备考2026年中考数学一轮复习 锐角三角函数

中考数学一轮复习 锐角三角函数 一．解答题（共20小题） 1．（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． 2．（2025•湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 3．（2025•山西）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计． 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 4．（2025•新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG． 实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 5．（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 6．（2025•宜宾）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：1.41，1.73，π≈3.14）． （1）求圆心角∠PON的度数； （2）求的弧长（结果精确到0.1米）． 7．（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 8．（2025•甘肃）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30） 9．（2025•山东）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y． 【问题解决】 已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm． （1）求∠BAO的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 10．（2025•安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 11．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 12．（2025•广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，） 13．（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 14．（2025•内江）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． 15．（2025•遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 16．（2025•凉山州）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 17．（2025•成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.73） 18．（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 19．（2025•白云区校级三模）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 20．（2025•泸州）如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°． （1）求∠CDE的度数； （2）求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 中考数学一轮复习 锐角三角函数 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】世纪钟建筑AB的高度约为40m． 【分析】延长DF与AB相交于点G，根据题意可得DG∥CA，得出DF＝1.7m，在Rt△FGB中，，可得．在Rt△DGB中，，可得，根据GF+DF＝GD列式计算即可． 【解答】解：如图，延长DF与AB相交于点G， 根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°， ∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m， 在Rt△FGB中，， ∴， 在Rt△DGB中，， ∴． ∵GF+DF＝GD， ∴． ∴． ∴AB＝AG+GB≈1.7+38.4≈40（m）， 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2025•湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】39m． 【分析】过A作AC⊥BC于C，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过A作AC⊥BC于C， 则∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝35°，AC＝30m， ∴BC＝AC•tan35°≈30×0.7＝21（m）， ∴乙楼的高＝21+18＝39（m）． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．（2025•山西）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计． 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；正多边形和圆． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米． 【分析】根据题意可得：EF＝AD＝26，AD∥EF，从而可得∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，然后设BE＝CF＝x米，则CE＝（26﹣x）米，BC＝（26﹣2x）米，分别在Rt△ABE和Rt△ACE中，利用锐角三角函的定义求出AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EF＝AD＝26，AD∥EF， ∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°， 设BE＝CF＝x米，则CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米， 在Rt△ABE中，， ∴AE＝BE•tan∠ABE＝x•tan37°， 在Rt△ACE中，， ∴AE＝CE•tan∠ACE＝（26﹣x）•tan8.5°， ∴x•tan37°＝（26﹣x）•tan8.5°， 解得：， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正多边形和圆，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025•新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG． 实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】2.02m． 【分析】由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，则FG＝AB＝AD+BD＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝27.5m，然后分别解Rt△EFG求出EG，解Rt△MNG求出MG，再由EM＝EG﹣MG即可求解． 【解答】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形， ∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m， ∵在Rt△EFG中，， ∴， ∴EG＝14×0.93＝13.02m， 在Rt△MNG中，， ∴， ∴MG＝1lm， ∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m， 答：校徽的高度约为2.02m． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 5．（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）该连衣裙MN的长度为14分米； （2）该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AGM中利用勾股定理求出AG的长，得到AB长，即可得到结果； （2）结合图形，在Rt△AGM中利用三角函数求出AK，可求出BK，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM， ∴（分米）， ∵AB＝19分米， ∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米）， ∴MN＝BG＝14（分米）， ∴该连衣裙MN的长度为14分米； （2）如图2，过M作MK⊥AB于K， ∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM， ∴AK＝AM•cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米）， ∵AB＝19分米， ∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米）， ∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 6．（2025•宜宾）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：1.41，1.73，π≈3.14）． （1）求圆心角∠PON的度数； （2）求的弧长（结果精确到0.1米）． 【考点】解直角三角形的应用；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】（1）45°；（2）24.1m． 【分析】（1）由圆的切线的性质得到∠APO＝90°，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解Rt△BQO，设BQ＝x，BO＝2x，，再解Rt△APO，得到，求出x，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【解答】解：（1）∵直线AP与所在⊙O相切于点P， ∴∠APO＝90°， ∵∠PAO＝45°， ∴∠PON＝90°﹣∠PAO＝45°； （2）∵直线BQ与所在⊙O相切于点Q， ∴∠BQO＝90°， ∵∠QBO＝60°， ∴， 设BQ＝x，BO＝2x， ∴， ∵AB＝8.0m， ∴AO＝AB+BO＝（8.0+2x）m， ∵在Rt△APO中，∠A＝45°， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为24．lm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 7．（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】大楼的高度AB约为21m． 【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝x m，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝x m， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝AB﹣AH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地添加辅助线是解题的关键． 8．（2025•甘肃）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】长城第一墩的高度AB约为8.3m． 【分析】根据题意可得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m，然后设EG＝x m，则CG＝（x+5.5）m，分别在Rt△ACG和Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m， 设EG＝x m， ∵CE＝DF＝5.5m， ∴CG＝CE+EG＝（x+5.5）m， 在Rt△ACG中，∠ACG＝16.7°， ∴AG＝CG•tan16.7°≈0.3（x+5.5）m， 在Rt△AEG中，∠AEG＝22°， ∴AG＝EG•tan22°≈0.4x（m）， ∴0.4x＝0.3（x+5.5）， 解得：x＝16.5， ∴AG＝0.4x＝6.6（m）， ∴AB＝AG+BG＝6.6+1.7≈8.3（m）， ∴长城第一墩的高度AB约为8.3m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． 9．（2025•山东）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y． 【问题解决】 已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm． （1）求∠BAO的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【考点】解直角三角形的应用；由三视图判断几何体；圆周角定理；切线的性质． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】（1）∠OAB＝30°； （2）该部件的长度符合要求； （3）见解析． 【分析】（1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【解答】解：（1）∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D， ∴AB＝AD，； （2）∵钢柱的底面圆半径为1cm， ∴BC＝OB＝1， ∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵1.9＜2.06＜2.1， 该部件l的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体． 【点评】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 10．（2025•安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】AD的长约为37.5m． 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E，根据题意可得：四边形ABCE为矩形，从而可得CE＝AB＝13.20m，然后先在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 由题意得：四边形ABCE为矩形， 所以CE＝AB＝13.20m， 在Rt△ACE中，， 所以（m）， 在Rt△ADE中，， 所以（m）， 因此，AD的长约为37.5m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；（2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 【分析】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出，建立方程，即可求解； （2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE＝x， 依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝105， ∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x， ∴EC＝ED+DC＝x+5， 在Rt△BCE中，EC， ∴， 解得：x＝15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75， ∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75， 23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 12．（2025•广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；含30度角的直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6m． 【分析】根据题意可得：DB∥AE∥CO，从而可得∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°，然后在Rt△ACO中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AO和CO的长，再在Rt△BCO中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：DB∥AE∥CO， ∴∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°， 在Rt△ACO中，AC＝24m， ∴AOAC＝12（m），COAO＝12（m）， 在Rt△BCO中，BO＝CO•tan36.9°≈120.75＝9（m）， ∴AB＝BO﹣AO＝912≈3.6（m）， ∴无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】（1）4km；（2）tanC． 【分析】（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出，结合，AC＝6km，求出，再在Rt△ABM 中利用三角函数即可求解； （2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出，则可求出AD，再在Rt△ADC 中利用三角函数即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴， ∵，AC＝6km， ∴， 得， 在Rt△ABM中，由， 得AB＝4， 答：岛A与港口B之间的距离为4km； （2）在Rt△ABM 中，， ∵△BDM∽△CDA， ∴， ∴， 在Rt△ADC 中， ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．（2025•内江）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】桥塔AD的高度为（4040）m． 【分析】设AD＝x m，解Rt△ABD得到BD＝x m，解Rt△ACD得到CDx m，再由BC＝BD+CD＝80m，得到xx＝80，解方程即可得到答案． 【解答】解：设AD＝x m， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴BD（m）， 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴CD（m）， ∵BC＝BD+CD＝80m， ∴xx＝80， 解得x＝4040， ∴AD＝（4040）m， 答：桥塔AD的高度为（4040）m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．（2025•遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】摩天轮CF的高度约为62.5米． 【分析】连接DE，延长线交CF于点G，设CG＝x m，在Rt△CEG中，利用tanβ求出EG，然后在Rt△CDG中，利用tanα求出x即可解答． 【解答】解：连接DE，延长线交CF于点G， ∴DG⊥CF， ∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF， ∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形， ∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m， 设CG＝x m，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ， ∴EG， ∴DG＝DE+EG＝30， 在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα， ∴0.75， 解得x≈60.85， 经检验x是方程的解， ∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m）， 答：摩天轮CF的高度约为62.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2025•凉山州）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质；旋转的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）10米； （2）5米， 【分析】（1）根据，即可解Rt△BOM，即可求解； （2）记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM＝EF＝3米，在Rt△BOF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M，求出B′F，再由M′F＝B′F﹣B′M′，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，（米）， 答：直吊臂OB的长为10米； （2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E， 则∠BEF＝90°， 由题意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米， ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°， ∴四边形EFMB为矩形， ∴BM＝EF＝3米， 在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米）， ∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米）， ∴货物M上升了5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 17．（2025•成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.73） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米． 【分析】根据题意，易得，∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，分别解Rt△ACD，Rt△ABC，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米， 在Rt△ACD中，AC＝CD•tan63.4°≈120米； 在Rt△ABC中，米， 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握以上性质是解题的关键． 18．（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】（1）BD的长度约为26.5千米；（2）甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，千米，则米，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴（千米）， 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，千米， 千米， ∴CD＝DF+CF＝30千米， 设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米， 在 Rt△CMT 中，千米， MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（x）千米， ∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10x）＝（20x）千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2， ∴， ∴或（此时大于BC的长，舍去）， ∴（千米）， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19．（2025•白云区校级三模）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】无人机离湖面的高度为（1515）米． 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设BD＝x米，则AD＝（x+30）米，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 设BD＝x米， ∵AB＝x米， ∴AD＝AB+BD＝（x+30）米， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD•tan30°（x+30）米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD•tan45°＝x（米）， ∴x（x+30）， 解得：x＝1515， ∴CD＝（1515）米， ∴无人机离湖面的高度为（1515）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2025•泸州）如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°． （1）求∠CDE的度数； （2）求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【答案】（1）45°； （2）建筑物AD的高度为（27+9）m． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据题意可得：CF∥AB，从而可得∠FCE＝∠CEB＝30°，进而可得：∠DCE＝60°，再利用平角定义可得：∠DEC＝75°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答； （2）过点E作EG⊥CD，垂足为G，根据题意可得：AF＝BC＝18m，在Rt△EBC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出CE的长，再在Rt△CEG中，利用锐角三角函数的定义求出CG和EG的长，然后在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出CD的长，最后Rt△DFC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出DF的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F， 由题意得：CF∥AB， ∴∠FCE＝∠CEB＝30°， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝∠DCF+∠FCE＝60°， ∵∠AED＝75°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AED﹣∠CEB＝75°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝45°； （2）过点E作EG⊥CD，垂足为G， 由题意得：AF＝BC＝18m， 在Rt△EBC中，BC＝18m，∠CEB＝30°， ∴CE＝2BC＝36（m）， 在Rt△CEG中，∠ECD＝60°， ∴CG＝CE•cos60°＝3618（m），EG＝CE•sin60°＝3618（m）， 在Rt△BEG中，∠EDG＝45°， ∴DG18（m）， ∴CD＝CG+DG＝（18+18）m， 在Rt△DFC中，∠DCF＝30°， ∴DFCD＝（9+9）m， ∴AD＝AF+DF＝18+9+9（27+9）m， ∴建筑物AD的高度为（27+9）m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$