2.2.2有理数的除法（题型专练）数学人教版2024七年级上册

2.2.2 有理数的除法 题型一 有理数除法法则的辨析 1．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个都不等于1的数相除，商一定小于被除数 B．1乘任何有理数，都等于这个有理数本身 C．0乘任何数都得0 D．乘任何数都等于这个数的相反数 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列结论正确的有（   ） ①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定． ③数轴上的点都表示有理数．    ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负； C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 题型二 有理数的除法运算 6．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）因为，所以（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 10．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 11．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 12．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 题型三 有理数乘除法的混合运算 13．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 15．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 16．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 17．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 有理数除法的应用 19．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 20．（24-25六年级上·上海·期末）观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 21．（2025·北京大兴·二模）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 22．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“智慧农业”高科技种植技术可以利用设备收集大气、土壤、作物、病虫等多方面的数据，来随时指导农业生产，刘叔叔家的葡萄园今年引进了该技术，今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，刘叔叔家去年葡萄的产量是 ． 23．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 24．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 题型五 有理数除法的简算 25．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 26．（2024七年级上·云南·专题练习）利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 27．（2025六年级下·江苏无锡·专题练习）怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)． 28．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 题型六 有理数四则运算的实际应用 29．（2025七年级上·全国·专题练习）《九章算术》中记载一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”．意思是：圆环面积=（内圆周长+外圆周长）径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差．材料中的方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）．在这个过程中，面积保持不变．如果梯形的上底是米，下底是米，那么圆环形地垫的面积是（   ）平方米． A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）公交公司59路车早上发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上．那么59路车一天共发了（    ）班车． A．13 B．25 C．28 D．27 31．（24-25七年级下·吉林·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重÷身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米），国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米，通过计算，该同学合适的身体描述为 ． 32．（24-25七年级上·重庆·开学考试）A、B两地相距千米．有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进．当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 千米． 33．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 题型一 利用倒数法求解有理数的除法 1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 3．（24-25七年级上·河南周口·期中）阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． (1)上述解法，你认为解法是_________错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． (3)直接写出的结果． 题型二 与有理数乘除法有关的新定义问题 4．（24-25七年级下·四川乐山·期中）对有理数，规定运算★如下：，如：，计算：？ 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 6．（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 7．（24-25七年级上·山东济南·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 8．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 题型三 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值． 10．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，，且，求的值． 11．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，； (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即时，则＝＝； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设则＝． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是 ； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 有理数的除法 题型一 有理数除法法则的辨析 1．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个都不等于1的数相除，商一定小于被除数 B．1乘任何有理数，都等于这个有理数本身 C．0乘任何数都得0 D．乘任何数都等于这个数的相反数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法运算，熟知有理数的乘除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、两个都不等于1的数相除，商不一定小于被除数，例如0除以一个正数的结果为0，原说法错误，符合题意； B、1乘任何有理数，都等于这个有理数本身，原说法正确，不符合题意； C、0乘任何数都得0，原说法正确，不符合题意； D、乘任何数都等于这个数的相反数，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个有理数相除，“两数相除，同号得正，异号得负”．根据有理数除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数同号． 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列结论正确的有（   ） ①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定． ③数轴上的点都表示有理数．    ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数乘除计算，有理数与数轴之间的关系，熟知有理数的四则运算法则以及有理数与数轴的关系是解题的关键． 【详解】解：①两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，例如两个负数相加，和小于每一个加数，原结论错误． ②几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，原结论错误． ③数轴上的点都不一定表示有理数，原结论错误．    ④两个正数相加，和为正数，原结论正确． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数或都是负数，原结论错误． 故选：B． 4．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：． 根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案． 【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选：A． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负； C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 【答案】BC 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算法则，按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择． 【详解】解：∵互为相反数（0除外）的两数相除商必等于1， ∴选项A不符合题意； ∵非零的两数相除，同号得正，异号得负， ∴故选项B符合题意； ∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数， ∴选项C符合题意； ∵当除数是小于1的正数，且被除数是正数时，商大于被除数， ∴选项D不符合题意， 故选：． 题型二 有理数的除法运算 6．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理数除法运算，根据《九章算术》中的“经分术”，分数除法需先将两数通分，再用分子相除，需判断选项中哪一方法符合此步骤 【详解】解：《九章算术》的“经分术”要求将分数除法转化为同分母分数后，直接分子相除， 故选：D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）因为，所以（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查有理数的除法运算，根据题意找出规律是解题关键． 根据题意得出，被除数缩小10倍，除数缩小10倍，则商不变，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 9．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 8 0 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法法则求解即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2） 故答案为：8； （3）； 故答案为：0； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为：； （6）． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查有理数的混合运算，化简绝对值，有理数的大小比较，先分别求出a，b，c的值，再比较大小即可 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，, ∴，即， 故答案为：. 11．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算． 【详解】（1） ； （2） ． 12．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 有理数乘除法的混合运算 13．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 14．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 15．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 16．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 17．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型四 有理数除法的应用 19．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用等知识点，读懂题意，根据“路程速度时间”正确列出算式是解题的关键． 先将换算成，然后根据“路程速度时间”列式计算即可． 【详解】解：， ， 故说法正确，说法错误； ， 故说法正确，说法错误； 综上，正确的说法有：， 故选：． 20．（24-25六年级上·上海·期末）观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算的运用，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据题意，每个正方形的都有4个数字，由此可得应该标在第个正方形的右下角，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，每个正方形的都有4个数字， ∴， ∴应该标在第个正方形的右下角， 故选：B ． 21．（2025·北京大兴·二模）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 22．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“智慧农业”高科技种植技术可以利用设备收集大气、土壤、作物、病虫等多方面的数据，来随时指导农业生产，刘叔叔家的葡萄园今年引进了该技术，今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，刘叔叔家去年葡萄的产量是 ． 【答案】6400 【分析】本题考查了有理数除法的运用，理解增产的含义，正确运用有理数除法运算是关键． 根据今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，由此计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6400 ． 23．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 【答案】(1)同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下 (2)这一组的同学共垫球下 (3)这一组同学平均垫球下 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的大小比较，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键； （1）比较表格中各数的大小，进而求得垫球最多的人，根据下为标准，超过的记作正，即可得出最多垫球多少下； （2）用再加上表格数据，即可求解； （3）用（2）中数据，除以求得平均数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，， 所以同学E垫球最多， ， 答：同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下； （2）解：， 答：这一组的同学共垫球下； （3）解：， 答：这一组同学平均垫球下． 24．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 【答案】(1)动点出发3秒时，所在位置对应的数是 (2)20秒 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，解题关键是读懂题意． （1）求出动点出发3秒的距离加上即可； （2）分别求出动点在每一段上运动的时间，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在段所用时间为秒， 所以出发3秒时，动点在段上，所以， 所以动点出发3秒时，所在位置对应的数是； （2）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒， ，， 所以动点从点运动至点需要的时间为（秒）． 题型五 有理数除法的简算 25．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据减法的性质把原式化为进行简算； （2）根据乘法分配律：，把化为，再根据加法结合律化为进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为，通过消项简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 26．（2024七年级上·云南·专题练习）利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)①；②99900 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）方方同学的计算过程不正确，根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可． （2）① 把化成求解即可． ②变形后运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的计算过程； （2）解：①； ② ． 27．（2025六年级下·江苏无锡·专题练习）怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)63 【分析】本题考查有理数的混合运算及简便计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将原式变形为，再逆用乘法分配律，即可求解； （2）先计算小括号内加法，再计算中括号内减法，最后计算除法； （3）逆用乘法分配律，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 28．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，除法运算以及乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． ②先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行计算，即可作答． ③先运算括号内，再把除法化为乘法，根据乘法运算律进行计算，即可作答． ④先运算乘法，再运算加减，即可作答． 【详解】解：① ； ② ． ③ ； ④ ． 题型六 有理数四则运算的实际应用 29．（2025七年级上·全国·专题练习）《九章算术》中记载一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”．意思是：圆环面积=（内圆周长+外圆周长）径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差．材料中的方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）．在这个过程中，面积保持不变．如果梯形的上底是米，下底是米，那么圆环形地垫的面积是（   ）平方米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆环面积，掌握公式是解决问题的关键．根据题意结合图形可知，梯形的上底为圆环内圆周长，梯形的下底为圆环外圆周长，计算出各自半径，利用题目给出的圆环面积公式计算即可． 【详解】解：内圆半径为：（米） ， 外圆半径为：（米）， 圆环面积为：（平方米）． 故答案为：B． 30．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）公交公司59路车早上发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上．那么59路车一天共发了（    ）班车． A．13 B．25 C．28 D．27 【答案】C 【分析】本题主要是考查时间的推算．公交公司59路车早上发第一班车，以后每隔半小时发一班车，1小时分钟，1小时发（班），把普通计时法转化成24时计时法，用发最后一班车的时刻减开始发车的时刻就是一天发车的时间（小时数），再用每小时发的班数乘一天发的小时数加最后一班，就是这一天一共发车的班数． 【详解】解：早晨就是6.5时，晚上8时就是20时， （小时），1小时分， （班）， （班）， 所以，59路车一天共发了28班车． 故选：C． 31．（24-25七年级下·吉林·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重÷身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米），国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米，通过计算，该同学合适的身体描述为 ． 【答案】肥胖 【分析】本题考查了根据公式进行数值计算并判断分类，解题的关键是正确运用BMI指数计算公式算出结果，再对照标准判断身体描述． 先根据BMI计算公式算出该同学的BMI指数，再对照中国标准判断身体描述． 【详解】由题意可得，该同学的BMI指数： 。 因为，对照BMI中国标准，可知该同学身体描述为肥胖． 故答案为：肥胖． 32．（24-25七年级上·重庆·开学考试）A、B两地相距千米．有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进．当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，求得甲和乙的速度比成为解题的关键． 每次往返甲前进了千米，全程六次往返和一次追上，六次往返前进了（千米），说明追上一次可以行（千米），所以返回就行了（千米）．甲和乙的速度比是，然后求出乙行的路程，再用减去乙行的路程即可． 【详解】解：每次往返甲前进了（千米）， 全程六次往返和一次追上，六次往返前进了（千米）， 说明追上一次可以行（千米），所以返回就行了（千米）． 甲和乙的速度比是，乙行了（千米）， 所以此时乙距离A地的距离为（千米）． 答：此时乙距离A地还有千米． 故答案为：． 33．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 【答案】(1)70米；60米 (2)10500米 (3)3300米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用； （1）根据题意列式计算即可； （2）先列式计算出总时间，再根据路程等于速度乘以时间来列式计算即可； （3）先计算出小姜与小琳再次相遇所需的时间，再计算出小姜开始返回时与A地的距离，用此距离减去返回时行驶的距离即可． 【详解】（1）解：小仪： 小琳：， 答：小仪行走的速度为每分钟70米，小琳行走的速度60米． （2）解： ； ； 答：若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距10500米． （3）解： ； ； 答：小姜与A地的距离3300米． 题型一 利用倒数法求解有理数的除法 1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】根据运算律，倒数的定义解答即可． 本题考查了有理数的除法，运算律的应用，倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式的倒数是 ． 故原式． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 3．（24-25七年级上·河南周口·期中）阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． (1)上述解法，你认为解法是_________错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． (3)直接写出的结果． 【答案】(1)一； (2)，过程见解析； (3)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的； （2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值； （3）利用（2）的计算结果计算即可． 【详解】（1）解：根据题目中的解答方法，可知解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故． （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 题型二 与有理数乘除法有关的新定义问题 4．（24-25七年级下·四川乐山·期中）对有理数，规定运算★如下：，如：，计算：？ 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，把相应的值代入新定义的运算，结合有理数的相应的法则进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）先计算中括号里面的，再计算括号外面的即可得出答案． 本题考查的是有理数的混合运算，解题关键在于根据新定义列出代数式． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 6．（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，0 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算出，再计算，最后再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级上·山东济南·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，读懂新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据把全部转化为分数加减法，把互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： （3）∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，， ∴ ． 8．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值． 【答案】4或或10或 【分析】本题考查有理数的加法以及绝对值，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据绝对值的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 故的值为4或或10或． 10．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，，且，求的值． 【答案】1或7 【分析】先根据绝对值和乘方的意义得到，再由得到，由此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为1或7． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的乘方和绝对值的意义等等，正确求出a、b的值并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 11．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)①，215；②175 (2)①；②或；③4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是： （1）①根据两点之间的距离直接列式计算；②将所得三个数相加即可； （2）①首先根据已知判断出数轴的1个单位长度为，再推出A在B的左边且相距10个单位长度，即可得解；②求出A、C相距220个单位长度，进一步可得A、D的距离110个单位长度，即可得解；③求出B、C的距离，再结合最大刻度为，求出，即可得到k的最小整数值． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， ∴； 点A与点C的距离为单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为175； （2）①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴当刻度尺上时，代表数轴上2个单位长度， ∴B表示，A在B的左边且相距， 则A在B的左边且相距10个单位长度， 则； ∵A表示的数为，C表示的数为200， 则A、C相距220个单位长度，即， ∴A、D的距离为，即110个单位长度， ∴D所表示的数为或； B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴，即k的最小整数值为4． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，； (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即时，则＝＝； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设则＝． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是 ； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了化简绝对值和有理数除法，解题关键是会用分类讨论思想进行分情况解题； （1）根据或两种情况分类讨论，分别求解即可； （2）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b，c都是负数，两种情况分类讨论，分别求解即可； （3）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，得出求解即可． 【详解】（1）解：当时， ①a，b都是正数，即，则， ②当a，b都是负数时，即，则， 故答案为：． （2）解：当时， ①当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，不妨设，则， ②当a，b ，c都是负数，即，则， 故答案为：或． （3）解：当时， a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b ，c都是负数， ∵， ∴a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，不妨设 ，则 ， ，， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$