专题2.2 有理数的乘法和除法（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.2 有理数的乘法和除法 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数乘法法则 2 知识点梳理02：倒数的概念与求法 2 知识点梳理03：有理数的乘法运算律 2 知识点梳理04：多个有理数相乘的符号法则 3 知识点梳理05：多个有理数相乘的符号法则 3 知识点梳理06：多个有理数相乘的符号法则 3 知识点梳理07：多个有理数相乘的符号法则 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：两个有理数的乘法运算 4 考点2：多个有理数的乘法运算 6 考点3：有理数乘法的实际应用 8 考点4：倒数 9 考点5：有理数乘法运算律 11 考点6：有理数的除法运算 13 考点7：有理数除法的应用 16 考点8：有理数乘除混合运算 18 考点9：有理数乘除中的简便运算 20 考点10：有理数四则混合运算 23 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 25 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 27 考点13：数轴上的翻折 29 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 32 基础夯实 32 培优拔高 38 知识点梳理01：有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点梳理02：倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点梳理03：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点梳理04：多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点梳理05：多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点梳理06：多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点梳理07：多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 考点1：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江温州·期中）（多选）若，是实数，则下列说法正确的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，且，那么 D．如果，，那么 【答案】ABD 【思路引导】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是根据有理数的加法、乘法、减法及绝对值的意义依次对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：A．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意； B．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意； C．如果，，且，那么，原说法错误，故此选项不符合题意； D．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：ABD． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了有理数的运算法则判断符号，绝对值化简等； （1）由有数乘法法则的，由加法法则，即可判断； （2）由有理数乘法法则，即可判断； （3）当a、b、c均为正数时，去绝对值，化简计算，即可求解；当a、b、c均为负数时，同理可求； 当a、b、c中有两个正数一负数时，同理可求；当a、b，c中有一个正数两个负数时，同理可求． 理解有理数加法、乘法法则，绝对值性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； 故答案：； （2）解：因为，， 所以； 故答案：； （3）解：当a、b、c均为正数时， ； 当a、b、c均为负数时， ； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设 ，，， 所以 ； 当a、b，c中有一个正数两个负数时，不妨设 ，，， ． 综上，的值为或． 考点2：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【思路引导】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·江西九江·期中）下列结论：①一个数跟它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】此题考查了有理数的知识，正确掌握倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则是解题的关键． 根据倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则分别计算并判断即可． 【规范解答】解：∵0没有倒数， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确． 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 考点3：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米 (2)20.4升 【思路引导】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，计算出耗油量较即可． 本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵(千米)， ∴该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）， 答：这个过程中共耗油20.4升． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西延安·期末）延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． 与标准质量的差/ 2 0 1 箱数 1 1 1 2 4 1 (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 【答案】(1)千克 (2)超过千克 (3)3030元 【思路引导】本题考查了正负数的应用、有理数乘法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，据此即可求解； （2）求出表格中所有数据的代数和，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负，表示总计不足标准质量，即可解答； （3）先求出10箱苹果的总质量，再乘以12即可得出答案． 【规范解答】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重千克． （2）解：（千克）， 答：与标准质量相比，这10箱苹果总计超过千克． （3）解：（千克）， （元）， 答：这10箱苹果可卖出3030元． 考点4：倒数 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）填空：______；______；的倒数______；小于2的非负整数为______； （2）请将（1）中你所填的数在数轴上表示出来，再把这些数用“<”连接起来． 【答案】（1）；；；，；（2）见解析 【思路引导】本题考查了数轴、相反数、绝对值、倒数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用相反数、绝对值、倒数的定义解答即可； （2）将各数表示在数轴上，利用数轴比较大小即可． 【规范解答】解：（1），，的倒数，小于2的非负整数为， （2）将（1）中所填的数在数轴上表示出来如图， ，． 【变式训练】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）问题情境：下列，，，四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：                       A           B           C         D (1)求四张卡片上数的绝对值的和． (2)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为． ①求，，，的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求出四个数的绝对值，再求和即可； （2）①只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可；②第一种方法把小括号内的式子通分计算加减法，再计算乘法，第二种方法是先计算括号外面的乘法，再利用乘法分配律求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：①∵卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为， ∴； ② ； ． 【考点剖析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，相反数，绝对值，倒数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 考点5：有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【答案】；； 【思路引导】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算． 【规范解答】解：① ② ③ ． 【变式训练】（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【思路引导】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点6：有理数的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东东莞·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算，写出主要计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）按照除法的性质计算； （2）按照乘法分配律计算； （3）按照乘法分配律计算； （4）先算除法，再算加法； （5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的加法； （6）按照加法交换律和结合律计算． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【思路引导】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【规范解答】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 考点7：有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的运算的应用，根据题意找出数量关系即可求解，理解题意，列出算式是解题的关键． 【规范解答】解：∵辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 由辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 则剩余货物：（吨）， ∵辆大卡车和辆小卡车被调走执行其他任务， ∴剩下大卡车数量为（辆），剩下小卡车数量为（辆）， ∴辆大卡车和辆小卡车运货吨， ∴需要的时间为：（小时）， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4；（2）9，13；（3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，理由见解析 【思路引导】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 【规范解答】解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，， 12，的值为； 故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：9，13； （3）如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）． ，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 考点8：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足． (1)_________，_________； (2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？ (3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由． 【答案】(1)；2 (2) (3)4厘米，理由见解析 【思路引导】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数运算的应用等知识． （1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值； （2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出3厘米对应的数； （3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再求出M表示的数，从而求得出上的表示的单位长长，然后由“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，可求得数轴上一个单位长度表示的实际长度，进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度． 【规范解答】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：厘米， 刻度“3厘米”所对应数轴上的数是； （3）解：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米，理由如下， 设移动前N表示的数为：n， ∵将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合， ， ∵，a对应的刻度为2.5厘米，b对应的刻度为1厘米， ∴数轴上一个单位长度表示的实际长度为：（厘米）， ∵移动前M的刻度为“厘米”，b表示的数对应的刻度为“1厘米” ∴移动前M表示的数为：， ∴在数轴上表示的单位长度为（个单位长度）， ∴这把刻度尺有刻度一侧的长度为：（厘米）， 答：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米． 考点9：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【思路引导】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【规范解答】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【变式训练】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 考点10：有理数四则混合运算 【典例精讲】（2025七年级上·安徽·专题练习）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某自来水公司采用价格调控的手段来达到节约用水的目的．规定如表用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 19 66.50 5 25 92.5 (1)自来水公司水费的“调节价”是每立方米多少元？ (2)预计该户居民6月份用水量约为30立方米．请你算一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)自来水公司水费的“调节价”是每立方米4.5元 (2)6月份的水费是115元 【思路引导】本题考查有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）先由4月份水费和用水量求得“基本价”，再由5月份水费和用水量，结合收费规则列式计算即可； （2）根据6月份用水量，结合收费规则列式计算即可． 【规范解答】（1）解：（元） （元） 答：自来水公司水费的“调节价”是每立方米4.5元； （2）解： （元）， 答：6月份的水费是115元． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（2025七年级上·浙江·专题练习）（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的就能到达B地，A地到B地一共多少千米？（根据题意把线段图补充完整，标明信息与问题，并解答） （2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？ B地车辆停放服务收费标价公示牌 计费方式：计时收费 计费单位：元/辆 收费类型 第一小时内 第一小时后 小型车 8元 3元/半小时 第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算． 【答案】（1）见解析；400千米；（2）35元 【思路引导】（1）先根据“路程=速度×时间”求出3小时行驶的路程；把全程看作单位“1”，再行全程的就能到达B地，则已行的路程占全程的，单位“1”未知，用已行的路程除以，求出全程． （2）已知王叔叔停车5小时20分钟，根据停车的收费标准，第一小时内收费8元，还剩下4小时20分，按4小时30分计，有9个半小时，乘每半小时的收费3元，求出第一小时后的收费，再加上第一小时内的收费，即是王叔叔停车需要付的钱数． 【规范解答】（1）解：如图： （千米） （千米） 答：A地到B地一共千米． （2）解：5小时20分钟小时小时20分 4小时20分按4小时30分计， 4小时30分小时， （个）， （元）． 答：他需要付35元． 【考点剖析】本题考查分数除法的应用、行程问题、分段计费问题，掌握速度、时间、路程之间的关系，找出单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量． 【变式训练】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 【答案】(1)小李这一周平均每天销售405单 (2)小李这一周的总收入为2102元 【思路引导】（1）由400单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案； （2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 【规范解答】（1）解： (单). 答：小李这一周平均每天销售405单． （2）解：(元) ． 答：小李这一周的总收入为2 102元． 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 【答案】C 【思路引导】此题考查了有理数的加法和除法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则和除法法则判断即可． 【规范解答】解：∵根据题意，数轴上的，且，， ∴与异号且绝对值大，即，，， 则原点的位置在两点之间，且靠近点， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【思路引导】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【规范解答】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 考点13：数轴上的翻折 【典例精讲】（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【思路引导】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【规范解答】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ① ， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【规范解答】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 1．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（    ） A．160元 B．162元 C．172元 D．180元 【答案】B 【思路引导】根据题意可直接进行列式求解． 【规范解答】解：由题意得： （元）； 故选B． 【考点剖析】本题主要考查有理数乘法的应用，解题的关键是理解题意． 3．（2022·四川广安·中考真题）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 【答案】D 【思路引导】根据倒数的定义，即可求解． 【规范解答】解：2022的倒数是． 故选：D 【考点剖析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 4．（2010·台湾·中考真题）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴和有理数的乘法运算法则，能根据数轴得出是解此题的关键．根据数轴得出，求出，，，，，，再根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 5．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】A 【思路引导】将各选项的运算符号代入计算即可得． 【规范解答】解：， ， ， ， 因为， 所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为， 故选：A． 【考点剖析】本题考查有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可． 【规范解答】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． 2．（2025七年级上·福建·专题练习）红领巾是少先队员的标志．它代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成的．福建省少工委设计一款红领巾包装袋（如图），每个袋子大约需要（    ）平方分米的包装纸． A．200 B．2 C．400 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查长方形的面积，红领巾包装袋有正面和背面两个面，且这两个面都是长方形，我们需要先根据长方形面积＝长×宽，估算出一个面的面积，估算时把11看作10，18看作20，估算出结果后再乘2得到包装袋的总面积，最后将单位从平方厘米换算为平方分米，因为1平方分米平方厘米，把平方厘米换算成平方分米，是小单位化大单位要除以进率100． 【规范解答】解：（平方厘米） （平方厘米） 400平方厘米平方分米 所以，每个袋子大约需要4平方分米． 故答案为：D． 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【分数的应用】《唐宫夜宴》上一位拿骨笛的小姐姐刚上场就犯了一个“失误”，变换位置时竟然“摔了一跤”．观众一阵唏嘘，这表演也太不走心了吧？你要知道骨笛可是20世纪80年代考古学家在河南省舞阳县贾湖村新石器遗址发现的，距今约9000年之久．考古学家常常利用文物中“碳”（一种元素）的含量来测定其年份，“碳”测年法的依据是：生物死亡后，其“碳”的含量大概每过5730年会减少到原来的一半．当生物体内的“碳”含量减少到死亡时的 后，测量误差将导致“碳”测年法失效．从这个角度考虑，“碳”测年法最多可以测量约多少年前的文物？ （    ） A．573年 B．5730年 C．57300年 D．5730000年 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的乘法，根据碳的半衰期特性，每过5730年含量减半．当剩余含量，时测年法失效，需计算此时对应的年数． 【规范解答】解：设经过个半衰期后，碳含量为原来的． 根据题意得：， 解得：， 所以总时间为：年． 故选：C 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试），，那么A与B相比（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的乘法，将式子变形为，根据有理数的乘法计算及乘法分配律即可得出答案． 【规范解答】解： ； 所以． 故选：A． 5．（2025七年级上·江苏·专题练习）小食堂买来一袋千克的大米，天用了千克．照这样计算，这袋大米一共可以吃 天． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数除法的应用，根据“天用了千克”，用除以算出一天吃千克，照这样计算，千克除以算出这袋大米一共可以吃几天．正确理解题意并列式计算是解题的关键． 【规范解答】解：（千克）， （天）， ∴这袋大米一共可以吃天． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【答案】 【思路引导】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错． 根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数． 据此即可求解． 【规范解答】解：的相反数是， 的倒数为； 故答案为：，． 7．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 【答案】60 【思路引导】本题考查了有理数的除法，行程问题，理解行程问题的数量关系，掌握有理数的除法运算是关键． 根据行程中的数量关系可得汽车的速度为（千米/小时），由此即可求解． 【规范解答】解：一辆汽车 小时行千米， ∴汽车的速度为（千米/小时）， ∴（千米）， 故答案为：60 ． 8．（24-25七年级上·天津·开学考试）简便计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)400 (2)25 (3) (4) 【思路引导】本题考查了小数，分数，百分数之间的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将原算式变形为，再进行计算； （2）将原算式变形为，先利用乘法分配律进行括号内计算，再计算除法； （3）括号内先利用乘法分配律进行计算，再计算除法； （4）将原算式变形为，再由乘法分配律进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【答案】(1)元 (2)元 【思路引导】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键． （1）根据分段收费方法计算即可求解； （2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：（元）， 答：他本次住院需要个人支付元钱； （2）解：（元）， 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元． 10．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）张叔叔去年参加医疗保险．今年1月，张叔叔生病住院15天，共需医疗费8500元．按照规定，张叔叔本人需要支付多少元医药费？（根据有关规定，住院医疗费设起付线（500元），起付线以下的医疗费用由参保人自费，起付线以上的医疗费用参保人只需要支付） 【答案】张叔叔本人需要支付2500元医药费． 【思路引导】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，应总费用减去起付线，再乘以，然后再加上起付线即需支付的医药费，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【规范解答】解：（元） 答：张叔叔本人需要支付2500元医药费． 培优拔高 11．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 12．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算．根据节目表演顺序，计算每个节目的候场时间，再乘以对应人数求和． 【规范解答】解： 确定各节目候场时间： 丙作为第一个节目，候场时间为0分钟（无需等待）； 乙作为第二个节目，需等待丙表演结束，候场时间为丙的时长2分钟； 甲作为第三个节目，需等待丙和乙表演结束，候场时间为丙时长+乙时长分钟； 计算各节目候场时间之和： 丙：2人分钟； 乙：4人分钟； 甲：3人分钟； 总和； 因此，9位学生的候场时间之和为26， 故选：C． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【思路引导】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【规范解答】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴是解题的关键．根据点在数轴的位置进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知 ，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确． 故选B． 15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）设a，b，c是不为零的实数，那么的值有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【思路引导】本题考查的是绝对值的含义，有理数的混合运算，分情况讨论：三个数分为三个正数或三个负数或两个正数，一个负数或两个负数，一个正数；再进一步分析并计算即可. 【规范解答】解：∵a，b，c是不为零的实数， ∴三个数分为三个正数或三个负数或两个正数，一个负数或两个负数，一个正数； 当三个数为三个正数时， ∴， 当三个数为三个负数时， ∴， 当三个数为两个正数，一个负数时， 当，，时， ∴， 当，，时或，，时， ∴， 当三个数为两个负数，一个正数； 当，，时， ∴， 当，，或，，， ∴， 综上：的值有4种； 故选：B 16．（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知；；；则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，根据裂项相加法进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ； 故答案为：． 17．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．    【答案】 20 【思路引导】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据10个数字的和为，除甲之外的8张卡片数字之和为，求出甲抽到的两张卡片数字之和为，根据丙抽到的两张卡片上数字之和为，推理得出甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0，根据戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有，得出戊抽到的两张卡片分别为1，3，然后推理得出乙、丁抽到的两张卡片上的数字，最后求出结果即可． 【规范解答】解：∵， 又∵除甲以外，其余每位同学拿到的卡片数字之和为： ， ∴甲拿到的两张卡片的数字之和为：， 观察10个数字可知：，， 如果甲拿到的两张卡片为，，那么剩余的8张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和为，而丙抽到的两张卡片上的数字的和为， ∴甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0， ∴甲拿的两张卡片上的数字之积为； ∵戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有， ∴戊抽到的两张卡片分别为1，3， ∵，， ∴丁抽到的两张卡片为4，，乙抽到的两张卡片为2，， ∴乙抽到的两张卡片上的数字之积为． 故答案为：20；． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为 级． 【答案】756 【思路引导】本题考查了有理数加法的应用，理解题意是解题的关键．先分别求出每一层楼层的台阶的级数的和，然后比较即可． 【规范解答】解：如果舞蹈社团在1层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在2层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在3层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在4层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在5层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； ∵， ∴所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小为756级， 故答案为：756． 19．（24-25七年级上·陕西·期中）定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：．则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是新定义运算的含义，根据新定义列式计算，再进一步列式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 20．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【规范解答】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 有理数的乘法和除法 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数乘法法则 2 知识点梳理02：倒数的概念与求法 2 知识点梳理03：有理数的乘法运算律 2 知识点梳理04：多个有理数相乘的符号法则 3 知识点梳理05：多个有理数相乘的符号法则 3 知识点梳理06：多个有理数相乘的符号法则 3 知识点梳理07：多个有理数相乘的符号法则 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：两个有理数的乘法运算 4 考点2：多个有理数的乘法运算 4 考点3：有理数乘法的实际应用 5 考点4：倒数 6 考点5：有理数乘法运算律 7 考点6：有理数的除法运算 8 考点7：有理数除法的应用 9 考点8：有理数乘除混合运算 10 考点9：有理数乘除中的简便运算 11 考点10：有理数四则混合运算 12 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 13 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 15 考点13：数轴上的翻折 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 19 知识点梳理01：有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点梳理02：倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点梳理03：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点梳理04：多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点梳理05：多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点梳理06：多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点梳理07：多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 考点1：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江温州·期中）（多选）若，是实数，则下列说法正确的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，且，那么 D．如果，，那么 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 考点2：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【变式训练】（24-25七年级上·江西九江·期中）下列结论：①一个数跟它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【变式训练】（24-25七年级上·陕西延安·期末）延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． 与标准质量的差/ 2 0 1 箱数 1 1 1 2 4 1 (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 考点4：倒数 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）填空：______；______；的倒数______；小于2的非负整数为______； （2）请将（1）中你所填的数在数轴上表示出来，再把这些数用“<”连接起来． 【变式训练】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）问题情境：下列，，，四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：                       A           B           C         D (1)求四张卡片上数的绝对值的和． (2)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为． ①求，，，的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 考点5：有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【变式训练】（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1) ； (2)． 考点6：有理数的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东东莞·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算，写出主要计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式训练】（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 考点7：有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 【变式训练】（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 考点8：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足． (1)_________，_________； (2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？ (3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由． 考点9：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【变式训练】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 考点10：有理数四则混合运算 【典例精讲】（2025七年级上·安徽·专题练习）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某自来水公司采用价格调控的手段来达到节约用水的目的．规定如表用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 19 66.50 5 25 92.5 (1)自来水公司水费的“调节价”是每立方米多少元？ (2)预计该户居民6月份用水量约为30立方米．请你算一算，6月份的水费是多少元？ 【变式训练】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（2025七年级上·浙江·专题练习）（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的就能到达B地，A地到B地一共多少千米？（根据题意把线段图补充完整，标明信息与问题，并解答） （2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？ B地车辆停放服务收费标价公示牌 计费方式：计时收费 计费单位：元/辆 收费类型 第一小时内 第一小时后 小型车 8元 3元/半小时 第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算． 【变式训练】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 【变式训练】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 考点13：数轴上的翻折 【典例精讲】（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 1．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（    ） A．160元 B．162元 C．172元 D．180元 3．（2022·四川广安·中考真题）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 4．（2010·台湾·中考真题）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 基础夯实 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 2．（2025七年级上·福建·专题练习）红领巾是少先队员的标志．它代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成的．福建省少工委设计一款红领巾包装袋（如图），每个袋子大约需要（    ）平方分米的包装纸． A．200 B．2 C．400 D．4 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【分数的应用】《唐宫夜宴》上一位拿骨笛的小姐姐刚上场就犯了一个“失误”，变换位置时竟然“摔了一跤”．观众一阵唏嘘，这表演也太不走心了吧？你要知道骨笛可是20世纪80年代考古学家在河南省舞阳县贾湖村新石器遗址发现的，距今约9000年之久．考古学家常常利用文物中“碳”（一种元素）的含量来测定其年份，“碳”测年法的依据是：生物死亡后，其“碳”的含量大概每过5730年会减少到原来的一半．当生物体内的“碳”含量减少到死亡时的 后，测量误差将导致“碳”测年法失效．从这个角度考虑，“碳”测年法最多可以测量约多少年前的文物？ （    ） A．573年 B．5730年 C．57300年 D．5730000年 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试），，那么A与B相比（    ）． A． B． C． D．无法比较 5．（2025七年级上·江苏·专题练习）小食堂买来一袋千克的大米，天用了千克．照这样计算，这袋大米一共可以吃 天． 6．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 7．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 8．（24-25七年级上·天津·开学考试）简便计算． (1) (2) (2) (4) 9．（2025七年级上·全国·专题练习）某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 10．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）张叔叔去年参加医疗保险．今年1月，张叔叔生病住院15天，共需医疗费8500元．按照规定，张叔叔本人需要支付多少元医药费？（根据有关规定，住院医疗费设起付线（500元），起付线以下的医疗费用由参保人自费，起付线以上的医疗费用参保人只需要支付） 培优拔高 11．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）设a，b，c是不为零的实数，那么的值有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 16．（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知；；；则 ． 17．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．    18．（24-25七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为 级． 19．（24-25七年级上·陕西·期中）定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：．则的值是 ． 20．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$