备考2026年中考数学一轮复习 概率

中考数学一轮复习 概率 一．填空题（共11小题） 1．（2025•山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 　 　 2．（2025•湖北）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 　 　 ． 3．（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　 　 ． 4．（2025•新疆）不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为　 　 ． 5．（2025•威海）一个不透明的袋子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同．小明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出1个球．两人摸到不同颜色球的概率是　 　 ． 6．（2025•安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　 　 ． 7．（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　 　 ． 8．（2025•内江）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　 　 ． 9．（2025•南充）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　 　 ． 10．（2025•重庆）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是　 　 ． 11．（2025•成都）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为　 　 ． 二．解答题（共5小题） 12．（2025•长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等第 频数 频率 A 20 m B 30 0.30 C n 0.44 D 6 0.06 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 　 　 名学生的成绩；表中m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 　 　 度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 13．（2025•吉林）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 14．（2025•绥化）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 5 B 160≤x＜165 4 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 12 E 175≤x＜180 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有　 　 人，扇形统计图中A的圆心角度数是　 　 ，请补全条形统计图． （2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 15．（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 　 　 ； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 16．（2025•宜宾）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　 　 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是　 　 ，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有　 　 人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 中考数学一轮复习 概率 参考答案与试题解析 一．填空题（共11小题） 1．（2025•山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 　　 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据概率公式解答即可． 【解答】解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．（2025•湖北）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3．（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 2 3 6 1 （1，2） （1，3） （1，6） 4 （4，2） （4，3） （4，6） 5 （5，2） （5，3） （5，6） 共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），共4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4．（2025•新疆）不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵从袋中随机摸出1个球共有7种等可能结果，其中恰好是红球的有3种结果， ∴从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 5．（2025•威海）一个不透明的袋子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同．小明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出1个球．两人摸到不同颜色球的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸到不同颜色球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 绿 绿 白 绿 （绿，绿） （绿，白） 绿 （绿，绿） （绿，白） 白 （白，绿） （白，绿） 共有6种等可能的结果，其中两人摸到不同颜色球的结果有4种， ∴两人摸到不同颜色球的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 6．（2025•安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　　 ． 【考点】列表法与树状图法；等式的性质；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种， 【解答】解：由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g， 把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种， ∴天平恢复平衡的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及等式的性质．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 7．（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果， 所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式：根据概率的定义计算出这个事件的概率． 8．（2025•内江）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】． 【分析】让“a”的个数除以所有字母的个数即为所求的概率． 【解答】解：在英文单词“banana”中共6个字母，其中字母“a”有3个； 则字母为“c”的概率是：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率公式，解题的关键掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 9．（2025•南充）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】随机从袋子中摸出一个球共有6种等可能结果，其中恰好为白球的有2种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：根据题意知，随机从袋子中摸出一个球共有6种等可能结果，其中恰好为白球的有2种结果， 所以恰好为白球的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 10．（2025•重庆）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】从袋子中随机摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸出红球的有1种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：从袋子中随机摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸出红球的有1种结果， 所以摸出红球的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 11．（2025•成都）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程﹣公式法；根的判别式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好使得关于x的方程ax2+bx+1＝0有实数解的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，因为b2﹣4a≥0，所以能使该一元二次方程有实数根占3种， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用，二元一次方程组的解以及根的判别式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 二．解答题（共5小题） 12．（2025•长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等第 频数 频率 A 20 m B 30 0.30 C n 0.44 D 6 0.06 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 　100　 名学生的成绩；表中m＝ 　0.2　 ，n＝ 　44　 ； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 　72　 度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）100，0.2，44； （2）72； （3）． 【分析】（1）由A等频数及频率求解即可得出被调查的总人数，再根据频率＝频数÷总数求解即可得出m、n的值； （2）用360°乘A等频率即可； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷0.3＝100（名）， m＝20÷100＝0.2，n＝100×0.44＝44， 故答案为：100，0.2，44； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为360°×0.2＝72°， 故答案为：72； （3）记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁， 画出树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ∴． 【点评】本题考查频数分布表，频数、频率的计算，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉频数、频率的关系，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 13．（2025•吉林）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种， ∴小刚和小利被分配到同一组的概率是． 【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（2025•绥化）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 5 B 160≤x＜165 4 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 12 E 175≤x＜180 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有　40　 人，扇形统计图中A的圆心角度数是　45°　 ，请补全条形统计图． （2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；概率公式． 【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】（1）40；45°；补全条形统计图见解答． （2）． 【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得这次抽查的志愿者人数；用360°乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案；求出C组的人数，补全条形统计图即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）这次抽查的志愿者共有12÷30%＝40（人）． 扇形统计图中A的圆心角度数是360°45°． 故答案为：40；45°． C组的人数为40×25%＝10（人）， 补全条形统计图如图所示． （2）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种， ∴刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 15．（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 　　 ； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向， ∴从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种， ∴这两个小组研究方向不同的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 16．（2025•宜宾）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　100　 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是　10人　 ，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有　150　 人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图． 【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】（1）100；10人；补全条形统计图见解答． （2）150． （3）． 【分析】（1）用条形统计图中“演讲与口才”的人数除以扇形统计图中“演讲与口才”的百分比可得本次调查的学生人数；用本次调查的学生人数乘以扇形统计图中“舞蹈”的百分比可得喜爱舞蹈的学生人数，再补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中喜欢乒乓球的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中甲乙两人的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次共调查了5÷5%＝100（名）学生． 喜爱舞蹈的学生人数是100×10%＝10（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：100；10人． （2）600150（人）． ∴估计有150人喜欢乒乓球运动． 故答案为：150． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中同时选中甲乙两人的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴同时选中甲乙两人的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$