强化训练二 旋转与全等的综合-【课课练】2025-2026学年九年级上册数学同步训练（人教版2012）

数学九年镂上四 鱼化仙铁● 旋转与全等的综合 1.如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内 一点，连接AP,BP,CP,将线段AP绕点A顺时 针旋转60得到AP',连接PP',BP (1)用等式表示BP'与CP的数量关系，并 证明。 (2)当∠BPC=120时. ①直接写出∠P'BP的度数： 第二十三章 ②若点M为BC的中点，连接PM,请用等 式表示PM与AP的数量关系，并证明. 3.如图，已知∠A0B=120°，在∠A0B的平分线 OM上有一点C,将一个60°角的顶点与点C重 合，它的两条边分别与直线OA,OB相交于点 D,E. (1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时 (如图1)，请猜想OE+OD与OC的数量关 系，并说明理由。 (2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直 时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成 立？请说明理由 (3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向 延长线相交时，上述结论是否成立？若成 立，请给出证明：若不成立，线段OD,OE与 0C之间又有怎样的数量关系？请写出你 的猜想，不需证明。 D 0 B 图1 图2 图3 第二十三章旋转可 .(1)问题解决：如图1，点P是等边△ABC内一 点，且PA=3,PB=4,PC=5.将△PAC绕点A逆 时针旋转后，得到△P'AB,则点P与P'之间的 距离PP'= ,∠APB= 0 图1 (2)类比探究：如图2，点P是正方形ABCD内 一点，且PA=1,PB=2,PC=3.你能求出 ∠APB的度数吗？写出完整的解答过程. 第 D 一十三 图2 (3)迁移运用：如图3，若点P是正方形ABCD 外一点，且PA=5,PB=2,∠APB=45°，则 PC= .(直接写出答案) B 图3 49数学九年缘上因 如图3，然后将四边形ABED沿着DE翻 折，即可得到四边形OFED: 最后将图3绕着点0旋转180°，即可得到 图4. 图 图2 图3 图4 10.解：(1)如图，四边形A,B,C,D,即为所求： (2)如图，四边形AB,C2D2即为所求； (3)如图，四边形ABCD与四边形A,B,C,D 关于原点O成中心对称。 M 强化训练二 旋转与全等的综合 L.解：(1)BP'=CP.证明如下： 在等边三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=60° 由旋转可知，AP=AP',∠PAP'=60° .∴.∠PAP'-∠BAP=∠BAC-∠BAP 即∠BAP'=∠CAP 又，AP'=AP,∴.△ABP'≌△ACP(SAS), ∴.BP=CP (2)①60° ②PM=2AP.证明如下： 如图，延长PM到点N,使得NM=PM,连 接BN. 16 ,M为BC的中点，∴.BM=CM, ∴.△PCM≌△NBM(SAS), ,CP=BN,∠PCM=∠NBM,∴.BN=BP' .∠BPC=120°，∠PBC+∠PCB=60°， ∴.∠PBC+∠NBM=60°，即∠NBP=60 :∠ABC+∠ACB=120°， .∴，∠ABP+∠ACP=60°， ∴.∠ABP+∠ABP'=60°， 即∠P'BP=60°，∴，∠P'BP=∠NBP, .△PWB≌△PP'B(SAS),∴.PN=PP .AP=AP',∠PAP'=60°， .△PAP为等边三角形， P'P=AP,.PN=AP,.PM=2AP. 2.(1)证明：：·△ABD绕点A旋转得 到△ACD, ∴.AD=AD',∠CAD'=∠BAD ∠BAC=120°，∠DAE=60°， .∠D'AE=∠CAD'+∠CAE=∠BAD+ ∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°， ·∠DAE=∠D'AE. 又.AE=AE,∴.△ADE≌△AD'E(SAS). ∴DE=D'E 1 (2)解：∠D1B=2∠BAC理由如下： 易知△ADE≌△AD'E(SSS), ∴.∠DAE=∠D'AE. .∠BAD+∠CAE=∠CAD'+∠CAE= ∠D'AE=∠DAE. 六∠DME=2∠BAC. (3)DE=2BD. 3.解：(1)，OM是∠AOB的平分线， ∴.∠AOC=∠BOC=5∠AOB=60 2 ·CD⊥OA..∠ODC=90° .∠0CD=30°. ∴.∠OCE=∠DCE-∠OCD=30°. .∴.∠0EC=90° 在R△0CD中，0D=20C, 同理0B=20C, ∴.0D+OE=0C. (2)(1)中结论仍然成立，理由如下： 如图，过点C分别作CF⊥OA于点F,CG⊥ OB于点G, OEG ∴.∠OFC=∠OGC=90° ,∠AOB=120°.∴.∠FCG=60, 同1)的方法得，0P=之0c,0G=0c. ..0F+0G=OC. :CF⊥OA.CG⊥OB,且点C是∠AOB的 平分线OM上一点，∴.CF=CG :∠DCE=60°，∠FCG=60°， .∠DCF=∠ECG, .∴.△CFD≌△CGE,.DF=EG, .OF=OD-DF=OD-EG.OG=OE+EG. ..OF+0G=OD-EG+0E+EG=OD+0E, ,∴.OD+OE=0C (3)(1)中结论不成立，正确结论为OE- OD=OC. 4.(1)3:150. (2)如图，将△PAB绕点B顺时针旋转 90°，使AB与BC重合，连接PP', 尽老答表反解斯一园 则∠PBP'=90°，P'B=PB=2,P'C=PA=1, ∴.△P'BP是等腰直角三角形 由勾股定理得，P'P=P'B+PB2=22+22=8, .P'P2+P'C2=PC2, .△P'PC是直角三角形，∠PP'C=90° :△P'BP是等腰直角三角形， ∴.∠PP'B=45° .∠BP'C=∠PPB+∠PPC=45+90°=135°， .∴.∠APB=∠BP'C=135. (3)33 第二十三章章节综合 -、1.C2.C3.C4.B5.A6.C7.B 8.D 二、9.-410.A45°11.60 12.(1)2 (2)(2.-2) 三、13.解：(1)如图1所示，△A,BC,即为 所求。 图1 图2 (2)如图2所示，△AB,C,即为所求， 14.证明：：△AB0与△CD0关于点0成 中心对称， ∴.B0=D0,A0=C0. .AF=CE, ∴.AO-AF=CO-CE.即F0=EO. 在△FOD和△EOB中， FO=EO. ∠FOD=∠EOB. D0=B0, 17