专题03 直线的方程（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题03 直线的方程 题型一：直线的点斜式方程 题型二： 直线的斜截式方程 题型三：直线的两点式方程 题型四： 直线的截距式方程 题型五：直线的一般式方程 题型六：直线与坐标轴围成三角形问题 题型七：直线过定点 题型八：直线的一般式方程与其他形式的相互转化 题型九：直线与坐标轴围成三角形最值问题 题型一：直线的点斜式方程 1．已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 2．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 3．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. 4．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的点和斜率即可利用直线的点斜式方程求得答案； （2）先根据倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求得答案. 【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为． （2）由题意知，直线的斜率， 故所求直线的点斜式方程为． 5．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， (4) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； （4）由两点的坐标可求得直线斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 题型二： 直线的斜截式方程 6．过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线的斜率和纵截距，即可得截距式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为，且纵截距为7， 所以直线的斜截式方程是. 故选：A. 7．倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【答案】 【分析】由倾斜角求出直线斜率，得到直线的斜截式方程. 【详解】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 8．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】由倾斜角为可得斜率为1，用点斜式写出直线方程再化成斜截式方程即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 9．已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，即可写出直线的方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，且，所以， 所以直线的斜率 又直线在在轴上的截距为4，所以直线方程为. 故答案为：. 10．将直线绕点按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是 . 【答案】 【分析】根据题意直线旋转后的倾斜角为120°，斜率为，且过点，写出直线方程化简可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角是60°， 所以按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为，且过点． 所以其方程为，即. 故答案为：. 11．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】由直线的斜率存在，把直线方程设为点斜式，求出在两坐标轴上的截距，利用截距相等得方程求出斜率k，可得直线方程. 【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 题型三：直线的两点式方程 12．过点和点的直线在轴上的截距为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由直线的两点式方程可写出直线的方程，令其中，即可求得答案. 【详解】由题意可得过点和点的直线方程为 ，即 ， 令，则，即过点和点的直线在轴上的截距为， 故选：C. 13．已知直线经过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的两点式求解，然后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点， 所以直线的方程为，化简得． 故答案为：. 14．经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由两点式得直线方程，化为一般式方程即可求得直线与轴交点的坐标. 【详解】由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，即 令，得，故点坐标为. 故答案为： 15．已知△ABC的三个顶点是，，，则BC边的中线AD所在的直线的方程是 . 【答案】 【分析】由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程. 【详解】∵，，∴BC中点，又， ∴AD直线方程为，整理，得：. 故答案为：. 16．由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式： (1)在轴和轴上的截距分别是； (2)经过两点. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用截距式直接写出直线方程，进而化为一般式； （2）应用两点式写出直线方程，进而化为一般式. 【详解】（1）因为在轴和轴上的截距分别是， 所以直线方程的截距式为，整理得． （2）由两点式得，整理得． 17．已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【答案】，直线l在轴上的截距为，直线l在轴上的截距为. 【分析】利用直线的两点式方程及直线的斜截式方程，结合截距的定义即可求解. 【详解】因为A，B两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为，整理得． 所以直线l的方程为， 所以直线l在轴上的截距为， 令，则，解得， 所以直线l在轴上的截距为. 题型四： 直线的截距式方程 18．直线的截距式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的截距式方程的特点进行求解即可． 【详解】由得，即， 所以直线的截距式方程为． 故选：B. 19．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知两点可直接得出. 【详解】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为. 故答案为：. 20．过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. (1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 【答案】(1)8， (2)4， 【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为，代入点结合基本不等式可求出结果. （2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果. 【详解】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，， 因为直线l过点，所以， 又（当且仅当，即，时取等号）， 所以，即， 所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为. （2）由（1）可知， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为. 21．已知中，，，.求： (1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程； (2)BC边的中线所在直线的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出边中点坐标及直线斜率，写出直线方程并化简； （2）求出边中点坐标，写出直线方程后变形即得． 【详解】（1）由题意中点为，， 所求中位线所在直线方程为，整理得． （2）由已知边中点为，直线的斜率为， 直线方程为，整理得截距式方程为． 22．（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求得中点的坐标，再求得线段垂直平分线的斜率，进而得到线段垂直平分线的斜截式方程； （2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程. 【详解】（1）由题意可得，， 所以线段的中点为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 则线段垂直平分线的方程为， 故斜截式方程为. （2）设直线的截距式方程为， 则   ①，  ②. 由①②解得，，， 故直线的截距式方程为. 题型五：直线的一般式方程 23．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 24．已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点，和 ，运用点斜式得方程；（2）求出，运用点斜式得方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 25．已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【详解】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 26．（1）已知直线的一个方向向量为，且经过点，求直线的方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1）；（2）或； 【分析】（1）利用点斜式由直线的方向向量和所过点求解即可； （2）当斜率为零时，直接求出即可；当斜率不为零时设直线方程为，代入点求解即可； 【详解】（1）因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 又经过点， 所以直线方程为：，即； （2）当截距为零时，直线方程为， 当截距不为零时，可设直线方程为， 由直线过点，所以，所以直线方程为， 综上过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或. 27．（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论； （2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 题型六：直线与坐标轴围成三角形问题 28．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 29．直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件: ①△AOB的周长为12; ②△AOB的面积为6. 【答案】存在，. 【分析】假设存在满足条件的直线，由直线方程求得A，B进而得到△AOB的周长与△AOB的面积，由方程组是否有解即可判断. 【详解】解：设直线方程为， 若满足条件（1），则=12.① 又因为直线过点所以.② 由①②可得， 解得， ∴所求直线的方程为=1或=1， 即或. 若满足条件（2），则，③ 由题意得=1，④ 由③④整理得， 解得 ∴所求直线的方程为=1或=1， 即或. 综上所述，存在同时满足（1）（2）两个条件的直线，其方程为. 30．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 31．已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （2）设直线的方程为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：与直线垂直的直线的方程可设为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 所以直线的方程为. （2）解：设直线的方程为， 由题意可的，解的， 所以直线的方程为，即. 32．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2)； (3). 【分析】（1）整理直线方程得．由且可求； （2）由（1）知，直线恒过定点，讨论直线与y轴是否有交点，若有交点，只需纵截距小于等于零即可； （3）设直线的方程，可得，从而可得所求直线的方程． 【详解】（1）证明：整理直线方程得． 由且可得，， 故直线恒过定点，； （2）由（1）知，直线恒过定点， 当直线与y轴没有交点时，即，此时直线方程为，符合题意； 当直线与y轴有交点时，， 求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意， 令，则，， 若直线不经过第二象限，则，∴； 所以m的取值范围为； （3）设直线方程为，， 则，① 由题意得，，② 由①②整理得， 解得，，或，， 所求直线的方程为或 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 所以直线的方程为. 题型七：直线过定点 33．已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【分析】把直线方程变形为关于的方程，令解出即可； 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 34．若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 35．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 36．已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得的坐标，然后判断出，根据基本不等式求得的最大值. 【详解】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 37．已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由直线方程分析可得定点A为，进而有，根据目标式结合基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立条件. 【详解】由题设，， ∴当时，方程恒成立，故直线恒过定点， ∴，则，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为. 故答案为： 题型八：直线的一般式方程与其他形式的相互转化 38．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过两点； (3)过点且在两坐标轴上截距相等． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）根据直线点斜式方程运算求解； （2）根据直线的两点式方程运算求解； （3）根据直线的截距式方程运算求解. 【详解】（1）由点斜式得直线方程为，即. （2）由两点式得直线方程为，即. （3）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为， 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或. 39．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)斜率是，且经过点； (2)过，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可； （2）利用直线的截距式方程进行求解即可； 【详解】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为， 化为一般式为. （2）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为， 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为， 化为一般式为， 综上直线的方程为和. 40．已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的方向向量与斜率之间的关系可得，再结合中点坐标公式运算求解； （2）分类讨论直线是否过坐标原点，利用直线截距式方程求解. 【详解】（1）因为直线的斜率， 由题意可得：，解得， 则，所以MN的中点A的坐标为，即. （2）因为直线过点，设直线在x轴上的截距为，则在y轴上的截距是的， 则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即； 当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 41．的三个顶点是，求 (1)边AB上的中线所在直线的方程； (2)边BC上的高所在直线的方程； (3)边AC上的垂直平分线所在直线的方程； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解. （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2） 边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为，所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 42．已知中，，，.求： (1)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. (2)中平行于边的中位线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）求得边的中点，结合,可得直线的两点式方程，进而化为一般式方程和截距式方程； （2）求出中点的坐标，可得两点连线的两点式方程，继而化为一般式方程. 【详解】（1）由题意知，，，所以边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即得其一般式方程为，截距式方程为. （2）平行于边的中位线就是中点的连线. 因为线段中点坐标分别为，， 所以这条直线的方程为， 整理得一般式方程为. 题型九：直线与坐标轴围成三角形最值问题 43．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 44．（1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式及所过的点求直线方程； （2）由题意直线斜率一定存在且不为0，设直线为，求出与坐标轴交点坐标，并得到三角形面积关于k的关系式，利用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即得直线方程. 【详解】（1）若截距都为0时，则所求直线为； 若截距不为0时，设直线为，则， 所以； 综上，所求直线为或. （2）由题意，直线斜率一定存在且小于0， 设直线为，故， 所以三角形面积， 当且仅当时三角形面积取最小值为4， 所以，对应直线为. 45．已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时， (1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标. (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析,直线恒过定点 (2) 【分析】（1）将直线化为即可求解定点，或者化为， （2）根据直线经过定点，分别求解两直线与坐标轴的交点坐标，即可由三角形的面积公式,结合二次函数的性质求解. 【详解】（1）解法1 当时，，无论为何值，直线过定点； 当时，，直线过定点； 综上：直线恒过定点； 解法2：将直线化为， 由，得，即直线恒过定点. （2）将直线化为，得直线恒过定点， 在直线中，由于，令得， 令，故直线与轴正半轴交于点, 同理在直线中，令，得，故与轴正半轴交于点, 如图，在平面直角坐标系中取点，连接，当实数的值在区间内变化时，过点作出直线的大致图象，与轴交于点与轴交于点. 则点的坐标为，点的坐标为. 因为，所以， 在中边上的高为2，在中边上的高为2， 所以 ， 所以当时，所求四边形的面积最小，最小值为. 46．设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)6， 【分析】（1）分截距是否为0两种情况，求得参数a，即可得答案. （2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为. 当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为， 故，解得， 可得直线l的方程为:. 综上所述，直线l的方程为或. （2）由题意知， 令，解得，解得； 令，解得，解得或. 综上有. ∴ ， 当且仅当，即时取等号. ∴（为坐标原点）面积的最小值是6， 此时直线方程，即. 47．已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：直线的方程为： 提参整理可得：． 令，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2）设直线的方程为． 令 则， 令．则， 直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 此时的方程为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线的方程 题型一：直线的点斜式方程 题型二： 直线的斜截式方程 题型三：直线的两点式方程 题型四： 直线的截距式方程 题型五：直线的一般式方程 题型六：直线与坐标轴围成三角形问题 题型七：直线过定点 题型八：直线的一般式方程与其他形式的相互转化 题型九：直线与坐标轴围成三角形最值问题 题型一：直线的点斜式方程 1．已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 3．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 4．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 5．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 题型二： 直线的斜截式方程 6．过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 7．倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 8．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 9．已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 10．将直线绕点按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是 . 11．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 题型三：直线的两点式方程 12．过点和点的直线在轴上的截距为（    ） A．3 B．1 C． D． 13．已知直线经过点，则直线的一般式方程为 ． 14．经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 15．已知△ABC的三个顶点是，，，则BC边的中线AD所在的直线的方程是 . 16．由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式： (1)在轴和轴上的截距分别是； (2)经过两点. 17．已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 题型四： 直线的截距式方程 18．直线的截距式方程是（    ） A． B． C． D． 19．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 20．过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. (1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 21．已知中，，，.求： (1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程； (2)BC边的中线所在直线的截距式方程. 22．（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 题型五：直线的一般式方程 23．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 24．已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 25．已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 26．（1）已知直线的一个方向向量为，且经过点，求直线的方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 27．（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 题型六：直线与坐标轴围成三角形问题 28．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 29．直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件: ①△AOB的周长为12; ②△AOB的面积为6. 30．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 31．已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程. 32．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 题型七：直线过定点 33．已知直线：，则直线恒过定点 . 34．若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 35．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 36．已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 37．已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为 . 题型八：直线的一般式方程与其他形式的相互转化 38．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过两点； (3)过点且在两坐标轴上截距相等． 39．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)斜率是，且经过点； (2)过，且在两坐标轴上的截距相等. 40．已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 41．的三个顶点是，求 (1)边AB上的中线所在直线的方程； (2)边BC上的高所在直线的方程； (3)边AC上的垂直平分线所在直线的方程； 42．已知中，，，.求： (1)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. (2)中平行于边的中位线所在直线的一般式方程. 题型九：直线与坐标轴围成三角形最值问题 43．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 44．（1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 45．已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时， (1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标. (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值. 46．设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 47．已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$