变量的值，并检验是否符合实际意义。 易错点提示： 1.图形几何关系分析错误：未能正确用自变量表示出图形的其他边长，导致面积关系式列错。例如，在“靠墙围矩形”问题中，忽略了只有三边用材料。 2.自变量取值范围考虑不周：例如，边长不能为负数，围成的图形各部分长度要符合实际。 3.面积公式记错：如梯形面积公式、三角形面积公式等。 知识点四：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹） 1.常见模型：物体做斜抛运动（忽略空气阻力时轨迹为抛物线）、抛物线形桥梁、隧道、拱门等。 2.关键步骤： （1）建立平面直角坐标系：选择合适的原点、x轴和y轴，通常以抛物线的对称轴为y轴，或物体抛出点为原点等，使函数关系式形式最简。 （2）根据已知条件（如顶点坐标、与坐标轴交点坐标等）求出函数关系式。 （3）利用函数关系式解决问题：如求最大高度、达到某一高度的时间、落点位置、宽度等。 易错点提示： 1.坐标系建立不当：导致函数关系式复杂或无法求解。 2.坐标意义理解错误：混淆点的横纵坐标所代表的实际意义（如时间、高度、水平距离）。 3.未能正确使用已知点坐标求函数解析式：代入点坐标计算错误。 4.单位换算问题：如时间单位（秒、分）、长度单位（米、厘米）等。 5.忽略实际情境对自变量取值的限制：例如，时间不能为负，高度不能为负。 知识点五：利用二次函数解决利润最大化问题 1.基本关系：总利润 = （每件商品的利润）×（销售量），或 总利润 = 总收入 - 总成本。 2.关键步骤： （1）设出一个自变量（通常是每件商品的涨价或降价金额，或销售单价）。 （2）用含自变量的代数式表示出每件商品的利润和销售量（销售量往往与单价有关，单价变化会引起销售量反方向变化）。 （3）根据总利润公式列出二次函数关系式。 （4）求出利润的最大值及对应的自变量的值（如最佳涨价/降价金额、最佳销售单价）。 易错点提示： 1.“每件利润”和“销售量”的表达式错误：特别是销售量随价格变化的关系，容易弄错增减性或比例系数。 2.自变量的实际意义混淆：例如，设的是“涨价x元”还是“售价为x元”要清晰。 3.忽略自变量的实际取值范围：如售价不能过高或过低，销售量不能为负数。 4.计算错误：利润关系式往往涉及多项，展开和化简时容易出错。 巩固练习 一、选择题 1．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 2．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 3．小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 4．一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（　　） A． B． C． D． 5．红光公司今年7月份生产儿童玩具20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第三季度儿童玩具的产量y（万件）与x之间的关系应表示为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 7．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 8．学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为　 　秒． 10．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是　 　． 11．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为　 　． 12．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解折式是的一部分，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来走了　 　． 三、解答题 13．有一个直径为的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心处到达最高，高度为． （1）如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式； （2）求出石柱的高度． 14．如图，用长为的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为，面积为． （1）求关于的函数关系式为 ； （2）写出自变量的取值范围（墙足够长）； （3）当时，求的值． 15．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）直接写出上、下边缘抛物线的函数解析式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d（米）的取值范围． 16．中秋节来临前夕，某蛋糕店购进一种品牌月饼，每盒进价是元，蛋糕店规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，请解答下列问题： （1）若每盒月饼售价提高元，求每天可卖出多少盒，销售利润为多少元； （2）设每天的销售利润为元，每盒售价提高元（为整数），求出与之间的函数解析式； （3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的总利润最大？最大利润是多少？ 参考答案 1．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．2 10．4 11． 12．45 13．（1）解：选择图中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线对应的函数关系式为， （2）解：当时， ， 即石柱的高度为． 14．（1）解： 设矩形的一边为 ，则矩形的另一边长为 ∴ 故答案为：. （2）解：由题意可得 解得： ∴自变量的取值范围为. （3）解：令 ∴ ∴ 解得： ∴当时，的值为9． 15．（1）解：上边缘抛物线的顶点是， 设上边缘抛物线的解析式是：，把点代入得：， 解得：； ∴上边缘：； 下边缘抛物线的顶点是，设下边缘抛物线的解析式是：， 把点代入得：， 解得：， ∴下边缘：； 故答案为：，. （2）解：令， ∴ 解得：， ∴， ∴， 答：该行人不会被洒水车淋到水； （3）解：将代入， 得：，整理得，， 解得：或（舍去）， ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∴， 由下边缘抛物线可得，， 综上所述，． 故答案为：. 16．（1）解：由题意，得：盒， 元． 答：每天可卖出盒，销售利润为元； （2）解：依题意， ， 即 （3）解： ，为整数， 当或时，最大，最大值为， 元或元． 每盒售价定为或元时，每天销售的利润最大，最大利润是元。 学科网（北京）股份有限公司 $$