第1章 一元二次方程单元测试卷-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第1章 一元二次方程单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 4．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，某摄影爱好者拍摄一张长为，宽为的北盘江大桥风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k 的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 10．若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（   ）． A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 11．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 12．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．方程的根是 ． 14．关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 15．据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 16．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)． (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 19．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 20．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    21．某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） (2)葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 22．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 23．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 3．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 5．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 6．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某月均增长率为x，根据1月份的销售量×（增长率）²＝3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 7．如图，某摄影爱好者拍摄一张长为，宽为的北盘江大桥风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 依题意得，矩形挂图的宽为，长为，长方形面积公式列方程． 【详解】解：由题意知，矩形挂图的宽为，长为， 依题意得，面积为， 故选：B． 8．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ∴， 将，代入，则 故选C． 9．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k 的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组． 让，且二次项的系数不为0，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 解得： 且． 故选：B． 10．若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（   ）． A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长， ①当的腰为6，底边为2，则的周长为； ②当的腰为2，底边为6时，不能构成三角形． 综上所述，该三角形的周长的14． 故选：B． 11．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知，即得出，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：D． 12．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：D． 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的计算是关键． 根据因式分解法求一元二次方程的解的计算方法求解即可． 【详解】解：， ∴或， ∴， 故答案为： ． 14．关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：1． 15．据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参观人数的月平均增长率为x，列方程为， 故答案为：． 16．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或； （2）解：， ， ， ， 或． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，． （1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； （2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 19．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为 (2)每件应降价60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 20．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    【答案】长方形等候区的边为15米，为20米 【分析】如图：设长方形等候区的边为x米，则米，然后再根据“设立一个面积为300平方米的长方形等候区”列一元二次方程即可解答． 【详解】解：如图：设长方形等候区的边为x米，则米，    由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去；当时，，符合题意． 答：长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． 21．某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） (2)葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 【答案】(1) (2)54元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系是， 根据题意，可得， 解得： 故与之间的函数关系式是． （2）由题意可得， 解得，． 尽量要使顾客要得到实惠，售价低， ． 答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是54元． 22．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用作差法和配方法得，即可得出结论； （3）①根据题意可得，，进而得，再根据墙长24米，得，解不等式即可得自变量的取值范围； ②设鸡场的面积为平方米，则，再利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值1； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）①根据题意可得，， ∴， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； ②设鸡场的面积为平方米，则 ， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 23．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$