备考2026年中考数学一轮复习 图形的对称

中考数学一轮复习 图形的对称 一．选择题（共6小题） 1．（2025•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•凉山州）以下字母是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•泸州）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共11小题） 7．（2025•黑龙江）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM＝3，则AMBM的最小值为 　 　 ． 8．（2025•齐齐哈尔）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED，则△BEC的面积为　 　 ． 9．（2025•宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则的值为　 　 ． 10．（2025•威海）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则 　 　 ． 11．（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQPF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是　 　 ． 12．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是　 　 ． 13．（2025•甘肃）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　 　 cm． 14．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 　 　 ． 15．（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　 　 ． 16．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为　 　 ． 17．（2025•遂宁）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H．有下列结论： ①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为． 其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 三．解答题（共1小题） 18．（2025•烟台）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 中考数学一轮复习 图形的对称 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2025•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2025•遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形； D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3．（2025•凉山州）以下字母是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：A、C、D选项的字母均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形； B选项的字母能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 4．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的性质；正方形的性质． 【专题】展开与折叠． 【答案】A 【分析】连接GE，证明Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），可得GF＝GB，设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点H到AD，AG，GD的距离相等，利用面积之比即可解答． 【解答】解：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x， 根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2， 即（2﹣x）2+22＝（2+x）2， 解得， ∴，， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 5．（2025•重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 6．（2025•泸州）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可． 【解答】解：在四个选项的图形中，只有选项C的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、B、D不是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 二．填空题（共11小题） 7．（2025•黑龙江）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM＝3，则AMBM的最小值为 　5　 ． 【考点】胡不归问题；相似三角形的应用；勾股定理． 【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】在BC上取点G，使CG＝1，构造出△MCG﹣△BCM，得，再根据两点之间线段最短得出即当M在AG上时， 取最小值． 【解答】解：在BC上取点G，使CG＝1， 又∵BC＝9，CM＝3，， 又∵∠MCG＝∠MCB， ∴△MCG∽△BCM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当M在AG上时，取最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出． 8．（2025•齐齐哈尔）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED，则△BEC的面积为　或　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】或． 【分析】根据折叠的性质得到DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，设AD＝3x，DE＝4x，得到AE＝5x＝5，求得AB＝AC＝6，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合， ∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5， ∴∠ADE＝90°， ∵tan∠AED， 设AD＝3x，DE＝4x， ∴AE＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD＝BD＝3，DE＝4， ∴AB＝AC＝6， ∴CE＝1， ∴， ∴S△CBE； 如图， ∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合， ∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5， ∴∠ADE＝90°， ∵tan∠AED， 设AD＝3x，DE＝4x， ∴AE＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD＝BD＝3，DE＝4， ∴AB＝AC＝6， ∴CE＝11， ∴， ∴S△CBE； 综上所述△BEC的面积为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．（2025•宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则的值为　　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质及平行线的性质得到CE＝BE＝ME，再根据等角对等边推出AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，利用勾股定理求出即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°， ∵EF∥BD， ∴∠CEF＝∠CBA，∠FEM＝∠EMB， 由翻折得∠CEF＝∠FEM，MF＝CF， ∴∠EMB＝∠EBM， ∴CE＝BE＝ME， ∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠EBM， ∴∠ADM＝∠AMD， ∴AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，AE＝AM+EM＝3x， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，掌握以上性质是解题的关键． 10．（2025•威海）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则 　　 ． 【考点】图形的剪拼；全等图形；全等三角形的性质；矩形的性质． 【专题】几何图形；运算能力． 【答案】． 【分析】根据四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，构建方程求解． 【解答】解：由题意（m2）＝2•（mn）2， 整理得4m2﹣8mn+n2＝0， ∴mn， ∵mn， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查图形的拼剪，全等图形，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 11．（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQPF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是　　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；轨迹． 【专题】展开与折叠． 【答案】． 【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，证明△AQH∽△PFA，进而得到，进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点E运动到点C时，点Q的运动轨迹是圆心角为60°的，求出两段路径的和即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE， ∴AP＝AB＝4， 当点P在矩形内部时，作 HQ⊥AP，交AB于点H，则：∠AQH＝90°＝∠BAD， ∠AHQ＝∠PAF＝90°﹣∠HAQ， ∵PF⊥AD， ∴∠PFA＝90°＝∠AQH， ∴△AQH∽△PFA， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以AH为直径的圆上运动， ∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH， ∴点Q的运动路径长为：， 当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K， 同法可得：△AKQ∽△PAF，， ∴∠AKQ＝∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙O上运动， 连接OQ， 当点E运动到点C时，如图： ∵AB＝4，，∠B＝90°， ∴， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°， ∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE， ∴∠PAC＝∠BAC＝60°， ∴∠PAF＝∠PAC﹣∠CAD＝30°， ∴∠AKQ＝∠PAF＝30°， ∴∠AOQ＝2∠AKQ＝60°， ∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的路径长为， ∴点Q的运动路径总长为：， 故答案为：． 【点评】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点Q的运动轨迹，是解题的关键． 12．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是　82.5°或52.5°或37.5°　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质． 【专题】多解填空题；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】82.5°或52.5°或37.5°． 【分析】由矩形的性质得∠B＝∠BAD＝90°，由折叠得∠PAB′＝∠PAB∠BAB′，再分三种情况讨论，一是∠BAB′＝15°，则∠PAB15°＝7.5°，求得∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°；二是∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧，则∠PAB75°＝37.5°，求得∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°；三是∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧，则∠PAB105°＝52.5°，求得∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， 由折叠得∠PAB′＝∠PAB∠BAB′， 如图1，∠BAB′＝15°， ∵∠PAB15°＝7.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°； 如图2，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧， ∵∠BAB′＝∠BAD﹣∠DAB′＝75°， ∴∠PAB75°＝37.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°； 如图3，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧， ∵∠BAB′＝∠BAD+∠DAB′＝105°， ∴∠PAB105°＝52.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°， 综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°， 故答案为：82.5°或52.5°或37.5°． 【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 13．（2025•甘肃）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　12　 cm． 【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】12． 【分析】首先根据等边三角形的性质可得DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，再利用平行四边形的性质、三角形外角性质证明∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得AD的长． 【解答】解：∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°， 根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝6cm， ∴∠EAC＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠CED＝∠EAC+∠ECA， ∴∠EAC＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝2CD＝12cm， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半． 14．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 　　 ． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；平行四边形的性质；菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】． 【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF＝AD，EF＝AD，由E为线段AC上的动点，可知E、F运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，得出点B的运动轨迹为线段MN，过点E作关于线段MN的对称点E，由对称性得BE＝BE，则BE+BF＝BE+BF≤EF，当且仅当E、B、F依次共线时，BE+BF取得最小值EF，此时，设AC与BD交于点O，EE交MN于点H，延长EE交FD延长线于点G，分别证明四边形EOBH和四边形DOEG是矩形，求出GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE＝EH＝EH＝1，再利用勾股定理求出EH即可． 【解答】解：∵四边形DAEF为平行四边形， ∴EF＝AD，DF＝AE， ∵E为线段AC上的动点， ∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动， 则如图，点B的运动轨迹为线段MN， 过点E作关于线段MN的对称点E'， 由对称性得BE＝BE'， ∴BE+BF＝BE'+BF≤E'F， 当且仅当E'、B、F依次共线时，B'E+BF取得最小值E'F，此时如图， 设AC与BD交于点O，EE交MN于点H，延长E'E交FD延长线于点G， 菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2， ∴，BO＝DOBD＝1，AC⊥BD， 由题可得AC∥MN， ∴由对称性可得EH⊥HB， ∴AC⊥GH， ∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°， ∴四边形EOBH是矩形， ∴EH＝EH＝OB＝1， ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AC， ∴GD⊥DO， ∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°， ∴四边形DOEG是矩形， ∴GD＝EO，GE＝DO＝1， ∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE'＝GE+EH+E'H＝3， ∴， 即BE+BF 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 15．（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　　 ． 【考点】轴对称﹣最短路线问题． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形． 【答案】． 【分析】作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，得出△AMN是等腰直角三角形，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而求得AD，即可求解． 【解答】解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD， ∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN， 当N，E，F，M四点共线时取得最小值， ∵N，M是D关于AB，AC的对称点， ∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM， 又∵∠EAD+∠FAD＝45°， ∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°， ∴△AMN是等腰直角三角形， ∴， ∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小， 又∵∠B＝60°，， ∴， ∴△DEF周长最小为， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键， 16．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为　（﹣1.5，5）　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（﹣1.5，5）． 【分析】设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G，则四边形BOGC 矩形，推出OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°．由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE．根据点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3），得出BO＝1，FO＝ 3，所以AO＝AB﹣BO＝a﹣1．在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2，解得 a＝5，则FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，解得DE＝2.5，所以GE＝1.5，则点E的坐标为 （﹣1.5，5）． 【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G， 则四边形BOGC是矩形， ∴OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°． 由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE． ∵点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3）， ∴BO＝1，FO＝ 3， ∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1． 在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2， ∴（a﹣1）2+32＝a2， 解得a＝5， ∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE． 在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2， ∴（4一 DE）2+22＝DE2， 解得DE＝2.5， ∴GE＝1.5， ∴点E的坐标为 （﹣1.5，5）． 故答案为：（﹣1.5，5）． 【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（2025•遂宁）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H．有下列结论： ①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为． 其中正确的结论有 　①②④　 ．（填序号） 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】①②④． 【分析】证明△ADE≌△CDE（SAS）即可判断①，在FC上取一点G，使得BG＝BE，证明△FBG≌△CBE（SAS），进而判断②；过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，则△AHK∽△BHN，根据相似三角形的性质即可判断③，取HB的中点T，连接TD，根据题意得出O在以HB为直径的圆上运动，进而得出当O在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，勾股定理求得TD的长，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点， ∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝EC，故①正确； 如图，在FC上取一点G，使得BG＝BE， ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠ADE＝45°，∠BAD＝90°，AD＝CD， ∵∠BAE＝15°， ∴∠DAE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠AED＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∵△ADE≌△CDE， ∴∠AED＝∠CED＝60°，∠DAE＝∠DCE＝75°， ∴∠HEB＝∠CED＝60°，∠BCE＝∠BAE＝15°， ∴△GEB是等边三角形， ∴∠EBG＝60°，EG＝BE， 又∵BF＝BC， ∴∠F＝∠BCF＝15°， ∴∠FBC＝180°﹣15°﹣15°＝150°， ∴∠DBC＝45°， ∴∠FBG＝∠FBC﹣∠GBE﹣∠CBE＝150°﹣60°﹣45°＝45°＝∠CBE， ∴△FBG≌△CBE（SAS）， ∴FG＝CE， ∴EF＝EG+FG＝EC+BE＝AE+BE，即BE+AE＝EF，故②正确； 如图，连接AC交BD于点O，则∠DAO＝45°，过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N， ∵AB＝1， ∴，， ∵∠DAE＝75°，∠DAO＝45°， ∴∠EAO＝30°， ∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴， ∴， ∵∠BCE＝15°，∠ACB＝45°， ∴∠ACK＝30°， ∴， 在Rt△BEN中，， ∵AK⊥FC，BN⊥FC， ∴KA∥BN， ∴△AHK∽△BHN， ∴，故③错误； 如图， ∵AB＝AH+HB＝1，， ∴， 即， ∵点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处， ∴PQ⊥HM， ∴∠HQB＝90°， ∴Q在以HB为直径的圆上运动， 取HB的中点T，连接TD， ∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三．解答题（共1小题） 18．（2025•烟台）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 【考点】作图﹣轴对称变换；矩形的性质． 【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）以D为圆心，DC为半径画弧，以B为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE即可； （2）如图，证明AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥|BC，∠A＝90°，可得∠ADB＝∠CBD，证明FB＝FD，设AF＝x，则DF＝2﹣x，可得12+x2＝（2﹣x）2再解方程即可． 【解答】解：（1）如图，△BED即为所求作的三角形； 由作图可得：DE＝DC，BE＝BC，BD＝BD，、 ∴△BCD≌△BED（SSS）， ∴△BED即为所求作的三角形； （2）如图，矩形ABCD， ∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠CBD， ∴∠FBD＝∠FDB， ∴FB＝FD，设AF＝x，则DF＝2﹣x，12+x2＝（2﹣x）2， 解得：， ∴． 【点评】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$