备考2026年中考数学一轮复习 圆

中考数学一轮复习 圆 一．选择题（共3小题） 1．（2025•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 3．（2025•自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 二．填空题（共17小题） 4．（2025•齐齐哈尔）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　 度． 5．（2025•黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　 　 ． 6．（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　 　 ． 7．（2025•河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 8．（2025•宜宾）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝　 　 °． 9．（2025•苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　 　 m．（结果保留π） 10．（2025•扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝　 　 °． 11．（2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 　 °． 12．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　 　 cm． 13．（2025•烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 14．（2025•广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　 　 ． 15．（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 　 　 ． 16．（2025•内江）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是　 　 ． 17．（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　 　 度． 18．（2025•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2，则的长为　 　 ． 19．（2025•成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　 　 ． 20．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　 　 ，EH的长度为 　 　 ． 中考数学一轮复习 圆 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．（2025•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝40°、∠BCD＝90°，再根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°， 由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝40°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 2．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 【考点】正多边形和圆；对顶角、邻补角；多边形内角与外角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；正多边形与圆；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可． 【解答】解：如图， 正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°， ∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∵α＝∠1，β＝∠2， ∴α+β＝150°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（2025•自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】D 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：连接OA、OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°， 综上所述：∠ACB的度数是50°或130°， 故选：D． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 二．填空题（共17小题） 4．（2025•齐齐哈尔）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　160　 度． 【考点】弧长的计算． 【答案】见试题解答内容 【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算． 【解答】解：根据弧长的公式l得到： 80π， 解得n＝160度． 侧面展开图的圆心角为160度． 【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 5．（2025•黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　70°　 ． 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】70°． 【分析】由PA、PB是圆O的切线，得PA＝PB，PA⊥AC，则∠PAC＝90°，而∠BAC＝35°，则∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝55°，所以∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线， ∴PA＝PB， ∵AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°， ∴PA⊥AC， ∴∠PAC＝90°， ∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°， ∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°， 故答案为：70°． 【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出PA＝PB及PA⊥AC是解题的关键． 6．（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　66°　 ． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】66°． 【分析】连接BC，如图，先利用圆周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余计算出∠ACD的度数． 【解答】解：连接BC，如图， ∵， ∴∠BCD＝∠CDB＝24°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°． 故答案为：66°． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 7．（2025•河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　2　 ． 【考点】切线的性质；扇形面积的计算；矩形的性质． 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】2． 【分析】根据切线的性质得到OE⊥CD，根据矩形的性质得到AB∥CD，得到OE⊥AB，根据垂径定理求出AF，解直角三角形分别求出OA、OF，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：∵边CD与⊙O相切于点E， ∴OE⊥CD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∴AF＝FBAB4＝2， 由圆周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°， ∴OA＝2AF＝4， 由勾股定理得：OF2， 则S阴影部分＝S扇形AOE﹣S△AOF2×22， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、矩形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8．（2025•宜宾）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝　50　 °． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】圆的有关概念及性质． 【答案】50． 【分析】先由圆周角定理求出∠BOC＝2∠BAC＝80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∵OB＝OC， ∴， 故答案为：50． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 9．（2025•苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　40π　 m．（结果保留π） 【考点】弧长的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】40π． 【分析】先根据题意求出∠AOB的度数，再求出圆O的半径，利用弧长公式进行求解即可； 【解答】解：由题意得∠AOB＝360°120°， 圆O的半径为128﹣68＝60（m）， ∴该轿厢所经过的路径（即）长度为40π（m）， 故答案为：40π． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 10．（2025•扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝　40　 °． 【考点】圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】40． 【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝100°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　20　 °． 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】20． 【分析】连接OB，由切线的性质得∠OBP＝90°，因为∠P＝50°，所以∠POB＝40°，则∠PAB∠POB＝20°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB， ∵PB与⊙O相切于点B， ∴PB⊥OB， ∴∠OBP＝90°， ∵∠P＝50°， ∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°， ∴∠PAB∠POB＝20°， 故答案为：20． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 12．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm． 【考点】点与圆的位置关系． 【专题】与圆有关的位置关系；应用意识． 【答案】5． 【分析】根据“点P在圆上⇔d＝r”求解即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上， ∴点P到圆心O的距离为5cm， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 13．（2025•烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算． 【专题】正多边形与圆． 【答案】． 【分析】连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，根据正六边形的性质得出OA＝OE＝OF，，∠BAF＝120°，证明△OAF和△OEF为等边三角形，求出，证明△GOA≌△HOE，得出S△GOA＝S△EOH，得出，根据S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF，求出结果即可． 【解答】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OE＝OF，，∠BAF＝120°， ∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°， ∴∠OEF＝∠OAF＝60°， ∵OM⊥AF， ∴AM＝FMAF＝2， ∴OM， ∴S△OAF， ∵∠BAF＝120°， ∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠OAG＝∠OEH， ∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°， ∴∠GOA＝∠EOH， ∴△GOA≌△HOE， ∴S△GOA＝S△HOE， ∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF， ∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF， ∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF ， 答案为：． 【点评】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 14．（2025•广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　6　 ． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】6． 【分析】作直径DE，连接BE，根据圆周角定理得出∠A＝∠E，∠EBD＝90°，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝60°＝∠E，解直角三角形求出BD即可． 【解答】解：如图，作直径DE，连接BE， 则由圆周角定理得：∠A＝∠E，∠EBD＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠E＝60°， ∵⊙O的半径为6， ∴DE＝12， ∴BD＝DE×sin∠E＝12×sin60°＝126． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解题的关键． 15．（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 　π　 ． 【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算． 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】π． 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°， ∴劣弧的长为：π， 故答案为：π． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 16．（2025•内江）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是　2　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】2． 【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到ADAB＝4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB8＝4， 在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4， ∴OD3， ∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 17．（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　108或36　 度． 【考点】直线与圆的位置关系；正多边形和圆；多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；与圆有关的位置关系；正多边形与圆；运算能力；推理能力． 【答案】108或36． 【分析】分两种情况，由正多边形的性质，即可求解． 【解答】解：如图： ∵∠MPN是正五边形的一个内角， ∴∠MPN108°； 如图： ∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角， ∴∠OAB＝∠OBA72°， ∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴这个角的度数为108°或36°． 故答案为：108或36． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，关键是要分两种情况讨论． 18．（2025•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2，则的长为　π　 ． 【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力． 【答案】π． 【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°， ∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°， ∴OC＝OBBC22， ∴的长为：π， 故答案为：π． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 19．（2025•成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　2　 ． 【考点】正多边形和圆． 【专题】正多边形与圆． 【答案】2． 【分析】如图，连接AC，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出∠BCA的度数，进而推出△ACD为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵正六边形ABCDEF， ∴AB＝BC＝CD＝1，， ∴∠BCA＝∠BAC＝30°， ∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°， ∵正六边形为轴对称图形， ∴， ∴∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质， 20．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　3　 ，EH的长度为 　　 ． 【考点】圆周角定理；勾股定理；菱形的性质；垂径定理． 【专题】圆的有关概念及性质． 【答案】3，． 【分析】由垂径定理以及勾股定理可得CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10、AC＝13，由菱形的性质可得CD＝AC＝13，进而得到GD＝8、DF＝3、，如图：连接BC，BH，由圆周角定理可得∠ACB＝90°、∠AHB＝90°，再解直角三角形可得，；由菱形的性质以及平行线的性质可得∠DAE＝∠CDA，如图：过H作HF⊥AE于F，解直角三角形可得，，易得，最后运用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5， ∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵CD＝AC＝13， ∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3， ∴， 如图，连接BC，BH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°， ∴，即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∵四边形ACDE是菱形， ∴CD∥AE， ∴∠DAE＝∠CDA， 如图，过H作HM⊥AE于M， ∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$