专题2.1 有理数的加法和减法（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.1 有理数的加法和减法 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数加法法则 2 知识点梳理02：有理数加法运算律 2 知识点梳理03：有理数减法法则 2 知识点梳理04：有理数加减混合运算 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：有理数加法运算 3 考点2：有理数加法中的符号问题 3 考点3：有理数加法在生活中的应用 4 考点4：有理数加法运算律 5 考点5：有理数的减法运算 6 考点6：有理数减法的实际应用 7 考点7：有理数减法的实际应用 8 考点8：有理数加减中的简便运算 9 考点9：有理数加减混合运算的应用 9 考点10：省略加法和括号的形式 10 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理01：有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点梳理02：有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点梳理03：有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点梳理04：有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 考点1：有理数加法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知一列数：4.5，，0，，，． (1)将上面的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)在上面的数中，找出绝对值小于但不小于1的所有数，并求它们的和． 【变式训练】（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 考点2：有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式训练】（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 考点3：有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【变式训练】（24-25七年级上·河南商丘·期末）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为______； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 考点4：有理数加法运算律 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【变式训练】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 考点5：有理数的减法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 考点6：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 考点7：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4) 【变式训练】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 考点8：有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (2) ； (4)． 考点9：有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，向前跑记作正数，返回则记作负数，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式训练】（24-25七年级上·河南开封·期末）某公路养护小组乘车沿一条东西向公路巡视养护．某天早晨他们从甲地出发，晚上最终到达乙地，当天汽车的行驶情况依次记录如下： 向东行驶15km，向西行驶10km，向西行驶5km，向东行驶7km，向西行驶13km，向东行驶8km，向西行驶12km，最后向西行驶6km后结束了本次巡视养护． 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)填空：约定向东为正方向，当天汽车行驶路程依次记录为（单位：km） ，，，______，，，______，－6 (2)乙地在甲地的哪个方向？它们相距多少千米？ (3)如果汽车行驶1km平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 考点10：省略加法和括号的形式 【典例精讲】（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【变式训练】把下列各式写成省略加号的形式． （1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝ ； （2） 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 2．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．  B．   C．   D．   3．（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2021·青海西宁·中考真题）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动个单位长度，再向右移动个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按照有理数减法法则，可以转化为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： ， ， ． 5．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 6．（22-23七年级上·重庆永川·期中）践行 “双减”、落实“五项”管理．某校在课后延时服务中开设了“魅力数学”校本选修课程．在课上，老师介绍了“黑洞数”．黑洞数又称为陷阱数，它是一类具有奇特转换特性的整数．任何一个数字不全相同的整数，经过有限次“重排求差”，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数．请你也来试一试： （1）任意写一个三位自然数，它的三个位数字不能完全相同； （2）把这个数中的各位数字按从大到小顺序排列成一个最大的三位数m； （3）然后把这个数中的各位数字按从小到大顺序排列成一个最小的三位数n； （4）将得到的这两个三位数做差，即用，得到一个新的三位数； 对得到的这个新的三位数施行同样的（2）到（4），这样循环下去，就能得到一个不变的“黑洞数”R，那么这个“黑洞数”R是 ． 7．（24-25七年级上·青海西宁·阶段练习）如表，将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在分别表示其中的一个数，则的值为 ． 4 2 1 3 5 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，， ． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 9．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 培优拔高 11．（24-25七年级上·天津宁河·期末）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A、B、C、D、E、F，点A落在数轴上2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上的点是（   ） A．点C B．点D C．点E D．点F 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 15．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）一个自然数，各个数位上的数字之和是17，并且各个数位上的数字都不相同．符合条件的最小数是 ，最大数是 ． 16．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 19．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 20．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 有理数的加法和减法 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数加法法则 1 知识点梳理02：有理数加法运算律 2 知识点梳理03：有理数减法法则 2 知识点梳理04：有理数加减混合运算 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：有理数加法运算 3 考点2：有理数加法中的符号问题 4 考点3：有理数加法在生活中的应用 5 考点4：有理数加法运算律 7 考点5：有理数的减法运算 9 考点6：有理数减法的实际应用 11 考点7：有理数减法的实际应用 13 考点8：有理数加减中的简便运算 15 考点9：有理数加减混合运算的应用 17 考点10：省略加法和括号的形式 19 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 27 知识点梳理01：有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点梳理02：有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点梳理03：有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点梳理04：有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 考点1：有理数加法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知一列数：4.5，，0，，，． (1)将上面的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)在上面的数中，找出绝对值小于但不小于1的所有数，并求它们的和． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点的特征把各数表示出来即可； （2）根据绝对值的定义结合数轴解答即可． 【规范解答】（1）解：把各数表示在数轴上如下： （2）解：由（1）可得，绝对值小于但不小于1的所有数为，，， 它们的和为． 【变式训练】（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【规范解答】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有， 不成立，故错误； 当时，有， 不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 考点2：有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【规范解答】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 【变式训练】（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的加法，数字规律探索，当各项都是负数时，和最小，得出答案． 【规范解答】这列数的第项可表示为， 当各项都是负数时，和最小， 由当时，，当时，， 所以前288项的和最小． 故选：A． 考点3：有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【答案】(1)离出发点3千米，在出发点正东方向 (2)4千米 【思路引导】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键． （1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点的距离； （2）用减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程． 【规范解答】（1）解： （千米）； 答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向； （2）解： （千米）． 答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米． 【变式训练】（24-25七年级上·河南商丘·期末）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为______； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)16米 【思路引导】本题考查了正负数在生活中的应用，有理数的混合运算的应用； （1）根据题干向右为正，向上为正，则点D到点C为先向左格再向上格； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，计算出最终在左右方向上和上下方向上移动的格数，即可解答； （3）把所有的绝对值相加就是总路线． 【规范解答】（1）解：根据题意：从点D到点C记为； （2）解：，， 则扫地机器人最终向右移动2格，向上移动2格， 如图，点即为所求． （3）解：（米）． 答：扫地机器人在此次运动过程中共走了16米． 考点4：有理数加法运算律 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【思路引导】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【规范解答】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （4）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【规范解答】（1）解： （2） （3） （4） 考点5：有理数的减法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【答案】(1)，8； (2)或11 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离，有理数的加减法： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）分原点在点B右侧和左侧两种情况，分别求出点A，点B，点C表示的数，然后求和即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值，由数轴可知：，结合有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置、有理数的加减运算及绝对值进行求解即可． 【规范解答】解：由数轴知，，， ①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确； ④∵， ∴，故④错误； ∴正确的个数有2个， 故选：B． 考点6：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【答案】(1)795，805 (2)袋分别标记为：，，，，，1． 【思路引导】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数． 【规范解答】（1）(克) (克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格． 2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格． 3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格． 4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格． 5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 考点7：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【思路引导】此题考查了绝对值的几何意义，有理数加法，数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数表示的几何意义即可进行求解； （2）根据在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3，即可得到符合条件的数； （3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7，得出满足条件的整数x的值，再求和即可； （4）由的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数4的点之间的距离与数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离之和，则当时，最小，求出答案即可． 【规范解答】（1）解：∵表示数轴上数与数对应点之间的距离， ∴数轴上与之间的距离表示为； （2）表示：在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3， ∴或， 可以表示数轴上的数或数5； （3），表示为在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7， ∴， ∴满足条件的整数x可为，，，，0，1，2，3， ∴整数的和为； （4）解：表示在数轴上表示到4和的距离之和， 所以当x在与4之间的数轴上时，有最小值为， 即的最小值为9． 考点8：有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相应的运算法则、运算顺序和运算律是解题的关键． （1）根据符号的化简法则将原式化简，再根据加法交换律和结合律分别将正负数进行分组，再进行计算即可； （2）根据符号的化简法则将原式化简，同时将小数化为分数，再根据加法交换律和结合律分别按同分母进行分组，再进行计算即可； 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【思路引导】（1）按照有理数加法的运算法则计算即可． （2）按照有理数的加减混合运算法则计算即可． （3）按照有理数的加减混合运算法则计算即可． （4）按照有理数的加减混合运算法则，绝对值的化简，实施简便运算计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 考点9：有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，向前跑记作正数，返回则记作负数，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)否 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】（1）将题目中的数据相加，观察结果即可判断守门员最后是否回到球门线上； （2）根据题目中的数据，可以计算出守门员每次离球门线的距离，然后通过比较即可得出答案； （3）根据（2）的计算结果即可直接得出结论． 【规范解答】（1）解： ， 答：守门员最后没有回到球门线上； （2）解：由题意可得， 第一次距离球门线米， 第二次距离球门线米， 第三次距离球门线米， 第四次距离球门线米， 第五次距离球门线米， 第六次距离球门线米， 第七次距离球门线米， 第八次距离球门线米， ， 答：守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：由（2）可得：，， 在这一时间段内，守门员有次离开球门线的距离超过米， 对方球员有次挑射破门的机会， 答：在这一时间段内，对方球员有次挑射破门的机会． 【考点剖析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，有理数加法在生活中的应用，绝对值的其他应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，深刻理解题中正负数的含义是解题的关键． 【变式训练】（24-25七年级上·河南开封·期末）某公路养护小组乘车沿一条东西向公路巡视养护．某天早晨他们从甲地出发，晚上最终到达乙地，当天汽车的行驶情况依次记录如下： 向东行驶15km，向西行驶10km，向西行驶5km，向东行驶7km，向西行驶13km，向东行驶8km，向西行驶12km，最后向西行驶6km后结束了本次巡视养护． 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)填空：约定向东为正方向，当天汽车行驶路程依次记录为（单位：km） ，，，______，，，______，－6 (2)乙地在甲地的哪个方向？它们相距多少千米？ (3)如果汽车行驶1km平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)7， (2)乙地在甲地的西方，它们相距16千米． (3) 【思路引导】本题主要考查正负数的意义，有理数四则混合运算的实际运用，理解正负数的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据正负数的意义填空即可； （2）根据题意，把行驶记录的数字求和即可求解； （3）把所有行程的绝对值求和，再与平均油耗相乘即可求解． 【规范解答】（1）解：向东行驶7km表示为，向西行驶12km表示为， 故答案为：，； （2）解：， ∴乙地在甲地的西方，它们相距16千米． （3）解：养护过程中，离出发点的位置为15千米、10千米、5千米、7千米、13千米、8千米、12千米、6千米， 这次养护共走了（千米）， 则这次养护耗油量为． 考点10：省略加法和括号的形式 【典例精讲】（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【答案】（1）；读法见解析；（2）；⑤⑥④②①③；． 【思路引导】（1）利用有理数的加减运算法则变形得到结果，写出读法即可； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案；根据有理数的加法法则即可排出正确的顺序；根据有理数的除法法则，先确定结果的符号，同时除法转化为乘法，再根据陈发法则计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）； 两种读法：①加减减；②、、、的和； （2）“我计算”； “我排序” 正确的顺序为⑤⑥④②①③， 答案为：⑤⑥④②①③； “我会算” ． 【考点剖析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式训练】把下列各式写成省略加号的形式． （1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝ ； （2） 【答案】 －7＋15－3＋4 【规范解答】试题分析：写成省略加号的形式，可先统一成加法运算，利用有理数减法运算的法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．然后再变成省略加号的和的形式，去掉括号各项不变号． 所以－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝－7＋15－3＋4; . 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 【规范解答】解∶ A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 2．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【规范解答】解： 故选：B． 3．（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选B． 4．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【规范解答】解：． 故选D． 5．（2021·青海西宁·中考真题）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案． 【规范解答】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解正负数的含义． 基础夯实 1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动个单位长度，再向右移动个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴与有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则与数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上，向左是减，向右是加，由此即可求解． 【规范解答】解：笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动个单位长度，再向右移动个单位长度，用算式表示上述过程与结果为， 故选：． 2．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数的减法计算，要使差最大，则要选择最大的数和最小的数，据此确定选取的数，再用最大的数减去最小的数即可得到答案． 【规范解答】解：∵要使两个数字的差最大， ∴选择的两个数为最大的数和最小的数，即要选择和， ∴差的最大值为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按照有理数减法法则，可以转化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了去括号， 根据括号前是“”，去掉“”和括号，括号内的各项都变号，可得答案． 【规范解答】解：． 故选：D． 4．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： ， ， ． 【答案】 0 0 0 【思路引导】本题考查了有理数的加法运算，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0即可求解． 【规范解答】解：； ； ， 故答案为：0，0，0． 5．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 【答案】 【思路引导】先确定每次输入指令后机器人的移动方向和格数，通过有理数的加法计算最终位置．本题主要考查有理数的加法在实际情境中的应用，理解正负数表示的移动方向，熟练进行有理数加法运算是解题的关键． 【规范解答】解：输入“”，机器人从原点O向右走格，此时位置是． 再输入“”，机器人从的位置向左走格，位置变为 ． 故答案为：． 6．（22-23七年级上·重庆永川·期中）践行 “双减”、落实“五项”管理．某校在课后延时服务中开设了“魅力数学”校本选修课程．在课上，老师介绍了“黑洞数”．黑洞数又称为陷阱数，它是一类具有奇特转换特性的整数．任何一个数字不全相同的整数，经过有限次“重排求差”，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数．请你也来试一试： （1）任意写一个三位自然数，它的三个位数字不能完全相同； （2）把这个数中的各位数字按从大到小顺序排列成一个最大的三位数m； （3）然后把这个数中的各位数字按从小到大顺序排列成一个最小的三位数n； （4）将得到的这两个三位数做差，即用，得到一个新的三位数； 对得到的这个新的三位数施行同样的（2）到（4），这样循环下去，就能得到一个不变的“黑洞数”R，那么这个“黑洞数”R是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减运算，根据题目中给出的信息进行列式计算，是解题的关键．任意写一个符合要求的三位数，然后按照（1）、（2）、（3）、（4）的步骤进行计算，最后即可得出结果． 【规范解答】解：数字， 按照上述规则，， ， ， ， ， ， ……… 故“黑洞数”是. 故答案为：. 7．（24-25七年级上·青海西宁·阶段练习）如表，将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在分别表示其中的一个数，则的值为 ． 4 2 1 3 5 【答案】 【思路引导】首先根据第2行求出三个数之和的值是3；依题意，则每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为3，分别列式计算出a，b，c，代入进行计算即可．本题考查了有理数的加法和减法运算，掌握有理数的加法的运算法则和运算顺序是关键． 【规范解答】解：∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为3， 从表格得 ∴，，， ∴． 故答案为： 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，， ． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)东边，9千米 (2)升． 【思路引导】本题主要考查数轴与正数，负数的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算． （1）利用有理数的加法即可得解； （2）先求出小明开车的总过程，把这些行驶的路程的绝对值相加，再利用有理数的乘法即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意，得： 千米． 答：小明停车时，小明在家的东边，距离家千米． （2）解：千米， 升， 答：汽车共耗油升． 9．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查数轴上点所表示的数以及有理数的加法运算，解题的关键是根据点为原点确定A，C，D所表示的数，再进行求和计算． 先根据点为原点确定a、b，c、d的值，然后将其代入进行计算． 【规范解答】（1）解：当B为原点时，点B表示的数为0，点A表示的数为，点C表示的数为2，点D表示的数为8， 所以 ； （2）解：当A、D表示的数互为相反数时，A，D间的距离为10， 所以点A表示的数为，点D表示的数为5，点B表示的数为，点C表示的数为， 所以． 培优拔高 11．（24-25七年级上·天津宁河·期末）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的加法法则逐项判断即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，，． A、，则此项正确，不符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项不正确，符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 13．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A、B、C、D、E、F，点A落在数轴上2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上的点是（   ） A．点C B．点D C．点E D．点F 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索，由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【规范解答】解：由图形可知，每滚动一周，向数轴负方向前进6个单位长度，在第一次滚动过程中，点对应的数是1，点对应的数为0，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为，……， 以此类推，从数字2开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且A、B、C、D、E、F循环出现， ∵在数轴上到2的距离为，， ∴数轴上的点与对应的点相同，即点． 故选：C． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 正确的列出算式，依次进行计算判断即可得到答案． 【规范解答】解：A、， 可知甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； B、； 可知乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； C、这七天内，乙地的水位变化比甲地的水位变化小，故该选项错误； D、在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，正确，该项符合题意； 故选：D 15．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）一个自然数，各个数位上的数字之和是17，并且各个数位上的数字都不相同．符合条件的最小数是 ，最大数是 ． 【答案】 89 743210 【思路引导】本题考查数的组成，根据自然数最小，需要数位尽量少得到最小数，根据自然数最大，需要数位尽量多，求出最大数即可． 【规范解答】解：要想这个自然数最小，需要数位尽量少， ， 所以，最小的数为， 要想这个自然数最大，需要数位尽量多， 取最小的自然数： ，， 最大的数为：， 答：最小数是89，最大数是743210． 故答案为：89，743210． 16．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【规范解答】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【规范解答】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【思路引导】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【规范解答】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 19．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【思路引导】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【规范解答】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【思路引导】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【规范解答】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【考点剖析】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$