备考2026年中考数学一轮复习 图形的相似

中考数学一轮复习 图形的相似 一．填空题（共5小题） 1．（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是　 　 ． 2．（2025•甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　 　 cm． 3．（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为　 　 ． 4．（2025•烟台）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为　 　 ． 5．（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 　 　 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 　 　 ． 二．解答题（共11小题） 6．（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． （1）求证：AB＝AC； （2）若，AB＝8，求DG的长． 7．（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． （3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 8．（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　 　 ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 9．（2025•湖北）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 10．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； （3）当a时，求MN+ND的最小值． 11．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 12．（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 13．（2025•烟台）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径． 14．（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 15．（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F． （1）求证：BE∥CD； （2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长． 16．（2025•成都）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q． 【特例感知】 （1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，求的值．（用含n的代数式表示） 中考数学一轮复习 图形的相似 参考答案与试题解析 一．填空题（共5小题） 1．（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；旋转的性质． 【专题】三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似． 【答案】． 【分析】先整理得AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，则，结合∠BCE＝∠ACD＝90°，整理得∠ACB＝∠ECD，证明△CED∽△ACB，即∠EDC＝∠ABC＝90°，运用定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1，运用勾股定理得，即可作答． 【解答】解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，连接DE， ∴∠ACD＝90°， ∵△ACD面积为24， ∴， ∴AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8， ∵BC＝6， ∴BC×CE＝6×8＝48，即AC×CD＝BC×CE， ∴， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝∠ACD＝90°， ∵∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， ∴∠ACB＝∠ECD， ∵， ∴△CED∽△ACB， ∴∠EDC＝∠ABC＝90°， ∵CE＝8， 即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上， 记圆心为直径CE的中点O， 即⊙O的半径OD＝4， 连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1， 此时BD1为BD的最大值， 故， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以CE为直径的圆上是解题的关键． 2．（2025•甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　195　 cm． 【考点】相似三角形的应用；勾股定理的应用． 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】195． 【分析】求出小风筝两条对角线长的和为65cm，再证明大风筝和小风筝相似，相似比为3：1，即可解决问题． 【解答】解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm， ∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm）， ∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1， ∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1， ∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm）， 故答案为：195． 【点评】本题考查了相似多边形的应用，熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 3．（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为　（，0）　 ． 【考点】相似三角形的应用；规律型：数字的变化类． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】（，0）． 【分析】根据相似三角形的性质可得∠AOB＝30°，然后在Rt△AOB中，利用锐角三角函数的定义可得OAOB，最后从数字找规律进行计算，即可解答． 【解答】解：∵图中的12个直角三角形是相似三角形， ∴∠AOB30°， 在Rt△AOB中，cos30°， ∴OAOB， 同理可得：OBOC，OCOD， ∴OA＝（）2OC，OA＝（）3OD， … ∴OA＝（）6OGOG， ∵OA＝1， ∴OG， ∴点G的坐标为（，0）， 故答案为：（，0）． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025•烟台）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为　（﹣10，）　 ． 【考点】位似变换；规律型：点的坐标． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（﹣10，）． 【分析】利用待定系数法求出直线AP的解析式，利用两点间的距离公式求出AP，根据位似变换的性质求出AP3，再根据两点间的距离公式列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设直线AP的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， 则直线AP的解析式为yx+6， AP， 由题意得：AP1＝2AP＝5，AP2＝2AP1＝10，AP3＝2AP2＝20， 设A3的坐标为（m，m+6）， 则（m﹣6）2+（m+6）2＝202， 解得：m1＝﹣10，m2＝22（舍去）， 当m＝﹣10时，m+6， ∴点A3的坐标为（﹣10，）， 故答案为：（﹣10，）． 【点评】本题考查的是位似变换，图形的变化规律，熟记两点间的距离公式是解题的关键． 5．（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 　4　 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】4，． 【分析】作AH⊥BC．DG⊥BC．DF⊥AH，垂足分别为H．G．F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG＝FH，DF＝HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG＝DG，三线合一得到BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，证明△ADF∽△ACH，得到，设DF＝3x，CH＝5x，求出DG，CG的长，正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值，证明△DEC∽△BED，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形， ∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH， ∵∠DBC＝45° ∴△BDG为等腰直角三角形， ∴BG＝DG， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ACH， ∴， ∴设DF＝3x，CH＝5x， 则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x， ∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x， ∴， ∴在Rt△CGD中，， 由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22， ∴（负值舍去）， ∴，BC＝2CH＝10x， ∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB， ∴∠CDE＝∠CBD＝45°， 又∵∠E＝∠E， ∴△DEC∽△BED， ∴， ∴，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE， ∴， 解得：CE＝0（舍去）或CE， 故答案为：4，． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键． 二．解答题（共11小题） 6．（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． （1）求证：AB＝AC； （2）若，AB＝8，求DG的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解答； （2）DG的长是． 【分析】（1）连接OD，由∠F＝45°，得∠DOE＝2∠F＝90°，由切线的性质得AB⊥OD于点D，则∠ODA＝∠DOE＝90°，所以AB∥OE，因为OC＝OE，所以∠B＝∠OEC＝∠C，则AB＝AC； （2）由sinA，得OAOD，因为OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，所以OD+OD＝8，则OF＝OD＝3，求得OA＝5，DF＝3，则AD＝4，由AD∥OF，证明△AGD∽△OGF，则，求得DGDF． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠F＝45°， ∴∠DOE＝2∠F＝90°， ∵⊙O与AB相切于点D， ∴AB⊥OD于点D， ∴∠ODA＝∠DOE＝90°， ∴AB∥OE， ∵OC＝OE， ∴∠B＝∠OEC＝∠C， ∴AB＝AC． （2）解：∵sinA， ∴OAOD， ∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°， ∴OD+OD＝8， ∴OF＝OD＝3， ∴OA3＝5，DFOF＝3， ∴AD4， ∵AD∥OF， ∴△AGD∽△OGF， ∴， ∴DGDFDF3， ∴DG的长是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 7．（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． （3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】（1）见解析； （2）纪念碑AB的高度为19.8m． （3）小红的结果误差较大，理由见解析． 【分析】（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设AB＝x m，证明△NEH﹣△NAB得到，求出x的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴， ∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 即DE＝DF， ∴CD＝CA； （2）如图，令BN与DE的交点为H， 则四边形BCDH和MNHD是矩形， ∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m， ∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m， ∴EH＝DE﹣DH＝0.9m， 设AB＝x m，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m， ∴BH＝CD＝（1.2+x）m， ∴NB＝BH+NH＝（2.2+x）， ∵EH∥AB， ∴△NEH∽△NAB， ∴， ∴， 解得：x＝19.8， 答：纪念碑AB的高度为19.8m． （3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 8．（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　OD＝CG+OE　 ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明见解析； （3）的值为或． 【分析】（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P，由角平分线的性质定理可得CP＝CD，再证明Rt△POC≌Rt△DOC（HL）可得OP＝OD，然后说明四边形CPEG是矩形可得PE＝CG，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作CQ⊥OA于点Q，由角平分线的性质定理可得CQ＝CD，再证明Rt△QOC≌Rt△DOC可得OQ＝OD，然后说明四边形CQEG是矩形可得QE＝CG，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分0°＜∠AOB＜90°和90°＜∠AOB＜180°分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴； ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥GF，GF⊥OE， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE， ∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，， 综上，的值为或． 【点评】本题是相似形的综合题，主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 9．（2025•湖北）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 【考点】相似形综合题． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）①见解析；②． 【分析】（1）根据旋转可得 AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，则，即可证明△BCE∽△ACD； （2）根据BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，可得 AC＝CD＝1，，即可得出，过D作DH⊥AC，则，即DH＝2AH，在△CDH中勾股定理求出，则，在△ADH中勾股定理求出AD，根据△BCE∽△ACD，得出，即可求出； （3）①设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据∠ACB＝90°，得出∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α，∠ECF＝90°﹣α，即可得∠DCB＝∠ECF，根据GF∥AB，得出∠F+∠A＝180°，即可得∠CDB＝∠F，证明△BCD≌△ECF，得出CD＝CF，结合CD＝AC，得出AC＝CF； ②根据，设GF＝5k，GB＝6k，证明四边形ABGF是平行四边形，得出AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A，由①得CD＝AC＝CF＝3k，在Rt△ABC中，勾股定理得出BC＝4k，则，则，根据△CBD≌△CEF，得出∠CBD＝∠CEF，根据GF∥AB，得出∠FEB+∠ABE＝180°，证明∠FEB＝90°，∠BEG＝90°，则，求出，由①可得，∠ADC+∠CDB＝180°，得出∠CEB+∠CDB＝180°，证出点C，D，B，E四点共圆，根据圆周角定理得出∠BED＝∠BCD，证明△BEK∽△DCK，得出，设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y，则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①，根据旋转可得DE＝AB＝5k，则DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②，联立①②求出x，y，再根据即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上， ∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE， ∴， ∴△BCE∽△ACD； （2）解：∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°， ∴AC＝CD＝1，， ∴， 过D作DH⊥AC， ∴， ∴DH＝2AH， 在△CDH中，CH2+DH2＝CD2， 即（1﹣AH）2+（2AH）2＝12， 解得：，AH＝0（舍去）， ∴， 在△ADH中，AH2+DH2＝AD2， ∴， ∵△BCE∽△ACD， ∴，即， ∴； （3）①证明：设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α， ∴∠ECF＝90°﹣α， ∴∠DCB＝∠ECF， ∵GF∥AB， ∴∠F+∠A＝180°， ∴∠CDA+∠CDB＝180°，∠CDA＝∠A， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠DCB＝∠ECF，∠CDB＝∠F，CB＝CE， ∴△BCD≌△ECF（AAS）， ∴CD＝CF， ∵CD＝AC， ∴AC＝CF； ②解：∵， ∴设GF＝5k，GB＝6k， ∵GF∥AB，BG∥AF， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A， 由①得CD＝AC＝CF＝3k， 在Rt△ADC中，AB2＝BC2+AC2， ∴， ∴， ∴， ∵△CBD≌△CEF， ∴∠CBD＝∠CEF， ∵GF∥AB， ∴∠FEB+∠ABE＝180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD＝180°， 即2（∠CEF+∠CEB）＝2∠FEB＝180°， ∴∠FEB＝90°， ∴∠BEG＝90°， ∴sin，即， ∴， 由①可得，∠ADC+∠CDB＝180°， ∴∠CEB+∠CDB＝180°， ∴点C，D，B，E四点共圆， ∴∠BED＝∠BCD， ∵∠BEK＝∠KCD，∠BKE＝∠DKC， ∴△BEK∽△DCK， ∴， 设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y， 则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①， 根据旋转可得DE＝AB＝5k， ∴DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②， 联立①②可得， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 10．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； （3）当a时，求MN+ND的最小值． 【考点】相似形综合题． 【专题】图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先求出AB、AC的长，再根据中点求出AD、BN的长，即可得a的值； （2）设BN＝x，得到，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，进而得到，分△CDN∽△BMN和△CND∽△BMN两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）法一（几何法）：以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，易得△AED为等腰直角三角形，得到，∠DAE＝45°，进而得到四边形EDNB为平行四边形，得到BE＝DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，证明△AEB≌△BNF，得到BE＝DF，进而得到DF＝DN，得到MN+ND＝MN+NF≥MF，勾股定理求出MF的长即可．法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，由BM，可得BE＝ME＝1，设BN＝x，则AD，CD， DF＝CFCD＝2﹣x，EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，由勾股定理可得MN+ND，上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，根据将军饮马原理即可求得结果． 【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC． 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得ADAC，BNBC＝2， 故a． （2）∵，AD＝aBN， ∴ADBN，设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， ∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4， ∴，， ∵M是AB的中点， ∴， ∴∠B＝∠C＝45°， 当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN﹣△BMN时，则， 即，此方程无解，不符合题意； ②当△CND∽△BMN时，则， ∴解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得． （3）法一（几何法）： ∵，AD＝aBN， ∴． 以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°， 如图所示： ∴， ∴AE＝DE＝BN， ∵∠ADE＝∠C＝45°， ∴DE∥BN， ∴四边形EDNB为平行四边形， ∴BE＝DN， 将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF， 则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠NBF＝45°＝∠BAE， 又∵AB＝BF，AE＝BN， ∴△AEB≌△BNF（SAS）， ∴BE＝NF， ∴DN＝NF， ∴MN+ND＝MN+NF≥MF， ∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长， 在Rt△MBF中，，， 故， ∴MN+ND的最小值为． 法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BM， ∴BE＝ME＝1，设BN＝x， 则AD，CD＝AC﹣AD， ∵∠C＝45°， ∴DF＝CFCD＝2﹣x， ∴EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2， 由勾股定理可得MN+ND ， 上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和， 欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1）， 则MN+ND的最小值为． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值等知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形是解题关键． 11．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　45°　 ，k的值为　1　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题；压轴题． 【答案】（1）45°，；（2）；（3）的值与α 无关，理由见解析；（4）BF+BA＝2BEcos． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得△AEF∽△AOB，推出∠EAB＝∠EAO，，再得到△AFB∽△AEO，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证△AFB∽△AEO，得到，根据线段垂直平分线的性质求得AB＝2BG，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据BE＝OE+OB，求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA， ∴旋转角为45°，k， ∴k， 故答案为：45°，； （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ∴， ∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ∴， ∴， （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，∠BAO，2cos， ∴BF＝OE•2cos，BA＝OB•2cos， ∵BE＝OE+OB， ∴BF+BA＝OE•2cos ＝2（OE+OB）cos， 即BF+BA＝2BEcos． 【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 【考点】作图﹣位似变换． 【专题】作图题；图形的相似；几何直观． 【答案】（1）画图见解答；点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）见解答． 【分析】（1）利用网格画图，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 13．（2025•烟台）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径． 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质． 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】（1）见解答； （2）BC，⊙O的半径为． 【分析】（1）作直径AE，连接BE，如图，先证明∠C＝∠BAD，再证明∠E+∠BAE＝90°，然后证明∠DAE＝90°，则根据切线的判定方法得到结论； （2）先证明△DAB∽△DCA，利用相似比可计算出DC，所以BC＝CD﹣DB；接着根据等腰三角形的性质得到CHCD，则利用勾股定理可计算出AH，然后证明△ABE∽△AHC，利用相似比求出AE，从而得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：作直径AE，连接BE，如图， ∵BD＝AB， ∴∠D＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠BAD， ∵∠E＝∠C， ∴∠E＝∠BAD， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， ∴∠BAD+∠BAE＝90°， 即∠DAE＝90°， ∴AE⊥AD， ∵AE为直径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵∠D＝∠C， ∴AD＝AC＝8， ∵∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA， ∴△DAB∽△DCA， ∴DB：DA＝DA：DC， 即5：8＝8：DC， 解得DC， ∴BC5； ∵AD＝AC，AH⊥CD， ∴CHCD， 在Rt△ACH中，∵AC＝8，CH， ∴AH， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠E＝∠C，∠ABE＝AHC， ∴△ABE∽△AHC， ∴AE：AC＝AB：AH， 即AE：8＝5：， 解得AE ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了圆周角定理和切线的判定与性质． 14．（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）连接OC，OD，证明△OCE≌△ODF（SAS），得出OE＝OF，得到CD∥AB； （2）证明△BAF∽△BOA，得到，得出AB2＝BF•OB． 【解答】证明：（1）连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CE＝DF， ∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE＝OF， ∴， ∴EF∥AB， ∴CD∥AB； （2）∵△OCE≌△ODF， ∴∠COE＝∠DOF， ∵AB＝BD， ∴∠AOB＝∠DOF， ∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE， 连接AF， ∵OA＝OD， ∴△AOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE， ∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF， ∴△OEC∽△FEA， ∴∠COE＝∠AFE， ∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE， ∴△BAF∽△BOA， ∴， ∴AB2＝BF•OB． 【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F． （1）求证：BE∥CD； （2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质． 【专题】三角形；圆的有关概念及性质． 【答案】（1）见解析；（2）半圆C的半径为2，． 【分析】（1）连接OC，切线得到OC⊥CD，等边对等角得到∠OAC＝∠OCA，圆周角定理得到∠EBC＝∠CAO，∠ACB＝90°，同角的余角得到∠OCA＝∠BCD，等量代换得到∠CBE＝∠BCD，即可得证； （2）连接AE，设半圆O的半径为r，解直角三角形OCD，求出半径的长，进而求出AB的长，平行得到∠ABE＝∠D，解直角三角形ABE，求出AE，BE的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【解答】（1）证明：连接OC，则OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD， ∴∠BCD+∠OCB＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°， ∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵， ∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD， ∵∠CAB＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠BCD， ∴BE∥CD； （2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r， ∵BD＝1， ∵OD＝r+1， ∵OC⊥CD， ∴， ∴r＝2，即半圆O的半径为2， ∴AB＝2r＝4， 连接AE，则：∠AEB＝90°， ∵BE∥CD， ∴∠ABE＝∠D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠EAF＝∠BAF， ∴AF平分∠BAE， ∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．（2025•成都）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q． 【特例感知】 （1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，求的值．（用含n的代数式表示） 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）． 【分析】（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，再结合平行四边形的性质可得∠PCG＝∠QFG，然后根据三角形内角和定理可得∠CQE＝∠P，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得EQ＝EP，从而得到FQ＝CP，可证明△FQG≌△CPG，从而得到FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，再由折叠的性质得：AF＝AB，再根据△CGP∽△BAP，可得AB＝12，即可求解； （3）延长AD，EQ交于点M，设CQ＝a，BE＝b，证明△DQM∽△CQE得出DM＝2bn，证明△FEP∽△CEQ，得出，证明△AMF∽△PEF，得出，进而求得，根据PC∥AD得出△GPC∽△GAD，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠PCG， ∴∠AFE＝∠PCG， ∵∠AFE＝∠QFG， ∴∠PCG＝∠QFG， ∵∠FGQ＝∠CGP， ∴∠CQE＝∠P， ∵CE＝BE，BE＝EF， ∴EF＝EC， 又∵∠CEQ＝∠FEP， ∴△EFP≌△ECQ（AAS）； （2）∵△EFP≌△ECQ， ∴EQ＝EP， ∵EF＝EC， ∴FQ＝CP， ∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P， ∴△FQG≌△CPG（AAS）， ∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5， 由折叠的性质得：AF＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△CGP∽△BAP， ∴， ∴，解得：AB＝12， ∴CD＝12， ∴DQ＝CD﹣CG﹣QG＝4； （3）如图，延长AD，EQ交于点M， 设CQ＝a，BE＝b ∴，CE＝2BE， ∴DQ＝an，EC＝2b， ∴AB＝CD＝（n+1）a，AD＝3b， ∵△ABE关于AE折叠， ∴AF＝AB＝（n+1）a， ∵AD∥BC，即DM∥EC， ∴△DQM∽△CQE， ∴，即， ∴DM＝2bn ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADQ， 又∵△ABE关于AE折叠， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠AFQ+∠AFE＝180°， ∴∠AFQ+∠ADQ＝180°， ∴∠DAF+∠DQF＝180°， ∵∠EQC+∠DQF＝180°， ∴∠EQC＝∠DAF， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠FPE， ∴∠EQC＝∠FPE， 又∵∠FEP＝∠CEQ， ∴△FEP∽△CEQ， ∴，即， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AMF∽△PEF， ∴， ∴， 解得：， ∴， 又∵PC∥AD， ∴△GPC∽△GAD， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$