备考2026年中考数学一轮复习 反比例函数

中考数学一轮复习 反比例函数 一．选择题（共2小题） 1．（2025•连云港）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 2．（2025•重庆）反比例函数y的图象一定经过的点是（　　） A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2） 二．填空题（共12小题） 3．（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　 　 ． 4．（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为　 　 ． 5．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π） 6．（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　 　 ． 7．（2025•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是　 　 ． 8．（2025•福建）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　 　 ． 9．（2025•威海）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　 　 ． 10．（2025•德阳）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是 　 　 m． 11．（2025•甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　 　 （请写出一个符合条件的k值）． 12．（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3时，p＝ 　 　 Pa． 13．（2025•上海）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是　 　 ．（只需写出一个） 14．（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）． 三．解答题（共1小题） 15．（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 中考数学一轮复习 反比例函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2025•连云港）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【解答】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为1， ∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键． 2．（2025•重庆）反比例函数y的图象一定经过的点是（　　） A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：A、∵2×6＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、∵（﹣4）×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； C、∵（﹣3）×（﹣4）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在反比例函数图象上，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 二．填空题（共12小题） 3．（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（﹣1，﹣1）． 【分析】根据A的横坐标为1，求出a的值，进而求出A点坐标，再根据对称性求出点B的坐标即可． 【解答】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数相交于点A和点B，A的横坐标为1，， ∴a＝1， ∴y＝x， ∴当x＝1时，y＝x＝1， ∴A（1，1）， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点A，B关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣1）； 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为　﹣6　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用． 【答案】﹣6． 【分析】求出点B的坐标为（﹣1，0），设点A坐标为（m，﹣m﹣1），根据AC＝BC，得到2m2+8m+16＝10，解方程并进一步即可得到点A坐标为（﹣3，2），利用待定系数法即可求出实数k的值． 【解答】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1， ∴点B的坐标为 （﹣1，0）， ∵点C坐标为（0，3）， ∴， 设点A坐标为（m，﹣m﹣1）， ∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16， ∵AC＝BC， ∴AC2＝BC2， ∴2m2+8m+16＝10， 解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m＝﹣3， ∴点A坐标为（﹣3，2）， ∴， 解得 k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据AC＝BC和勾股定理列方程是解题的关键． 5．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　　 ．（结果保留π） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据题意得到AC＝BD＝1，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得∠OAC＝60°，利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积和． 【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∵半径为1， ∴AC＝BD＝1， ∴A点的纵坐标为1， 把y＝1代入y，求得x， ∴A（，1）， ∴OC，AC＝1， ∴tan∠OAC， ∴∠OAC＝60°， ∴第一象限中阴影的面积S1， 同理，第一象限中阴影的面积S2， ∴S阴影． 故答案为：． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，求得∠OAC＝60°是解题的关键． 6．（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　9　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用． 【答案】9． 【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点， ∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6， ∴m＝3，n＝3， ∴A（3，3）， 把A（3，3）代入， 得， 解得k＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，掌握以上性质是解题的关键． 7．（2025•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是　20　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】20． 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为k，求出n的值，设C（c，0），根据AC⊥AB，利用勾股定理求出c的值，进而求出AB，AC的长，进而求出△ABC的面积即可． 【解答】解：∵直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线交于A（1，4），B（﹣4，n）两点， ∴1×4＝﹣4n， ∴n＝﹣1， ∴B（﹣4，﹣1）， 设C（c，0）， 则：AB2＝（1+4）2+（4+1）2＝50，AC2＝（c﹣1）2+42＝（c﹣1）2+16，BC2＝（c+4）2+12＝（c+4）2+1， ∵AC⊥AB， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴（c+4）2+1＝（c﹣1）2+16+50， 解得：c＝5， ∴C（5，0）， ∴AC2＝（5﹣1）2+16＝32， ∴， ∵AB2＝50， ∴， ∴△ABC的面积是， 故答案为：20． 【点评】本题考查反比例函数与几何的综合应用，掌握反比例函数是解题的关键． 8．（2025•福建）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　﹣2　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，1）， ∴k＝﹣2×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025•威海）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H可得△OAH∽△BOG利用相似三角形的性质及反比例函数k值几何意义即可得到结果． 【解答】解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H， ∵点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上， ∴S△BOG＝1，S△AOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAH＝∠BOG， ∴△OAH∽△BOG， ∴， ∴tan∠BAO． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2025•德阳）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是 　0.5　 m． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】0.5． 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂计算即可． 【解答】解：600×1÷1200＝0.5（m）， ∴动力臂是0.5m． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握杠杆原理是解题的关键． 11．（2025•甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　6（答案不唯一）　 （请写出一个符合条件的k值）． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】6（答案不唯一）． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵点A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2， ∴反比例函数的增减性是在每个象限内y随x的增大而减小， ∴k＞0， 不妨令k＝6， 故答案为：6（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3时，p＝ 　16000　 Pa． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】16000． 【分析】利用待定系数法求出p与V之间的函数关系式，当V＝1.5时，求出对应p的值即可． 【解答】解：设p与V之间的函数关系式为p（k为常数，且k≠0）， 将V＝1.2，p＝20000代入p， 得20000， 解得k＝24000， ∴p与V之间的函数关系式为p， 当V＝1.5时，p16000， ∴当V＝1.5m3时，p＝16000Pa． 故答案为：16000． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 13．（2025•上海）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是　y（答案不唯一）　 ．（只需写出一个） 【考点】反比例函数的性质． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】y（答案不唯一）． 【分析】根据反比例函数的性质解答． 【解答】解：根据反比例函数的性质，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， ∴k＞0， ∴这个解析式可以是y（答案不唯一）． 故答案为：y（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大． 14．（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而　减小　 （填“增大”或“减小”）． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】减小． 【分析】依据题意，由用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则I是R的反比例函数，且k＝36＞0，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I， ∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0． ∴电流I的值随电阻R值的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 三．解答题（共1小题） 15．（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．理由见解析． 【分析】（1）设PN＝x，根据题意，得，解一元二次方程，即可求解； （2）①作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D；②过点B作BF⊥AB，且BF＝BD；③连接AF；④以点F为圆心，BF为半径，画弧，交AF于点G；⑤以点A为圆心，AG为半径，画弧，交AB于点C，点C即为线段AB的中外比点．设BD＝x，根据勾股定理求得AF，继而求得，，分别代入、，即可求证点C为线段AB的中外比点； （3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，分三种情况讨论：①当△OED＝90°时，证得△COE≌△BED，设点E（m，n），则D（m+n，n﹣m），根据点D、E在反比例函数的图象上，可构建方程n2﹣mn﹣m2＝0，解得，分别求得BE、CE、BC、BD、AD、AB的值，即可求证．设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0），利用待定系数法求得直线OB的函数解析式为，联立方程组，求得点F的坐标，即可求证；②当∠ODE＝90°，同理可证点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点；③当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符． 【解答】解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x， 根据题意，得：，即， 整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得：，， ∵， ∴舍去， ∴； （2）如图所示，点C为所求． 设BD＝x， ∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴点C为线段AB的中外比点． （3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下： 第一种情况：当△OED＝90°，则OE＝ED， ∴∠OEC+∠DEB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCE＝∠EBD＝90°， ∴∠COE+∠OEC＝90°， ∴∠COE＝∠DEB， ∴△COE≌△BED（AAS）， 设点E（m，n）， ∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝mn，将其代入②，得：， 整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0， 解得：， ∴（舍去）， ∴，，， ∴，CE＝m，，BD＝m，，， ∵，，BD2＝m2，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE， ∴∠ODA+∠EDB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAD＝∠EBD＝90°， ∴∠ODA+∠DOA＝90°， ∴∠EDB＝∠DOA， ∴△OAD≌△DBE（AAS）， 设点D（a，b）， ∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝ab，将其代入②，得：， 整理，得：b2+ab﹣a2＝0， 解得：， ∴，（舍去）， ∴，，， ∴，，BC＝a，BD＝a，，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组，， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． ∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$