第十五章 轴对称综合与实践课 最短路径问题课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

八上数学 RJ 综合与实践 最短路径问题 第十五章 轴对称 1.能够将生活中的最短路径问题抽象并转化为数学问题，增强问题 转化和抽象能力. 2.能利用轴对称、平移的相关知识解决简单的最短路径问题，体会 图形变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，增强应用意识． 学习目标 1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图，点P是直线l外一点，点P与直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短.因为“两点之间，线段最短”. P l A B C D PC最短.因为“垂线段最短”. 课堂导入 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题.在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究. 课堂导入 活动目标 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案. 新知探究 活动准备 1.查阅资料，列举生活中的最短路径问题. 2.了解光行最速原理：光线所行进的“光程”最短，即光行进的时间最短. 新知探究 光行最速原理 如图，MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一媒质射到分界面时，形成反射光线和折射光线.反射光线传回第一媒质，折射光线进入第二媒质.入射光线与分界面的法线组成的角，叫作入射角；而反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角，分别叫作反射角、折射角. 光行最速原理，也称为费马原理，是几何光学中的一个基本原理，它揭示了光线传播路径选择的规律. 新知探究 经过实验，人们发现了光线的反射定律与折射定律.反射定律说的是光线的入射角等于反射角；折射定律说的是光线的入射角与折射角之间有一个特定的数量关系，1657年，法国数学家费马(P.Fermat， 1601一1665)将光线的反射定律与折射定律统一起来，提出著名的光行最速原理：光线所行进的“光程”最短.简略地说，光行进的时间最短.用在光线的反射定律就是，当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短.由于是在同一媒质中传播，因而也就是光线行进的路程最短. 新知探究 光行最速原理不仅帮助我们理解光的传播规律(如反射定律和折射定律)，还为光学系统的设计和分析提供了理论依据.通过光行最速原理，可以解决许多实际问题，例如优化光学元件的形状、设计最短路径的光学系统等. 光行最速原理不仅适用于光学问题，也可以用来解决一些几何优化问题，例如寻找周长最小的内接三角形.通过将几何问题转化为光线路径问题，可以利用光行最速原理来寻找最优解. 新知探究 活动任务 活动一：牧民饮马问题 活动二：牧民饮马问题的拓展 活动三：造桥选址问题 新知探究 任务1 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地. 牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ l B A C 提示：从数学的角度看，如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点C，使AC与CB的和最小. 新知探究 活动一 牧民饮马问题 l B A C 思考 (1)如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小？ C 解：根据“两点之间，线段最短”可知，连接AB交直线l于点C，此时AC与CB的和最小. 新知探究 活动一 牧民饮马问题 思考 (2)在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗？ l B A C B′ C 解：如图，作点B关于直线l的对称点B′，则B′C=BC，AC与BC的和最小转化为AC与B′C的和最小. 连接AB′交直线l于点C，此时点C就是所求的饮马点. （说明：也可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C） 新知探究 活动一 牧民饮马问题 任务2 证明你在任务1中得到的结论. 提示：设点C为河边l上使AC+CB最小的点，在l上另外任取一点C′，证明 AC+CB<AC'+C'B. l B A B′ C 新知探究 活动一 牧民饮马问题 证明：如图，在直线l任取一点C′ (与点C不重合)，连接AC′ ，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C'. ∴AC+BC=AC+B′C=AB′， AC'+BC′=AC'+B'C'. 在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， ∴ AC+BC<AC′+BC′，即AC+BC最小. l B A C′ B′ C 新知探究 活动一 牧民饮马问题 任务3 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决. 如图，点光源A发出的光线经过平面镜m反射后到达点B，请作出光线行进的最短路径. 新知探究 活动一 牧民饮马问题 解：将光线的入射点和目标点视为定点，平面镜视为直线，通过几何对称性，找到入射点关于平面镜的对称点，连接对称点和目标点，交平面镜于反射点. 如图，作点光源A关于平面镜m的对称点A'，连接对称点A'和目标点B，则交点O即为反射点，此时光线行进的路径最短. A' O 新知探究 活动一 牧民饮马问题 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 从数学的角度看，草地边和河边可近似地分别看作直线l和m，问题转化为在直线l上找一点P，在直线m上找一点Q，使△APQ周长最小. 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 结合活动一的经验，如图，分别作点A关于直线l和m的对称点A'，A′′，连接A'A"交直线l于点P，交直线m于点Q， 由“两点之间，线段最短”可知， 此时△APQ的周长最小， 即牧民从A处出发，先到点P处牧马， 再到点Q处饮马，最后回到A处， 所走的路径最短. P Q A′ A′′ 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 从数学的角度看，草地边和河边可近似地分别看作两条直线l和m，问题转化为在直线l上找一点P，在直线m上找一点Q，使AP+PQ+QB最小. 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 结合任务1的经验，如图，作点A关于直线l的对称点A'，作点B关于直线m的对称点B'，连接A'B'交直线l于点P，交直线m于点Q，由“两点之间，线段最短”可知， 此时AP+PQ+QB最小， 即牧民从A处出发，先到点P处牧马， 再到点Q处饮马，最后回到B处， 所走的路径最短. A′ B′ P Q 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿M处出发，先到草地边的N处牧马，再到河边P处饮马，然后回到M处.如何确定M，N，P的位置，使从M处出发，到N处牧马，再到P处饮马，最后回到M处所走的路径最短？ 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 生活区边沿、草地边和河边可近似地分别看作直线l，m，n，它们彼此相交于点A，B，C，形成△ABC. 问题转化为在△ABC的三边上分别找点 M，N，P，使△MNP的周长最小. m n l A B C 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 如图，在边BC上任取一点M，作M分别关于AB，AC的对称点M1，M2，连接M1M2，分别交AB，AC于点N，P，于是△MNP的周长等于线段 M1M2的长. 要使△MNP的周长最短，就是要使△AM1M2的边M1M2最短. 由于AM1=AM= AM2，因此△AM1M2是等腰三角形，其顶角∠M1AM2=2∠BAC 为固定值，腰长AM1越短，底边M1M2就越短. 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 由此可知，AM最短时，底边M1M2就最短. 因此，AM应取边BC上的高，即点M是过A作边BC的垂线的垂足，可以证明此时N，P分别是过C，B作对边AB，AC的垂线的垂足. M 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 【拓展】在已知的锐角三角形内，作顶点分别在其三边上的三角形，从中找出周长最短的一个，这是关于三角形的一个著名的极值问题，叫作施瓦兹(H.A.Schwarz)三角形问题.可以证明，当内接三角形的顶点分别是已知锐角三角形的三条高的垂足时，所求得的三角形的周长最短. 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决. 如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q. 请你设计一条路径，使得球P连续撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q. 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 解：如图，作球P关于AB的对称点P'，球Q关于BC的对称点Q'，连接P'Q'，分别与AB，BC相交于点M，N，连接PM，NQ， 则折线PMNQ就是所求路径. 新知探究 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务1 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 提示：可以把河的两岸看成两条平行线，由于河宽固定，所以可以考虑将点A(或B)按与河岸垂直的方向平移河宽的距离，使问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题. 新知探究 活动三 造桥选址问题 把A，B两地看作两个点，河的两岸看作两条平行线m，n，桥看作线段MN，MN垂直于河的两岸.转化为数学问题如下： 如图，已知两点 A，B，直线m∥n， 在直线m， n上分别取点M， N， 使MN⊥m，且 AM +MN+BN的值最小. 新知探究 活动三 造桥选址问题 A′ 作法：如图，将点A向下平移至点A'，使AA'的长等于直线m，n之间的距离，连接 A'B，交直线n于点N，过点N作MN⊥m，交直线m于点M，连接AM，此时AM+MN+BN的值最小. N M AM+MN+BN的最小值为 A'B+MN的值. 新知探究 活动三 造桥选址问题 任务2 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决. 如图，军营A和军营B在河岸l的同一侧，将军骑马从军营A到河岸l上的点E处，沿河岸l向东遛马至点F处后骑马返回军营B，遛马的距离EF同图中MN的长度，遛马点E，F如何设置才能使军营A到点E与军营B到点F的距离之和最短， 请画出示意图，并说明理由. 新知探究 活动三 造桥选址问题 解：如图，将点A向东平移MN的长度得到点A'，作点A'关于直线l的对称点A''，连接A''B交直线l于点F，在直线l上点F西侧截取EF= MN，则此时军营A到点E与军营B到点F的距离之和最短. 新知探究 活动三 造桥选址问题 理由如下： 如图，连接A'E，A'F.由作图可得，AA'=EF，AA'∥EF， ∴∠AA'E=∠FEA'. 由题意知，AA'=MN=EF. 在△AA'E和△FEA'中， ∴△AA'E≌△FEA' (SAS)， ∴AE=A'F. 新知探究 活动三 造桥选址问题 由作图可得，A'F=A"F, ∴AE +BF=A'F+BF=A"F+BF. 根据“两点之间，线段最短”可得， 此时A"F+BF的值最小， ∴AE+BF的值最小， 即此时军营A到点E与军营B到点F的距离之和最短. 新知探究 活动三 造桥选址问题 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线， P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是( ) A.BC B.CE C.AD D.AC B 随堂练习 2.如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN=______. E F M N 80° 随堂练习 最短路径问题 牧民饮马问题 及其拓展 造桥选址问题 通常利用轴对称、平移等将所求问题进行转化求解 依据：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 课堂小结 $$