备考2026年中考数学一轮复习 四边形

中考数学一轮复习 四边形 一．选择题（共2小题） 1．（2025•泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（　　） A．6 B．6 C．3 D．42 二．填空题（共18小题） 3．（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　 　 ． 4．（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝ 　 　 ． 5．（2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　 　 ． 6．（2025•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　 　 ，使平行四边形ABCD为菱形． 7．（2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度． 8．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　 　 ． 9．（2025•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为 　 　 ． 10．（2025•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE． （Ⅰ）线段AE的长为 　 　 ； （Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为 　 　 ． 11．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　 　 ． 12．（2025•湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　 ． 13．（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　 　 ．（写出一个即可） 14．（2025•湖南）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ 　 　 ． 15．（2025•新疆）如图，在▱ABCD中．∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝ 　 　 ． 16．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　 　 ． 17．（2025•江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为　 　 度． 18．（2025•眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　 　 ． 19．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　 　 ． 20．（2025•云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 　 　 ． 中考数学一轮复习 四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2025•泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，先求出CE，证明△BCE和△CDQ全等得CE＝DQ，BE＝CQ＝1，证明△CPQ和△CBE相似得CP，PQ，则DP，FP＝CP，CF，EF，再证明四边形BCMN是矩形得MN＝BC＝2，由三角形的面积公式的FN，则FM，再由勾股定理求出EM，则AM，最后在Rt△AFM中，由勾股定理即可求出AF的长． 【解答】解：过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠DCB＝90°，CD∥AB， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝1， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE， ∴∠DCP+∠BCE＝90°， ∵DQ⊥CE， ∴∠CDQ+∠DCP＝90°， ∴∠BCE＝∠CDQ， 在△BCE和△CDQ中， ， ∴△BCE≌△CDQ（ASA）， ∴CE＝DQ，BE＝CQ＝1， ∵DQ⊥CE，∠B＝90°， ∴∠CPQ＝∠B＝90°， 又∵∠PCQ＝∠BCE， ∴△CPQ∽△CBE， ∴， ∴， ∴CP，PQ， ∴DP＝DQ﹣PQ， ∵DF＝DC，DQ⊥CE， ∴FP＝CP， ∴CF＝FP+CP， ∴EF＝CE﹣CF， ∵CD∥AB，MN⊥AB， ∴MN⊥CD， ∴∠MNC＝∠DCB＝∠B＝90°， ∴四边形BCMN是矩形， ∴MN＝BC＝2， 由三角形的面积公式得：S△DCFCD•FNDP•CF， ∴， ∴FN， ∴FM＝MN﹣FN， 在Rt△EFM中，由勾股定理得：EM， ∴AM＝AE+EM， 在Rt△AFM中，由勾股定理得：AF． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 2．（2025•自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（　　） A．6 B．6 C．3 D．42 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，构造△MDF∽△DBE，求出MD，取MD中点为O，得到点F在以O圆心，半径为2的圆上运动，连接OB，当F在线段OB上时，即O、F、B三点共线时，BF取得最小值，即可解答． 【解答】解：∵2BE＝3DF， ∴， 如图，过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M， ∴∠FMD＝∠EDB， ∴△MDF∽△DBE， ∴， ∵正方形ABCD边长为6， ∴BD6， ∴MD＝4， 取MD中点为O， ∴OD＝2， ∴点F在以O圆心，半径为2的圆上运动， 连接OB，OF， 在Rt△BDO中，OB4， 当F在线段OB上时，即O、F、B三点共线时，BF取得最小值， ∵OF+BF≥BO， ∴BF≥OB﹣OF＝42， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定和性质是解题的关键． 二．填空题（共18小题） 3．（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　9　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】9． 【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为180°，求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可． 【解答】解：∵多边形的每个内角都是140°， ∴多边形的每个外角都是180°﹣140°＝40°， ∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练多边形的外角和为360°． 4．（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝ 　205°　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】205°． 【分析】先根据五边形的内角和定理求出五边形的内角和，从而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根据已知条件求出答案即可． 【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， ∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°， ∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°， 故答案为：205°． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理． 5．（2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　　 ． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】． 【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN＝BM，继而得出S△ABF＝S△ABM，通过解直角三角形得出，即可求解． 【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠FMC， ∴AB∥FM， ∴FN＝BM， ∵，， ∴S△ABF＝S△ABM， ∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°， ∴∠BFC＝90°，， ∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（2025•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　AC⊥BD（答案不唯一）　 ，使平行四边形ABCD为菱形． 【考点】菱形的判定；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一）． 【分析】由菱形的判定方法，即可判断． 【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加一个条件AC⊥BD，使平行四边形ABCD为菱形． 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 【点评】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 7．（2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　36　 度． 【考点】多边形内角与外角；对顶角、邻补角；三角形内角和定理． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力． 【答案】36． 【分析】根据正多边形的内角和公式求出∠ABC＝∠BCD，然后再根据邻补角性质，可得：∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，即可求出∠FBC，∠BCF的度数，在△BCF中，根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°， 在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°， ∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF ＝180°﹣72°﹣72° ＝108°﹣72° ＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，邻补角性质，三角形的内角和定理，掌握正多边形的内角和公式，三角形的内角和定理，邻补角性质是解题的关键． 8．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】． 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4，由勾股定理可求AO的长，通过证明△EGD∽△AOD，可求EGAO＝2，DGDO＝4，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4， ∴AO4， ∵E是AD的中点， ∴AD＝2DE， ∵EG⊥BD， ∴EG∥AC， ∴△EGD∽△AOD， ∴， ∴EGAO＝2，DGDO＝4， ∵BF＝3， ∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9， ∴EF， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 9．（2025•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为 　3或9　 ． 【考点】矩形的性质；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】3或9． 【分析】根据题意画出示意图，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，由勾股定理求出进而得到由点C关于直线EF的对称点P，得到，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，进而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE（180°﹣∠PEC）＝30°，证明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH，进而求解；当点P在AC下方时，先求出\∠CEP＝60°，CH，结合对称的性质易证△CEP是等边三角形，易求EH＝PHPE解直角三角形求出HF，由CF＝CH﹣HF即可求解． 【解答】解：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时， ∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝12，，∵ 点E是边CD的中点， ∴， ∵点C关于直线EF的对称点P， ∴，∠EGC＝∠EGP＝90°， ∵PH⊥AC， ∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CEH＝∠CAD＝60°， ∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE， ∴， ∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°， ∴∠CPE＝∠EFC＝30°， ∴△CEF是等腰三角形，， 在Rt△CEH中，， ∠HCE＝30°，CH＝CE•cos∠HCE＝3， ∴CF＝2CH＝9； 如图，当点P在AC下方时， ∵PE⊥AC， ∴∠CHE＝90°， ∵∠ACD＝30°， ∴∠CEP＝60°，CH＝CE•cos∠ACD＝3， 由对称的性质得PE＝CE， ∴△CEP是等边三角形， ∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝3， ∴∠HEF＝30°，，， ∴CF＝CH﹣HF＝3； 综上，CF的长为3或9． 故答案为：3或9． 【点评】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2025•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE． （Ⅰ）线段AE的长为 　　 ； （Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为 　　 ． 【考点】矩形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）求出BE＝1，由勾股定理可求AE的长； （Ⅱ）由SAS可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，由等腰直角三角形的性质和锐角三角函数可求MN的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵EC＝2BE，BC＝3， ∴BE＝1，EC＝2， ∴AE， 故答案为：； （Ⅱ）如图，过点M作MH⊥EF于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2， ∵F为CD的中点， ∴CF＝DF＝1， ∴BE＝CF＝1，AB＝EC＝2， ∴△ABE≌△ECF（SAS）， ∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF， ∴∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CEF+∠AEB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠AFE＝45°，AFEF， ∵M为AF的中点， ∴MF， ∵MH⊥EF， ∴∠MFH＝45°＝∠FMH，MH＝HF， ∵∠FMN＝75°， ∴∠NMH＝30°， ∴MN， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 11．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　5　 ． 【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】5． 【分析】由题意可得AM＝AN，MP＝NP，则点P在AH上运动，由点P始终在▱ABCD的内部或边上．则AP的最大值为AH的长，通过证明△ABH是等边三角形，可得AB＝AH＝6，即可求解． 【解答】解：如图，连接AP，交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∵△MNP是等边三角形， ∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积MP2， ∵AM＝AN，AP＝AP， ∴△AMP≌△ANP（SSS）， ∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°， ∴∠AMP＝90°， ∴MPAM，AP＝2AM， ∴MPAP， ∴△MNP的面积AP2， ∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大， ∵∠B＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝AH＝6， ∵AM＝AN，MP＝NP， ∴点P在AH上运动， ∵点P始终在▱ABCD的内部或边上． ∴AP的最大值为AH的长， 即AP＝6， ∴AM＝AN＝3， ∴DN＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数等知识点，确定点P的轨迹是解题的关键． 12．（2025•湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　2m　 ． 【考点】矩形的性质． 【专题】应用题． 【答案】2m． 【分析】根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长x宽即可解答． 【解答】解：根据题意可得矩形的面积是2m， 故答案为：2m． 【点评】该题考查了列代数式，正确列出式子是解题的关键． 13．（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　2或3或4或5或6　 ．（写出一个即可） 【考点】平行四边形的性质． 【专题】三角形；多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】2或3或4或5或6． 【分析】由平行四边形两个邻边长分别为3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角线长n的取值范围． 【解答】解：如图， ∵平行四边形两个邻边长分别为3和4， ∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3， 即它的一条对角线长L的取值范围是：1＜n＜7． ∴n＝2或3或4或5或6． 故答案为：2或3或4或5或6． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三边关系的应用． 14．（2025•湖南）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ 　45°　 ． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质． 【专题】三角形；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力． 【答案】45°． 【分析】根据正八边形的性质，圆周角定理以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，设正八边形的外接圆的圆心为O， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB＝∠COD45°， ∴∠AMB＝∠ACB+∠CBD ∠AOB∠COD ＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 15．（2025•新疆）如图，在▱ABCD中．∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝ 　2　 ． 【考点】平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力． 【答案】2． 【分析】根据平行四边形性质得BC＝AD＝2，AB∥CD，则∠DCE＝∠BEC，再根据CE平分∠BCD得∠BCE＝∠DCE，进而得∠BCE＝∠BEC，然后根据“等角对等边”即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝2， ∴BC＝AD＝2，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠BEC， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，理解“等角对等边”是解决问题的关键． 16．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　1　 ． 【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】1． 【分析】根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积＝△BOE的面积，进而可以解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DO＝BO＝1，CD∥AB， ∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴△DOF的面积＝△BOE的面积， ∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积2×1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键． 17．（2025•江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为　720　 度． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】720． 【分析】利用多边形的内角和公式进行计算即可． 【解答】解：观察图形可知：该正多边形是正六边形， ∴该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°． 故答案为：720． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 18．（2025•眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　①③④　 ． 【考点】正方形的性质；解直角三角形；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】①③④． 【分析】①在AB上截取AH＝AE，连接EH，设AE＝a，DF，则AH＝AE＝a，HE，∠BHE＝∠EDF＝135°，BH＝ED，由此可依据“SAS”判定△BHE和△EDF全等，则BE＝FE，∠HBE＝∠FED，再证明∠FED+∠AEB＝90°得∠BEF＝90°，由此得△BEF是等腰直角三角形，则∠BFE＝∠FBE＝45°，进而得sin∠BFE＝sin45°，据此可对结论①进行判断； ②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，证明△BAM和△BCG全等得AM＝CG，BM＝BG，则AE+CG＝ME，证明∠MBE＝FBE＝45°，进而可依据“SAS”判定△MBE和△GBE全等，则ME＝EG，由此得AE+CG＝EG，据此可对结论②进行判断； ③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，由（1）知设AE＝a，DF，则ED＝4﹣a，证明△NDF是等腰直角三角形得DN＝FN＝a，进而得△DEF的面积S，由此得当a＝2时，S为最大，最大值为2，据此可对结论③进行判断； ④设CG＝x，则DG＝4﹣x，根据AEAD得DE，由②知AE+CG＝EG，在Rt△DEG中，由勾股定理得，由此解出x＝2得CG＝DG＝2，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示： ∵AE：DF＝1：， ∴设AE＝a，DF， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴AH＝AE＝a， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴∠AEH＝∠AHE＝45°， ∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°， 由勾股定理得：HE， ∴HE＝DF， ∵∠CDP＝45°， ∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°， ∴∠BHE＝∠EDF＝135°， ∵AB＝AD，AH＝AE， ∴AB﹣AH＝AD﹣AE， 即BH＝ED， 在△BHE和△EDF中， ， △BHE≌△EDF（SAS）， ∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED， ∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°， ∴∠FED+∠BEH＝45°， ∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°， 即∠FED+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠BFE＝∠FBE＝45°， ∴sin∠BFE＝sin45°， 故结论①正确； ②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示： ∴∠MBF＝∠ABC＝90°， ∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC， ∴∠MBA＝∠GBC， ∵∠BAD＝∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠C＝90°， 在△BAM和△BCG中， ， ∴△BAM≌△BCG（SAS）， ∴AM＝CG，BM＝BG， ∴AE+CG＝AE+AM＝ME， ∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°， ∴∠ABE+∠GBC＝45°， ∴∠ABE+∠MBA＝45°， 即∠MBE＝45°， ∴∠MBE＝FBE＝45°， 在△MBE和△GBE中， ， ∴△MBE≌△GBE（SAS）， ∴ME＝EG， ∴AE+CG＝EG， 故结论②不正确； ③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示： 由（1）可知：设AE＝a，DF， ∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a， ∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°， ∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°， ∴△NDF是等腰直角三角形， ∴DN＝FN， 由勾股定理得：DF√2DN， ∴DN＝FNDFa， ∴△DEF的面积SDE•FN， 整理得：， ∴当a＝2时，S为最大，最大值为2， 故结论③正确； ④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x， ∵AEAD， ∴DE＝AD﹣AE， 由②可知：AE+CG＝EG， ∴EG， 在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2， ∴， 解得：x＝2， ∴CG＝2， ∴DG＝4﹣x＝2， ∴CG＝DG＝2， ∴点G是线段CD的中点， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键． 19．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　4.8　 ． 【考点】平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】4.8． 【分析】过M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由勾股定理求出AC＝10，由平行四边形的性质推出AMAB＝3，PQ＝2PM，得到MN：8＝3：10，求出MN＝2.4，由PM≥MN，得到PQ≥2MN＝4.8，即可求出PQ的最小值． 【解答】解：如图，过M作MN⊥AP于N， ∴∠ANM＝∠ABC＝90°， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴△AMN∽△ACB， ∴MN：BC＝AM：AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵四边形PAQB是平行四边形， ∴AMAB＝3，PQ＝2PM， ∴MN：8＝3：10， ∴MN＝2.4， ∵PM≥MN， ∴PQ≥2MN＝4.8， ∴PQ的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，关键是由平行四边形的性质推出PQ＝2PM，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由垂线段最短得到PM≥MN． 20．（2025•云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 　15　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】15． 【分析】菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝5， ∴菱形ABCD的面积AC•BD6×5＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$