暑期综合提升测试02【范围：第一章 一元二次方程】-2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第一章 一元二次方程综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：变形为，方程仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含两个未知数和，不是一元二次方程． 选项C：，移项得，最高次数为3，属于三次方程，不是一元二次方程． 选项D：，展开并整理：，不是一元二次方程． 故选：A 2．（本题3分）如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：D． 3．（本题3分）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程中，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ； 故选：C． 4．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的情况的关系． 要判断一元二次方程根的情况，需计算判别式的值．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 【详解】对于方程，系数分别为，，， 判别式， 计算得：， 由于，因此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（本题3分）用配方法解一元二次方程，下列变形结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 6．（本题3分）若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（  ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征：．将方程左边表示为完全平方式，比较系数求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， 即的值为或， 故选：B． 7．（本题3分）如图，在长为，宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，则镶嵌的装饰部分的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故选：． 8．（本题3分）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，根的判别式． 根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，再利用根的判别式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 9．（本题3分）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 10．（本题3分）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽度为x米，利用草坪的面积为540平方米可列方程． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意得． 故选：A． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：． 12．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练使用一元二次方程根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． 故答案为：． 13．（本题3分）定义新运算：，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．（本题3分）关于的一元二次方程的一个解是，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法，求出一元二次方程的解，即可解答． 【详解】解：由得 ∴或， 解得． ∴方程的另一个根是． 15．（本题3分）将一元二次方程配方后得到，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）已知关于t的一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程 的两根，则．据此得到，把原式变形后整体代入即可求出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得， 所以 17．（本题3分）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 18．（本题3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法计算即可； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解： 则，，， ∴， 解得：，； （2）∵ ∴ 解得：，． 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用公式法解一元二次方程． （1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解； （2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， 解得，； （2）解：设方程的另一个解为， 由根与系数的关系可知：， 解得， ，解得， ∴，方程的另一个根为． 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 22．（本题9分）以下是小数同学解方程的过程． 解：方程两边同除以，得． 根据小数的解题过程，回答下列问题： (1)小同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)两边同除以不为的数或式，等式依然成立，而可能为 (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）由于可以等于，则方程两边并不能同时除以，所以小数的解题过程不对； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可． 【详解】（1）两边同除以不为的数或式，等式依然成立，而可能为． （2）， ， 或， ，． 23．（本题10分）已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，其中平行于墙的边开有两个长为1米的木质门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)车棚的长为，宽为 (2)不能围成面积为的自行车车棚，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设车棚的宽为，则长为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）假设能围成面积为的自行车车棚，设车棚的宽为，则长为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车棚的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ， 答：车棚的长为，宽为； （2）解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为的自行车车棚， 设车棚的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 此时， 所以此方程无解． 即不能围成面积为的自行车车棚． 24．（本题10分）已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）根据由题意得，，求出，解方程即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴方程必有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴． 解得． 25．（本题12分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元 (3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）取表格两组数据，利用待定系数法求解； （2）根据销量、单价、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可； （3）假设该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元，列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元； （3）解：该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元． 第16页，共16页 第7页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第一章 一元二次方程综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题(每题3分，共30分) 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（    ） A．2 B． C． D．4 3．设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．用配方法解一元二次方程，下列变形结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（  ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 7．如图，在长为，宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，则镶嵌的装饰部分的宽度为（   ） A． B． C． D． 8．定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 9．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(每题3分，共24分) 11．关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 12．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 13．定义新运算：，若，则x的值为 ． 14．关于的一元二次方程的一个解是，则另一个根是 ． 15．将一元二次方程配方后得到，则 ． 16．已知关于t的一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 17．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 18．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 三、解答题(共66分) 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 22．（本题9分）以下是小数同学解方程的过程． 解：方程两边同除以，得． 根据小数的解题过程，回答下列问题： (1)小同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因． (2)请你写出正确的解答过程． 23．（本题10分）已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，其中平行于墙的边开有两个长为1米的木质门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24．（本题10分）已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 25．（本题12分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 第2页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$