专题2.6 圆的标准方程（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.6 圆的标准方程 教学目标 ①理解圆的定义及确定圆的几何要素。 ②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。 ③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。 教学重难点 教学重点：圆的标准方程、根据条件求圆的方程 教学难点：圆方程的求解和应用 知识点01 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练】已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 知识点03点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练】已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练】已知与圆上的动点，则两点间距离的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据点点距离即可求解.到圆心的距离,进而结合圆的半径即可求解. 【详解】由于点在圆外， 所以到圆心的距离为， 而圆的半径为，所以， 故, 故答案为： 题型01求圆的标准方程 【典例1】的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可. 【详解】设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上，分别代入方程①． 得即 三式两两相减，整理得解得 代入，得． 所以的外接圆的标准方程是． 【变式1】已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 【变式2】已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 【变式3】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 【变式4】求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可列方程求解半径和圆心，进而得解. 【详解】设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的标准方程为：. 圆的标准方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设————设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；③解———解方程组，求出，，； ④代————将，，代入所设方程，得所求圆的方程. 题型02 由圆的方程求圆心或半径 【典例1】已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 【变式1】给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心为， 则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ， 由直线的点斜式可得 ，即 . 故选：B. 【变式2】已知圆，则其圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为. 故选：C. 【变式3】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点. 题型03 点与圆的位置关系 【典例1】已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 【变式1】点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 【变式2】点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 【变式3】已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【分析】由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解. 【详解】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 【变式4】点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外. 【详解】因为，所以点在圆外， 故选：C 题型04 与圆有关的最值问题 【典例1】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 【变式1】如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值. 【详解】是以为圆心，半径的圆， 所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离， 如图： 显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和， ∴的最小值为. 故选：C. 【变式2】已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 【变式3】设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出的值，即可得出的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 【变式4】在圆上与点距离最大的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由圆心坐标和点求出距离最大时所在的直线方程，再联立圆的方程即可求得结果. 【详解】由圆的圆心为， 因为圆到点距离最大时即在圆心与点连线上，根据两点式可求得直线为， 联立方程，解得或， 经检验与点距离最大的点的坐标是. 故答案为：. 题型05 与圆有关的对称问题 【典例1】过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【答案】 【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可. 【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 【变式1】已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【答案】 【分析】求出的范围，由直线过圆心可得答案. 【详解】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 【变式2】已知圆的一条对称轴是直线，则 . 【答案】1 【分析】根据圆的对称轴经过圆心的性质，将圆心代入直线方程，即可求得答案. 【详解】由于圆的一条对称轴是直线， 故圆心在直线上，故， 故答案为：1 【变式3】若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】/ 【分析】直线是圆的对称轴，则直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在此直线上， 所以，解得. 故答案为： 【变式4】圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可. 【详解】由可得圆的标准方程为：， 则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得， 故答案为：3. 题型06轨迹方程 【典例1】已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【分析】设，则，又，代入即可求解. 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 【变式1】已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 【变式2】已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“相关动点法”求点的轨迹方程. 【详解】设，，因为为中点， 所以. 又在圆：上， 所以. 即为点的轨迹方程. 故选：A 【变式3】已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解. 【详解】设线段的中点， 则由题，且即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4】已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据中点坐标得到，代入圆中，求出轨迹方程. 【详解】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 故答案为： 1．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解. 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 2．已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 3．若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C． 4．圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 5．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题求得圆的半径，再结合圆心坐标可得出所求圆的标准方程. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为， 故圆的标准方程是. 故选：A. 6．以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 7．已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可. 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 8．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 9．（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 10．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 11．已知圆经过点，，且圆心在轴上.求圆的标准方程. 【答案】 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标求出、，即可求出圆的方程. 【详解】题意设圆的方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为. 12．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 圆的标准方程 教学目标 ①理解圆的定义及确定圆的几何要素。 ②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。 ③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。 教学重难点 教学重点：圆的标准方程、根据条件求圆的方程 教学难点：圆方程的求解和应用 知识点01 圆的定义 平面内到 的距离等于 的点的集合叫作圆，定点称为 ，定长称为 . 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练】已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点03点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在 ②则点在 ③则点在 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在 ②点在 ③点在 【即学即练】已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则 ②若点在上，则 ③若点在内，则 【即学即练】已知与圆上的动点，则两点间距离的取值范围是 . 题型01求圆的标准方程 【典例1】的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【变式1】已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【变式3】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【变式4】求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 圆的标准方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设————设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；③解———解方程组，求出，，； ④代————将，，代入所设方程，得所求圆的方程. 题型02 由圆的方程求圆心或半径 【典例1】已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【变式1】给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆，则其圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【变式3】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点. 题型03 点与圆的位置关系 【典例1】已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【变式1】点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【变式2】点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【变式3】已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【变式4】点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 题型04 与圆有关的最值问题 【典例1】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【变式1】如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆上一点，则的最大值为 . 【变式3】设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【变式4】在圆上与点距离最大的点的坐标是 ． 题型05 与圆有关的对称问题 【典例1】过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【变式1】已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【变式2】已知圆的一条对称轴是直线，则 . 【变式3】若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【变式4】圆关于直线对称，则 ． 题型06轨迹方程 【典例1】已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【变式1】已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【变式2】已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ． 1．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 3．若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 4．圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 10．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 11．已知圆经过点，，且圆心在轴上.求圆的标准方程. 12．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$