暑期综合提升测试01【范围：第二章 对称图形—圆】-2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第二章 对称图形—圆综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵圆的半径为，点P到圆心的距离为， ∴，即， ∴点P与圆的位置关系是：P在圆内． 故选：C． 2．（本题3分）如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：， ， 直径， ， 在中，， 故选：B． 3．（本题3分）如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先求得，然后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（本题3分）小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：的长为：， 故选：B． 5．（本题3分）如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数． 先由正多边形的边数求出圆心角的度数，再结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，. ∵正五边形 内接于⊙O， ∴ ， ． 故选： B． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 7．（本题3分）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线定理，需熟练掌握“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”得到的度数是解决本题的关键． 根据可求解的度数，再由可求解的度数，根据结合切线定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 则有， 又∵直线为的切线， ∴， 则， 又∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故选：C ． 8．（本题3分）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 9．（本题3分）如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理以及勾股定理求解边长，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质可得切点为边的中点，利用中位线的性质可得圆的半径，由求解即可． 【详解】解：因为在中，， 所以， 因为在中，点O为的中点， 所以， 记切点为点E，连接，如图， 所以可知， 所以， 因为点O为的中点， 所以点E为的中点， 所以， 所以圆的半径为3，即， 所以， 即的长为2 ． 故选：D ． 10．（本题3分）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知的半径为4，，则点A在 （填“内”、“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点A在外， 故答案为：外． 12．（本题3分）如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是． 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 【详解】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则（1） ，（2）图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内切圆，所以、，则，再根据三角形的内角和定理求解即可； （2）设与分别相切于点D、F、E，连接，可证明四边形是正方形，由，，求得，再证、、，推导出，则，所以的半径长为2，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）， ， 是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为： （2）设与分别相切于点D、F、E，连接， ，， ， 四边形是矩形， ∵是的内切圆， ∴平分，， ， 同理可证：， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，，， ， ， 的半径长为2， ． 故答案为： 14．（本题3分）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，是的直径是弧的三等分点，D是弧的中点，且位于直径的两侧，连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】由圆周角定理得到，，即可求出的度数． 本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半． 【详解】解：是弧的三等分点， ∴的度数， ， ， ， 是弧AB的中点， 的度数， ， 故答案为： 16．（本题3分）如图，的直径平分弦，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂径定理以及圆周角定理，先根据的直径平分弦（不是直径），得，再结合，得，最后由同弧所对的圆周角是相等的，得，即可作答． 【详解】解：∵的直径平分弦（不是直径）， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（本题3分）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可 【详解】解：如图，设这个正边形的外接圆为，连接，， 则， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 18．（本题3分）如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分的周长和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角与弧的关系、弧长公式等知识点，掌握转化思想成为解题的关键． 先根据圆心角与弧的关系以及邻补角的性质可得，进而求得，然后根据周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴图中两个阴影部分的周长和为． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）取圆与格线的交点D，连接，然后作的垂直平分线交于点O，即可； （2）连接并延长交圆于，连接，，，由圆的对称性与圆周角定理可得四边形为矩形，取，与格线的交点，可得四边形，为平行四边形，连接，交于点，连接并延长交圆O于点S，则由中位线的性质可得，可得，可得是的中点，取圆与格线的交点，连接并延长交格线于，连接交于，则四边形为平行四边形，可得，则，连接，则． 【详解】（1）解：如图，点O，点D即为所求； ； 理由如下： ∵， ∴为直径， ∴弦的垂直平分线与的交点为圆心， 连接， ∴， ∴； （2）解：如图，点E即为所求． 理由如下：由作图可得：为直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴为的中点； 如图，弦即为所求， 理由如下： 由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置，圆周角定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 20．（本题8分）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 22．（本题9分）如图，在中，，是上一点，以为直径的切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答； (2)的度数是． 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，所以，则，即可证明，由圆周角定理得，所以； （2）由，得，推导出，则，所以，则，求得，可证明是等边三角形，则，所以． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 切于点， ， ， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ∴，而， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， 的度数是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．（本题9分）如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，过点作于，则，由圆周角定理和等腰三角形的性质可得，即得，得到，进而可证，得到，即可求证； （）连接，由得，即得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 24．（本题12分）如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，连接，直接写出四边形与的面积比． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和圆的切线的性质定理得到，利用直角三角形的性质和同角的余角相等的性质解答即可得出结论； （2）连接，利用切线长定理，同圆的半径相等的性质和线段的垂直平分线的判定定理得到是的垂直平分线，即，利用圆周角定理得到，则，结论可得； （3）利用直角三角形的面积公式求得的面积，再利用三角形的中位线的定义求得的面积，进而求得四边形的面积，代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一） ∵为的直径，与相切于点， ∴， ∴ ∴ 故答案为 （2）证明：∵分别与相切于点、点， ∴ ∴点在的中垂线上， 连接，点、点都在上，如答图所示， ∴ ∴点在的中垂线上， ∴是的垂直平分线，即，，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上， ∴ （3） ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 25．（本题12分）已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接、，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，进而在中，勾股定理，即可求解． （2）在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解； （3）由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解 【详解】（1）解：连接、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴ 在中， ∴ ∴的半径为 （2），理由如下： 在上取点G，使，连接， 同理（1）可得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：点A到的距离是或，理由如下： ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点是这两圆的交点， ①当点P在如图3①所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴A、P、D、B在以为直径的圆上， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，， ∴由（2）中的结论可得：， ∴， ∴； ②当点P在如图3②所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：点A到的距离为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． 第2页，共29页 第1页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第二章 对称图形—圆综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 2．（本题3分）如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（本题3分）如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A．B．C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（本题3分）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知的半径为4，，则点A在 （填“内”、“上”或“外”）． 12．（本题3分）如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 13．（本题3分）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则（1） ，（2）图中阴影部分的面积是 ． 14．（本题3分）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 15．（本题3分）如图，是的直径是弧的三等分点，D是弧的中点，且位于直径的两侧，连接，则的度数为 ． 16．（本题3分）如图，的直径平分弦，若，则 ． 17．（本题3分）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 18．（本题3分）如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分的周长和为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 20．（本题8分）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 21．（本题8分）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 22．（本题9分）如图，在中，，是上一点，以为直径的切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，若，求的度数． 23．（本题9分）如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（本题12分）如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，连接，直接写出四边形与的面积比． 25．（本题12分）已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 第8页，共8页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$