第10章空间直线与平面（复习课件）高二数学沪教版2020必修第三册

单元复习课件 第10章空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过图形清晰展现空间直线与平面的位置关系，培养良好的空间图形表达能力，以便更好地分析和解决空间几何问题。​ 3.能够灵活运用空间直线与平面的相关定理和性质，进行逻辑推理与证明，如证明线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等位置关系，提高逻辑推理能力。 2. 学会运用平移法、三垂线法等方法，准确找出异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角，并能借助解三角形等知识进行角度的计算；同时，掌握求点到直线、点到平面、异面直线间距离的方法，提升空间角与距离的计算能力。​ 单元学习目标 单元知识图谱 1. 平面的基本性质及推论 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 公理2: 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面. 推论: ①两相交直线确定平面; ②两平行直线确定平面; ③直线外的点与直线确定平面. 公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 考点串讲 2. 线线之间的位置关系 相交 平行 异面 共面 基本事实 4: 平行于同一条直线的两直线互相平行. 3. 两异面直线所成的角 ① 角的范围 (0, 90]. ② 由定义找角: ③ 垂直 相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线. 异面垂直, 无垂足. 考点串讲 4. 线面平行的判定定理 b  a, a  a, b//a, ⇒ b∥a. l∥a, l  b, b∩a = m ⇒ l∥m. 由线线平行得线面平行. 5. 线面平行的性质定理 由线面平行得线线平行. aa, ba, a∩b, a∥b, b∥b, ⇒ a∥b. 6. 面面平行的判定定理 由线面平行得面面平行. a∥b, g∩a =a, g∩b =b, ⇒ a∥b. 7. 面面平行的性质定理 由面面平行得线线平行. 考点串讲 8. 线面垂直的定义 若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线, 则叫 l⊥a. 应用: 若 l⊥a, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线. l⊥a, ma, l⊥m. 过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直. 考点串讲 9. 线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. l⊥a, l⊥b, a∩b=P, l⊥a. aa, ba, 两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. 考点串讲 10. 直线和平面所成的角 斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角). 垂线与平面所成的角为90. 平行线或在平面内的直线与平面所成的角为 0. 斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的. 两条平行线和同一个平面所成的角相等. 11. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. l1⊥a, l2⊥a,  l1//l2. 由线面垂直得线线平行. 考点串讲 12. 两平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直. a b l l⊥a, l b, ⇒ b⊥a. 13.二面角 二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 二面角α­l­β的平面角是∠AOB. 考点串讲 14. 平面与平面垂直的性质 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与于另一个平面垂直. a⊥b, a∩b = m, l⊥m, l a, ⇒ l⊥b. a b m l 两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面. 15.空间有关点、线、面间的距离： （1）点到直线的距离 （2）点到平面的距离 （3）异面直线的距离 （4）直线到平面的距离 （5）平面到平面的距离． 考点串讲 题型一、平面基本定理 1.下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.空间两两相交的三条直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 D 解析　A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，C错，故只有选项D正确. 题型剖析 2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，E，F四点共面； 【证明】　如图所示，连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线， 所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，E，F四点共面. 题型一、平面基本定理 题型剖析 2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； 【证明】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C， 设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β. 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. 题型一、平面基本定理 题型剖析 2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (3)DE，BF，CC1三线交于一点. 【证明】　因为EF∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交， 设交点为M，则由M∈DE，DE平面D1DCC1， 得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点. 题型一、平面基本定理 题型剖析 题型二、两直线位置关系 3. (1)已知a，b，c是三条不同的直线，有下列三个命题： ①若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； ②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 【解析】　对于①，若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c相交不是异面直线，如图，故①为假命题； 对于②，若a和b相交，b和c相交，则a和c可能相交、平行、异面，故②为假命题； 对于③，若a和b共面，b和c共面，则a和c共面，错误，如上图，AA′(a)与AB(b)共面，AB(b)与BC(c)共面，但AA′(a)与BC(c)异面，故③为假命题.故真命题的个数为0.故选A. 题型剖析 3.(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________. ②④ 【解析】　根据异面直线的定义可知，在题图②④中，直线GH，MN是异面直线. 在题图①中，由G，M均为所在棱的中点可知GH∥MN. 题型二、两直线位置关系 题型剖析 题型三、直线与平面的位置关系 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点. 求证：BE∥平面PAD. 证明　如图，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线， 又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB∥EF， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD. 题型剖析 5.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足. 求证：PA⊥平面ABC； 证明　如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. 因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF⊂平面ABC， 所以DF⊥平面PAC. 因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G， 同理可证DG⊥PA. 因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， 所以PA⊥平面ABC. 题型三、直线与平面的位置关系 题型剖析 题型四、平面与平面的位置关系 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点. 求证：平面A1C1G∥平面BEF； 证明　∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1. ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G. 又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG， 又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G，BF平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF. 题型剖析 7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. 证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 证明　因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. 题型四、平面与平面的位置关系 题型剖析 8.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小； 解　∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 题型五、空间角的计算 (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； 解　如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′， ∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 题型剖析 (3)平面AOB与平面AOC所成角的大小. 解　由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的角为90°. 8.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小； 题型三、空间角的计算 题型剖析 1.已知 ， ， 为不同的平面，，，为不同的直线，则下列条件中一定能得到 的是 ( ) C A.， ， B. ，， C. ， ， D. ， ， 解析 在选项A中，， , ,则 和可能平行或相交，故A错误；在选项B 中， ,,,则与 相交或 或 ,故B错误；在选项C中，因为 , ，所以 ，又 ，所以 ，故C正确；在选项D中，由 , ， 不能推出 ，所以由 不能推出 ，故D错误.故选C. 针对训练 25 2.在正方体中，是的中点.若，则点到平面 的距离为( ) B A. B. C. D.3 解析 在正方体中，，是的中点，则， ，,.设点 B到平面的距离为，由，得，解得.故 选B. 针对训练 26 3.已知 ， 是两个不同的平面，，是平面 及 之外的两条不同的直线，给出四个论 断：； ； ； .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题：_____________________________. （或） 解析 ， 是两个不同的平面，，是平面 及 之外的两条不同的直线，若, ,则 .又 , .即.若 , ,则 .又 ,.即. 针对训练 27 4.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC. 证明　∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC. ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC. ∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC∥BD，NC＝BD. ∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC. 又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC. 又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN， ∴平面DMN∥平面ABC. 针对训练 5.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE； 证明　在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE. (2)求证：AD⊥AE. 证明　因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF.又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 针对训练 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 解　∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O， BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 又∵∠A1OB＝90°， ∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 针对训练 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法． 空间角的求法 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 线线平行、线面平行、面面平行间的相互间的转化 课堂总结 感谢聆听! 在题图③中，连接GM，因为G，M均为所在棱的中点，所以GM∥HN， 且GM＝HN，所以四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交. ∴EF∥CD，且EF＝CD＝2. 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. 所以AC＝BC＝2， 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， $$