备考2026年中考数学一轮复习 三角形

中考数学一轮复习 三角形 一．选择题（共3小题） 1．（2025•台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的多少倍？（　　） A． B． C． D． 2．（2025•台湾）如图，△ADG的顶点G为△ABC的重心，DG与AB相交于E点．若DE：EG＝3：2，AE：EB＝3：4，则△ADG面积为△ABC面积的多少倍？（　　） A． B． C． D． 3．（2025•台湾）如图1为一张五边形纸片ABCDE，F点在CD上，且以BE、BF、FE为折线将纸片向内折至同一平面后，A、C、D恰重叠在同一点P，如图2所示．若BE＞FE＞BF，则根据图2中标示的角，判断下列叙述何者正确？（　　） A．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 B．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＜∠5+∠6 C．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 D．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＜∠5+∠6 二．填空题（共15小题） 4．（2025•齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为　 　 ． 5．（2025•绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是　 　 ． 6．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ． 7．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ； （2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 8．（2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 　 　 m． 9．（2025•德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，0），如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是　 　 ．（只需写出一个即可） 10．（2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ． 11．（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ． 12．（2025•德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是 　 　 ． 13．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　 　 ． 14．（2025•广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 　 　 ． 15．（2025•广安）已知△ABC的面积是1． （1）如图1，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，则四边形CDFE的面积为 　 　 ． （2）如图2，若M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为 　 　 ． 16．（2025•连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 　 　 m． 17．（2025•南充）如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC＝1，则OE的长是　 　 ． 18．（2025•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 19．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 20．（2025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，． （1）求证：△BOC≌△DOC； （2）求∠ABD的度数． 中考数学一轮复习 三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．（2025•台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的多少倍？（　　） A． B． C． D． 【考点】等边三角形的性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】如图标记字母，求出BC，进而即可得解． 【解答】解：如图，标记字母，过A作AD⊥BC于点D， ∵AD＝H， ∴BD＝CDH， ∴螺纹间距为BCH， ∵螺纹深度＝HHHH， ∴， ∴螺纹深度是螺纹间距的倍， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025•台湾）如图，△ADG的顶点G为△ABC的重心，DG与AB相交于E点．若DE：EG＝3：2，AE：EB＝3：4，则△ADG面积为△ABC面积的多少倍？（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的重心；三角形的面积． 【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】延长AG交BC于点O，在GO的延长线上取一点H，使OH＝OG，连接CG，BH，CH，BG，设BG的延长线交AC于点K，证明△GBHC是平行四边形，则CH∥BK，进而得GK是△AHC的中位线，则AG＝GH＝2OG，设△GOB的面积为a，则△GOC的面积为a，S△GBC＝2a，继而得，，则S△GAC＝2a，S△GAB＝2a，S△ABC＝6a，再根据得S△GAE，然后根据得S△DAE•S△GAE，则S△ADG＝S△GAE+S△DAE，由此可得出，据此即可得出答案． 【解答】解：延长AG交BC于点O，在GO的延长线上取一点H，使OH＝OG，连接CG，BH，CH，BG，设BG的延长线交AC于点K，如图所示： ∵点G为△ABC的重心， ∴AO是BC边上的中线，BK是AC边上的中线， ∴OB＝OC，AK＝CK， 又∵OH＝OG， ∴△GBHC是平行四边形， ∴CH∥BK， ∵AK＝CK， ∴GK是△AHC的中位线， ∴AG＝GH＝OG+OH＝2OG， 设△GOB的面积为a， ∵OB＝OC， ∴△GOC的面积为a， ∴S△GBC＝2a， 根据等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比得：，， ∴S△GAC＝2a，S△GAB＝2a， ∴S△ABC＝S△GAC+S△GAB+S△GBC＝6a， 又∵， ∴设S△GAE＝3k，S△GBE＝4k， ∴S△GAE+S△GBE＝7k＝2a， ∴k， ∴S△GAE＝3k， 又∴， ∴S△DAE•S△GAE， ∴S△ADG＝S△GAE+S△DAE， ∴S△ADG/S， ∴S△ADG•S△ABC， 即△ADG面积为△ABC面积的倍． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，熟练掌握三角形的重心，理解等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键． 3．（2025•台湾）如图1为一张五边形纸片ABCDE，F点在CD上，且以BE、BF、FE为折线将纸片向内折至同一平面后，A、C、D恰重叠在同一点P，如图2所示．若BE＞FE＞BF，则根据图2中标示的角，判断下列叙述何者正确？（　　） A．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 B．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＜∠5+∠6 C．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 D．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＜∠5+∠6 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】由折叠易知∠3＝∠BFP，∠4＝∠EFP，再根据平角定义易求∠3+∠4＝90°；根据大边对大角可知∠FBE＞∠BEF，据此即可得解． 【解答】解：由折叠可知，∠3＝∠BFP，∠4＝∠EFP， ∵∠3+∠BFP+∠4+∠EFP＝180°， ∴2（∠3+∠4）＝180°， ∴∠3+∠4＝90°； ∵FE＞BF， ∴在△BFE中，∠FBE＞∠BEF， 根据折叠可知，∠FBE＝∠1+∠2，∠BEF＝∠5+∠6， ∴∠1+∠2＞∠5+∠6； 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（共15小题） 4．（2025•齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为　　 ． 【考点】直角三角形的性质；规律型：点的坐标． 【专题】规律型；推理能力． 【答案】． 【分析】分别求出，，，…，得出，根据题意得出第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，求出，根据∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，得出∠AOA4048＝120°，然后求出结果即可． 【解答】解：根据题意可知：OA＝2， ， ， ， …， ， ∵点A，A1，A2作弧为第1条弧， 点A2，A3，A4作弧为第2条弧， …， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048， ∴， ∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…， ∴12次操作循环一周， ∵4048÷12＝337…4， ∴∠AOA4048＝120°， 过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示： ∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°， ∴，， ∴， ∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键． 5．（2025•绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是　6或8或9　 ． 【考点】三角形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】6或8或9． 【分析】过点D作DE∥|BC交BC于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【解答】解：过点D作DE∥BC交BC于点E，①当∠DBN＝90°时，如图（1）， ∵△BAC，△DMN是等边三角形，∠DBN＝90°， ∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN， 即△DBE是等边三角形， ∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°， ∴∠EDN＝∠BDM， ∴△DEN≌△DBM（SAS）， ∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE， ∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°， ∴∠BNE＝90°， ∴， 即BM＝1， ∴MC＝BC+BM＝7+1＝8． ②当∠BDN＝90°时，如图（2） 同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠NED＝∠MBD＝60°， 即∠DMB＝∠DNE＝90°， ∴， ∴CM＝BC﹣BM＝6． ③当∠BND＝90°时，如图（3） 同理可证△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°， ∴∠DME＝∠DNB＝90°， ∴． ∴CM＝BC﹣BM＝6． ④当∠BDN＝90°时，如图（4） 同理可证△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°， ∴∠MDE＝∠NDB＝90°，BE＝BC﹣BE＝5， ∴， ∴CM＝ME+BE＝9． 综上所述，CM的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　或　 ． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【专题】多解填空题；三角形． 【答案】或． 【分析】分情况讨论：①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作 AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得到BD＝CD＝4，证明△ADB∽△PAB，得到，即可求出BP 的长； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，由等角对等边得到AM＝PM，再证明△CMP∽△CAD，设CP＝x，进而得出，CMx，根据AC＝AM+CM＝PM+CM，求出x的值，即可求出BP的长； ③当∠CAP＝∠C+90°时，利用锐角三角函数，得出∠C＞30°，∠BAC＜120°，即此种情况不存在； ④当∠CAP＝∠APC+90°时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＞∠B， ∴∠APC＞∠C， 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴， ∴， ∴； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M， ∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM， ∴AM＝PM， ∵PM⊥BC，AD⊥BC， ∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ∴， 设CP＝x，则BP＝8﹣x， ∴， ∴，CM， ∴AC＝AM+CM＝PM+CM， ∴x， ∴BP； ③当∠CAP＝∠C+90°时， ∵，，且2， ∴∠C＞30°， ∴∠BAC＜120°， 若∠CAP＝∠C+90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC， ∴此种情况不存在， ④当∠CAP＝∠APC+90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 7．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　2　 ； （2）下列结论正确的是　①②　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 【考点】勾股定理的逆定理；三角形三边关系；等边三角形的性质． 【专题】多解填空题；推理能力． 【答案】（1）2； （2）①②． 【分析】（1）由定义直接判断求解即可； （2）依据每一选项逐一代入求解判断即可． 【解答】解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2， 故答案为：2； （2）①当k＝2，t＝1时， 则，即a2+b2＝c2， ∴三角形为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②当k＝1，c＝1时， 则， 1°当a＞b时，a﹣b＜c，即， 解得：b＞2； 2°当a＜b时，b﹣a＜c，即， 解得：b＜6． 综上，2＜b＜6． 当b＝2时，， 当b＝6时，； ∴5＜t＜11， 故②正确，符合题意； ③， ∴， 又a+b＞c， ∴， 不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2， ∴， 解得：1＜n≤7， ∴n可取2，3，4，5，6，7， 对应的t值分别为：，共6个， 故③错误，不符合题意． 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查了新定义题型，涉及勾股定理逆定理、三角形三边关系、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 　4　 m． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】4． 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴DEAB8＝4（m）． 故答案为：4． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 9．（2025•德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，0），如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是　（2，1）（答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可）　 ．（只需写出一个即可） 【考点】三角形的面积；坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；三角形． 【答案】（2，1）．（答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可） 【分析】由A（1，0），B（3，0），得 AB＝2，又因为△ABC的面积为1，可得|yC|＝1，所以yC＝±1从而求解． 【解答】解：∵A（1，0），B（3，0）， ∴AB＝2， ∵△ABC的面积为1， ∴， ∴|yC|＝1， ∴yC＝±1， ∴点C的坐标可以是 （2，1）， 故答案为：（2，1）．（答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可） 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　6　 ． 【考点】三角形中位线定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】6． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF． 【解答】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC4＝2， 在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC＝8， 则FEBC8＝4， ∴DF＝DE+FE＝2+4＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 11．（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【考点】勾股数． 【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】11，60，61． 【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 【点评】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解． 12．（2025•德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是 　π　 ． 【考点】等边三角形的性质；弧长． 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；运算能力． 【答案】π． 【分析】根据等边三角形性质得AB＝BC＝AC＝1，∠A＝∠B＝∠C＝60°，进而可根据弧长公式分别求出弧BC的长为，弧AB的长为，弧AC的长为，由此即可得出这个等宽曲线的周长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB＝1， ∴AB＝BC＝AC＝1，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 依题意得：弧BC的圆心为A，半径为AB＝1， ∴弧BC的长为：， 同理：弧AB的长为，弧AC的长为， ∴这个等宽曲线的周长是：π． 故答案为：π． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握等边三角形的性质，弧长的计算公式是解决问题的关键． 13．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　　 ． 【考点】勾股定理；等边三角形的性质． 【专题】三角形． 【答案】． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC 得到，证明△DAC∽△FAD，可得，根据CF＝AC﹣AF可知，当AF有最小值时，CF有最大值，当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，可求出AF的最小值为，则CF的最大值为． 【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3， ∴AH＝AC•sinC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠C， 又∵∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD， ∴， ∴， ∵CF＝AC﹣AF， ∴当AF有最小值时，CF有最大值， ∴当AD有最小值时，AF有最小值， ∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合， ∴AD的最小值为， ∴AF的最小值为， ∴CF的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，掌握以上性质是解题的关键． 14．（2025•广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 　　 ． 【考点】等腰直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】2． 【分析】过A作AH⊥BC于H，判定△ABH是等腰直角三角形，求出AHAB＝2，由AD≥AH，即可得到AD的最小值． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∴AHAB4＝2， ∵AD≥AH， ∴AD的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查等腰直角三角形，关键是判定△ABH是等腰直角三角形． 15．（2025•广安）已知△ABC的面积是1． （1）如图1，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，则四边形CDFE的面积为 　　 ． （2）如图2，若M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为 　　 ． 【考点】三角形中位线定理；三角形的面积． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接DE，可证明DE是△ABC 的中位线，得到，证明△CDE∽△CBA，可得，则；进而可得；证明△DEF∽△ABF，得到，则可得到，则，据此可得答案； （2）连接MN，证明△CMN∽△CBA，得到，，∠CMN＝∠CBA，则可证明MN∥AB，；再证明，得到；证明△MNG∽△ABG，得到，则，则，据此可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，连接DE， ∵D，E分别是边BC和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∵△ABC 的面积是1， ∴， ∵D是BC的中点， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△ABF， ∴， ∴BF＝2EF， ∴BE＝BF+EF＝3EF， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接MN， ∵M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点， ∴， ∴， 又∵∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CBA， ∴，∠CMN＝∠CBA， ∴MN∥AB； ∵△ABC的面积是1， ∴； ∵M是BC靠近点C的六等分点， ∴5， ∴， ∴； ∵MN∥AB， ∴△MNG∽△ABG， ∴， ∴BG＝6NG， ∴BN＝BG+NG＝7NG， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 16．（2025•连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 　2.4　 m． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】三角形． 【答案】2.4． 【分析】根据长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m， ∴， 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键，注意正确计算． 17．（2025•南充）如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC＝1，则OE的长是　　 ． 【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】三角形． 【答案】． 【分析】先确定△OCD是等边三角形，则∠OCD＝60°，再解直角三角形即可求解． 【解答】解：连OD，由作图可得OD＝OD＝CD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18．（2025•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 　　 ． 【考点】勾股定理；作图—基本作图；三角形的面积；线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；尺规作图；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】连接AD、CD，由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，则AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，再由勾股定理求出AC，然后由三角形面积求出OB的长，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接AD、CD， 由作图可知，AD＝AB，CD＝CB， ∴AC垂直平分BD， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴AC， ∵S△ABCAC•OBAB•BC， ∴OB， ∴BD＝2OB， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、作图—基本作图以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 19．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　24　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【考点】直角三角形全等的判定；勾股数． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）24； （2）令a＝mn，其中，m，n均为正整数，则b（n2﹣1），c（n2+1），证明见解答； （3）这块绿地最少需要种植280株花． 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a＝10，b，c＝26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得到答案； （3）确定直角三角形最短边长度：已知每个三角形最短边都种21株花，因为各边上相邻两株花之间的距离均为1m，且顶点处都种一株花，所以每个直角三角形最短边长为21﹣1＝20米，找出直角三角形三边长度：查题干中的表可知，当最短边为20米时，直角三角形的三边长分别为20米，21米，29米，由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示，结合（2）中得到的规律，分析出一个直角三角形种植花数量即可得到答案． 【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）令a＝mn，其中，m，n均为正整数，则b（n2﹣1），c（n2+1）， 证明如下： ∵a2＝m2n2， ∴c2﹣b2[（n2+1）2﹣（n2﹣1）2] [（n2+1）+（n2﹣1）][（n2+1）﹣（n2﹣1）] 2n2×2 ＝（mn）2＝a2； （3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数， 一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米， 因为图案是由四个全等的直角三角形组成， 所以需要种花70×4＝280株． 【点评】本题考查勾股定理、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 20．（2025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，． （1）求证：△BOC≌△DOC； （2）求∠ABD的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）40°． 【分析】（1）根据已知易得：∠BOC＝∠DOC，然后利用SAS证明△BOC≌△DOC，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠OCB＝65°，再利用三角形内角和定理可得∠COB＝50°，然后利用（1）的结论可得∠DOC＝∠BOC＝50°，从而利用平角定义可得∠AOD＝80°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵， ∴∠BOC＝∠DOC， ∵OC＝OC，OD＝OB， ∴△BOC≌△DOC（SAS）； （2）解：∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝65°， ∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°， ∴∠DOC＝∠BOC＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°， ∴∠ABD∠AOD＝40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$