第二章 一元二次方程 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第二章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、当时，原方程化为：，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，有两个未知数，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，不是整式方程，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式. 先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【详解】解：转化为一般形式为：， ∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，， 故选：C． 3．如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：D． 4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程整理后，通过配方法转化为完全平方形式．首先移项，使方程左边保留二次项和一次项，右边为常数项；接着配方，将一次项系数的一半的平方加到两边，形成完全平方式． 【详解】解：移项，得 配方：，即 故选：C． 5．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 6．4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2022年人均纸质图书阅读量年均增长率年人均纸质图书阅读量列出方程即可． 本题考查平均增长率问题，需根据连续两年的增长率建立方程． 【详解】解：设每年增长率为，可列方程为， 故选：B． 7．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解．将代入原方程得到的表达式，再结合的值整体代入目标式即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ ，即， 代入所求式： ， 由根与系数的关系，方程两根之和为， ∴ ． 故选：B． 8．如图，在中，，，于点D，E是的中点．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 首先利用勾股定理求出，得到，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形 ∵ ∴． 故选：A． 9．欧几里得在《几何原本》中记载了一种通过几何图形解方程的方法．因此，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为4的正方形纸片，先折出的中点，再折出线段，然后沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理、正方形与折叠问题等知识，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题关键．先解一元二次方程可得方程的一个正根为，再，根据勾股定理和折叠的性质可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 则方程的一个正根为， ∵正方形的边长为4， ∴，， 由折叠的性质可知，，则选项B不符合题意； ∴， 设，则， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴在中，，即， 解得， ∴，则选项D符合题意； ，则选项C不符合题意； 又∵在中，， ∴，则选项A不符合题意； 故选：D． 10．如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） A．25 B．64 C．100 D．169 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，解一元二次方程，勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键． 设，根据两块阴影的面积和与周长和分别为16和36，分别得出和，通过设，并借助完全平方式求出的值，即可求出的关系，并根据，即可求解． 【详解】解：设， 由题意及对称性知，图（2）中两部分阴影全等， ∴由两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，知 ∴ 设，则， 则，即 又由完全平方式知， ∴由知，， ∴， 解得，即， 则① 又在中，② 将①代入②，得， 解得（舍） ∴正方形的面积为：． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知是一元二次方程的两根，且 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为： 12．关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用，根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13．已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，得，再结合关于x的方程的一个根为，得出关于的方程的一个根为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于x的方程的一个根为， ∴关于的方程的一个根为， ∴， 即关于x的方程的一个根为， 故答案为： 14．已知的两边长为3和6，若第三边的长为方程的一个根，则该三角形的第三条边长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元二次方程，求出第三边的范围，因式分解法求出方程的根，进行判断即可． 【详解】解：由题意，第三边的长，即：第三边的长； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴该三角形的第三条边长为5； 故答案为：5． 15．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 16．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 17．如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，过点作于，则，证明，可得，由折叠可得，从而求得，再由勾股定理求出，设，由勾股定理列方程可求出． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于， 则，如图： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，可以通过配方法求出即可； （2）先整体移项，然后分解因式，即方程左边可得出两个一元一次方程相乘，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 20．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 22．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小道的宽度为，根据栽种鲜花区域的面积为列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设小道的宽度为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， 答：小道的宽度为． 23．数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． (1)已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，换元法解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程的解的意义可得，则，，将其代入原式并通分计算后再约分即可； （2）设，将原方程化为，解分式方程并检验后代入中解得x的值即可． 【详解】（1）解：是一元二次方程的一个实数根， ， ∴， ∴， 原式 ； （2）解：设， 原方程化为， 整理得：， 解得：，， 经检验，，均为方程的解， 当时，， 即， ， 该方程没有实数根， 当时，， 即， 解得：，， 故原方程的解为，． 24．汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． (1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： (2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 【答案】(1)11，140 (2)28元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接计算降价后的单盒利润和销量即可． （2）建立利润方程并求解，根据库存要求选择合适解． 【详解】（1）解：若降价2元，则每盒汤圆盈利：（元） 平均每天可售出：（盒） 故答案为：11；140； （2）设每盒汤圆销售价降价x元：则平均每天可售出盒， 由题意：得． 整理，得， 解得． 为了尽快减少库存． 每盒汤圆销售价应降价5元． 每盒汤圆销售价定为（元）． 答：每盒汤圆销售价定为28元合适． 25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，求的值； (2)已知，且，满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． （）由，是方程的两根，可得，，进一步求解即可； （）由，可得和可看成是方程的两个根，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴； （2）解：，满足，，， 和可看成是方程的两个根． ，， . 26．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； (3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“快乐方程”、“快乐数”的定义探索、之间的关系. 根据“快乐数”的定义计算，即可得到结果； 因为关于的一元二次方程是“快乐方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； 整理可得：，可知当，时有最小值，最小值为，又因为两个方程的“快乐数”相等，所以有，整理可得：， 分情况求出、的值，然后根据的值分情况讨论，即可得到结果. 【详解】（1）解：中，，，， ， 故答案为：； （2）解：关于的一元二次方程是“快乐方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， 或， 当时，， 当时，， 是完全平方数，不是完全平方数， ； （3）解：一元二次方程的快乐数为： ， 一元二次方程的快乐数为： ， 两个方程的快乐数相等， ， 整理得：， 左边分解因式得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 要取最小值， 当，时有最小值，最小值为， 此时，， ， 不符合题意， 当，或，时，有最小值， 最小值为， 当，时， 方程中， 方程中， 是完全平方数， 符合题意； 当，时， 方程中， 方程中 是完全平方数， 符合题意． 的最小值是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 3．如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（    ） A．2 B． C． D．4 4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 6．4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（    ） A． B． C． D． 7．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C．-2025 D．2026 8．如图，在中，，，于点D，E是的中点．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 9．欧几里得在《几何原本》中记载了一种通过几何图形解方程的方法．因此，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为4的正方形纸片，先折出的中点，再折出线段，然后沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 10．如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） A．25 B．64 C．100 D．169 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知是一元二次方程的两根，且 ． 12．关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 13．已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 14．已知的两边长为3和6，若第三边的长为方程的一个根，则该三角形的第三条边长为 ． 15．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 16．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 17．如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 18．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．解方程： (1)； (2)． 20．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 22．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 23．数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． (1)已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； (2)解方程：． 24．汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． (1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： (2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，求的值； (2)已知，且，满足，，求的值． 26．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； (3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$