备考2026年中考数学一轮复习 一元二次方程

中考数学一轮复习 一元二次方程 一．选择题（共5小题） 1．（2025•广安）关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 2．（2025•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 4．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 5．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 二．填空题（共9小题） 6．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　 　 ． 7．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　 　 ． 8．（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　 　 ． 9．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　 　 ． 10．（2025•山东）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ． 11．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　 　 ． 12．（2025•上海）一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　 ． 13．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　 　 ． 14．已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 16．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 17．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 18．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 中考数学一轮复习 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2025•广安）关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】B 【分析】依据题意，由一元二次方程为x2+3x+1＝0，则Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程为x2+3x+1＝0， ∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0． ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式进行判断是关键． 2．（2025•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】D 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出5﹣4m≥0，解之即可得出实数m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围是m． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 3．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】由题意得出该钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，再结合该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨， 又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨， ∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2024年接待游客人次数＝该景区2022年接待游客人次数×（1+该景区这两年接待游客的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】利用直接开平方法解方程（x﹣4）2＝9，利用负数没有平方根可判断方程（x+9）2＝﹣4没有实数解，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9， x﹣4＝±3， 解得x1＝7，x2＝1； 对于方程（x+9）2＝﹣4． 因为负数没有平方根， 所以此方程没有实数解． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 二．填空题（共9小题） 6．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　方程有两个不相等的实数根　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】方程有两个不相等的实数根． 【分析】把a＝2，b＝1，c＝﹣1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出根的判别式是解题关键． 7．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　2027　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】2027． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝2025，mn＝1，代入整理后的代数式，即可求解． 【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根， ∴m+n＝2025，mn＝1， ∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027， 故答案为：2027． 【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 8．（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　﹣3　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣3． 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，结合x1＝1，即可求出x2的值． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2， 又∵x1＝1， ∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于”是解题的关键． 9．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　﹣2　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】依据题意，利用根与系数的关系得到x1+x2，x1x2的值，然后（x1+1）（x2+1）代入计算即可． 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用关系式是关键． 10．（2025•山东）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m＞﹣4　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】m＞﹣4． 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式Δ＞0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， 即Δ＝42+4m＞0， 解得m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　29　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】29． 【分析】依据题意，由已知方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b，得出a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0，求出a2﹣5a＝24，代入a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b求出即可． 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b， ∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0． ∴a2﹣5a＝24， ∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b， ＝24+5， ＝29． 故答案为：29． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用了整体代入（a+b和a2﹣5a分别当作一个整体）的思想是关键． 12．（2025•上海）一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　m　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】m． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，可得出1﹣8m＜0，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝12﹣4×2×m＝1﹣8m＜0， 解得：m， ∴m的取值范围是m． 故答案为：m． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 13．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　10　 ． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】10． 【分析】将x＝α代入原方程，可得出2α2﹣6α＝1，利用根与系数的关系，可得出α+β＝3，再将其代入原式＝（2α2﹣6α）+3（α+β）中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0， ∴2α2﹣6α＝1． ∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β， ∴α+β＝3， ∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出2α2﹣6α＝1及α+β＝3是解题的关键． 14．已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 15．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝4，x2＝3． 【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可． 【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 16．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】m． 【分析】设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，根据小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】（1）；（2）详见解答． 【分析】（1）先把方程的解代入方程，得关于m的新方程并求解，再根据根与系数的关系或解方程求出方程的另一个解； （2）先利用根的判别式判断方程解的情况，再利用根与系数的关系整体代入，得结论 【解答】解：（1）把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2， 得m2＝6， ∴． ∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0． ∴（x﹣4）（x+1）＝0． ∴x1＝﹣1，x2＝4． ∴． （2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0． ∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2． ∴（x1﹣1）（x2﹣1） ＝x1•x2﹣（x1+x2）+1 ＝2﹣m2﹣3+1 ＝﹣m2． ∵m2≥0， ∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点是解决本题的关键． 18．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）20%； （2）40件． 【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$