2.2.4 点到直线的距离课件——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.2.4 点到直线的距离 新授课 情境： 如图，在铁路的附近有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？ 1.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式，能应用两个距离公式解决有关距离问题 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点一：点到直线的距离. 如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，如何求出点到直线的距离呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：（1）求出P（-1，2）到直线l1：2x+y-5=0的距离吗？ 思路： 定义法，其步骤为： 求l 的垂线 的方程 解方程组，得交点P1的坐标 求|PP1|的长 新课讲授 学习目标 课堂总结 设直线PP1的方程为 又因为直线PP1过P（-1,2 ）， 解得C=5，所以PP1的方程为x-2y+5=0 . 解得P1（1,3）. 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）求 到直线 的距离d . 设直线PP1的方程为 又因为直线PP1过 ， 直线PP1方程为 所以 新课讲授 学习目标 课堂总结 ① ② 解得 联立方程 方法一： 新课讲授 学习目标 课堂总结 点到直线的距离公式 因此 新课讲授 学习目标 课堂总结 代入l1，PP1直线方程得： 设 则 ① ② 方法二： ③ ②化简得： ④ ①两边同时减去Ax0，By0，整理得 新课讲授 学习目标 课堂总结 ③ ④ ⑦ 将④与⑥两边平方后相加可得： 因此 从而 新课讲授 学习目标 课堂总结 x y O l P1 思考：（1）如图，直线PP1垂直于直线l，P2为直线上一点， 为l的法向量，则向量 可以怎样表示？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 设 是直线 l 上任意一点， 则 到直线 l 的距离d 满足 是直线 l 的一个法向量 （2）从向量角度考虑，求 到直线 的距离. x y O l P1 新课讲授 学习目标 课堂总结 又因为 是直线 l 上的点，所以 从而 即 因为 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0的距离是(　　) C 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)， 求△ABC的BC边上的高. 整理为一般式方程为 因此所求高为 A(2，2) 2 C x y O B 1 解：直线BC的方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点二：两条平行直线之间的距离 思考：根据点到直线距离的求法，如何求两条平行线之间的距离？ 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离. d 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 求平行线 与 之间的距离. 解：在l1的方程中，令y=0，则x=-1，因此(-1，0)为直线l1上一点. 又因为(-1，0)到6x-8y-5=0的距离为 所以所求距离为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 已知直线 求证：两条直线的距离为 解：设P（x1，y1）为l1上一点，则： 从而 因为P到l2的距离为 所以结论成立 思考：观察直线 Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0 的形式，说说上述式子有什么需要注意的？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 两平行直线间距离公式：已知两条直线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 平行，则它们的距离为： 注意：① 直线方程要化成一般式； ② 两直线方程中 x，y 的系数要相同． 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 已知两平行直线l1：3x+5y+1=0和l2：6x+10y+5=0，求l1与l2间的距离.  解：l2：6x+10y+5=0可以化为3x+5y+=0, ∴l1与l2间的距离 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学回答下列问题： 1.点到直线的距离公式是什么？ 2.两条平行直线之间的距离公式如何表示？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$