备考2026年中考数学一轮复习 二次函数

中考数学一轮复习 二次函数 一．选择题（共5小题） 1．（2025•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4 D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 3．（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025•泸州）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 5．（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 二．填空题（共2小题） 6．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m． 7．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 8．（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）； ①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；　 　 ②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；　 　 ③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．　 　 （2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 9．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 10．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 11．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 12．（2025•深圳）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 13．（2025•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025•内蒙古）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 15．（2025•齐齐哈尔）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　 　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　 　 ． 中考数学一轮复习 二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2025•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】B 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为（﹣2，0），则当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即可判断②；根据b＝﹣2a，2＜c＜3，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据y1＜y3＜y2，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则， ∴b＝﹣2a＞0， 又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m， ∵2＜m＜3，即c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误； ∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0即c＝﹣8a， ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3， ∴即， 当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴y最大值＝﹣9a， ∴，故③正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a， 即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4a（8a+2）＝36a2+12a+1， 对称轴为直线，当时，Δ的值随a的增大而减小， 又∵2＜﹣8a＜3， ∴， ∴当时，， ∴当时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0有两个不相等实根，故④正确； 若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3， ∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4， ∵y1＜y3＜y2， ∴，， 即，n+1＜1， 解得：， ∴，故⑤错误； 故正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2025•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4 D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】D 【分析】根据图像判断系数之间的关系，从图象获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a＞0， ∴bc＞0，4a+b＝0，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且x1≠x2， ∴， ∴x＝x1和x＝x2关于对称轴直线x＝2对称， ∴x1+x2＝4，故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|， ∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键． 3．（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0，即可逐一判断，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2025•泸州）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】D 【分析】根据对称轴计算公式可得，即b＝﹣2a，据此可判断A； 根据题意可得当x＝0时，y＜0，再由当x＝﹣1时，y＞0，可得抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间，则抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，据此可判断B； 当x＝﹣2时，y＝4a+﹣2b+c＞0，再由b＝﹣2a，即可判断D； 当时，，当a＝1，b＝﹣2c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，则当时，，据此可判断C． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ∴当x＝0时，y＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， 当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1， 当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 5．（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，求出平移后的解析式，然后设此图形向右平移m单位（0＜m≤10），故新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12，由此可得P'的纵坐标满足的关系式，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣（x+7）2+12， ∴令x＝0，则y＝﹣37，即此时图象与y轴的交点P为（0，﹣37）． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图形向右平移m单位（0＜m≤10）， ∴新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12． ∴图象与y轴交点P'为（0，﹣m2+14m﹣37）． 又∵﹣m2+14m﹣37＝﹣（m﹣7）2+12， ∴当m＝7时，P'的纵坐标取最大值12． 又∵0＜m≤10， ∴P点位置的变化先向上再向下． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 二．填空题（共2小题） 6．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】8． 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可， 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 7．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　y＝3x2﹣2　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】y＝3x2﹣2． 【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可． 【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位， ∴y＝3x2﹣2， 故答案为：y＝3x2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数平移法则是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 8．（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）； ①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；　✓　 ②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；　✓　 ③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．　×　 （2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【专题】新定义；函数的综合应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）①✓；②✓；③×； （2）S； （3）a． 【分析】（1）①根据“对偶点”判断即可； ②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”，可得得n＝1，此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义，即可判断； ③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”，故（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，解得t的值可知（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，判断函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”； （2）由题意可求出两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2，画出图象由三角形面积公式可得答案； （3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，可得2x11＝0，当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，可得x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；故必有Δ＝﹣3+8a＞0，即可解得答案． 【解答】解：（1）①设函数y图象上任意一点（m，），可知（，﹣m）也在函数y图象上， 而（m，）与（，﹣m）是“对偶点”， ∴函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； 故答案为：✓； ②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”， ∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1， 解得n＝1， 此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义， ∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”， 故答案为：✓； ③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”， ∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t， 变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝1，t31，t41， 当t1＝﹣1或t2＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意； 当t31，t41时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合“对偶点”定义； ∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”， 故答案为：×； （2）由题意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，则点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一对“对偶点”， ∵y＝k1x+b1是“对偶函数”， ∴其图象上必存在一对“对偶点”，有，两式相减可得k1＝1， 同理可得k2＝1， ∴两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2， ∵b1，b2都是常数，且b1•b2＜0， ∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图： ∴其面积之和S； （3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，有， 两式相减可得， ∴， 代入①整理可得2x11＝0， ∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”， ∴关于x1的一元二次方程2x11＝0必有实数根， 而Δ＝1﹣8a（1）＝8a﹣3， 当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a，由x10可得x1， ∴y1（）2﹣1， ∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去； ∴必有Δ＝﹣3+8a＞0， 解得． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“对偶函数”，“对偶点”的意义． 9．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用． 【答案】该抛物线的表达式为． 【分析】先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），设该抛物线的顶点式为y＝ax2+0.0015，将A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数表达式，根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 10．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【专题】代数综合题． 【答案】（1）c＝0，b＝﹣2a；（2）①4；②． 【分析】（1）分别将O（0，0），O（0，0）代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如下图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点B在y轴右侧，如下图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点B在y轴左侧，如下图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 11．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1； （2）面积比保持不变为，理由见解答； （3）或； （4）m≤﹣1或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出m的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， 则； （3）如图所示，QM经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为， 纵坐标为， 该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ， ∴△PON∽△OQD，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，OD＝2， 则，即， 解得， ①当时， 即为如图所示， 此时， 点Q在第四象限， 故； ②如图所示， 当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时， 故； 综上，或； （4）①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E， 由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE， ∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1， ∴当点P向左运动时，满足题意， ∴m≤﹣1； ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E， 同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意， 当x2﹣2x﹣1＝0时， 解得，x2＝1， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限， 思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或 此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； 综上，当m≤﹣1或或时，符合题意． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 12．（2025•深圳）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；推理能力． 【答案】（1）18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）最少开7条通道．理由见解析． 【分析】（1）根据题意得安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． 13．（2025•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）b＝﹣6，c＝5； （2）点P的横坐标为或． 【分析】（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解b，c； （2）先确定△OBC为等腰直角三角形，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，连接AD与BC 交于点E，则D（5，4），通过三线合一得到BC⊥AD，ED＝EA，由三角形面积公式可得过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，然后求出直线PD解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4）， ∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5， ∴b＝﹣6，c＝5； （2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5， 当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5， 当x＝0，y＝5， ∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4， ∵∠COB＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4， 连接AD与BC交于点E，则D（5，4）， ∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC， ∴BC⊥AD，ED＝EA， 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，， ∴S△BCA＝S△BCP， 设直线BC：y＝mx+n， 则， ∴， ∴直线BC：y＝﹣x+5， ∵BC∥PD， ∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4， 解得：q＝9， ∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得：， 整理得：x2﹣5x﹣4＝0， 解得：或， ∴点P的横坐标为或． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2025•内蒙古）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 【考点】二次函数综合题． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】（1）B（8，0），C（8，6），D（0，6）； （2）抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，﹣4），L1的表达式为；L2的表达式为； （3）4． 【分析】（1）由矩形ABCD性质可得CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，，∠DNP＝∠APN＝90°，由矩形DAPN中NP＝AD＝6，抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，即可得出抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4），分别设抛物线L1和L2的表达式为，，分别将将D（0，6）和A（0，0）代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出EF⊥MG，HG⊥MG，证明HE⊥x轴，设xE＝xH＝n，则，，则，求得xE＝2，由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm， ∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD， ∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）； （2）∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，，∠DNP＝∠APN＝90°， ∴四边形DAPN是矩形， ∴NP＝AD＝6， ∵抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴， ∴MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），QP＝4cm， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）， 分别设抛物线L1和L2的表达式为，， 将D（0，6）代入， 解得， 则抛物线L1的表达式为； 将A（0，0）代入， 解得； 则抛物线L2的表达式为； （3）∵装置整体图案为轴对称图形， ∴EF⊥MG，HG⊥MG， ∵MQ⊥x轴， ∴EF∥HG∥x轴， ∵EFGH是矩形， ∴HE⊥EF， ∴HE⊥x轴， ∴xE＝xH， 设xE＝xH＝n， ∴，， ∴， 解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍）， ∴xE＝2， 由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4． 【点评】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 15．（2025•齐齐哈尔）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　（11，﹣30）　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　　 ． 【考点】二次函数综合题． 【专题】面积法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）； （3）（11，﹣30）； （4）． 【分析】（1）代入点A、B的坐标，求得系数，即可得到解析式； （2）过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即可解得点P的坐标； （3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRQ，则△BCR为等腰直角三角形．由旋转性质可得点R的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，可知G为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点G的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析CF取最小值和最大值时候点F所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出CF的最小值，进而可得CF的范围． 【解答】解：（1）解：将A（﹣1，0），B（6，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，如图a所示， 则S△QBC＝S△PBC＝24， ∴， ∵点C（6，0），则CO＝6， ∴BQ＝8， 又∵B（0，3）， ∴点Q（0，﹣5）， ∵B（0，3），C（6，0）， ∴直线BC的解析式为yx+3， ∵PQ∥BC， ∴直线PQ的表达式为yx﹣5， 联立yx﹣5与，可解得x＝﹣2或8， 故P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）． （3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形． 从而∠CBR＝45°，如图b所示： 又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°， ∴点G为BR延长线与抛物线的交点． 由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝3，OC＝SC＝6， 故点R坐标为（3，﹣6）， 由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣3x+3， 联立y＝﹣3x+3与，整理可得x2﹣11x＝0， 解得x＝11或0（舍去）， 故点G坐标为（11，﹣30）， 故答案为：（11，﹣30）． （4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3，DE＝OC＝6． 连接OE，交MN于点G，如图c所示， 故OE， ∵OM∥EN， ∴△OMG∽△ENG， ∴，． 作GH⊥DE于点H，如图c所示， ∵GH∥OD， ∴△GHE∽△ODE， ∴， ∴GHOD＝2，HEDE＝4，DH＝6﹣4＝2， 故DG． 取DG中点J，连接FJ、CJ， ∵∠DFG＝90°， ∴根据斜边中线定理可得FJDG， 故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F、C共线时取等号． 易知点J坐标为（1，﹣2），C（6，0）， 故CJ，则CF≥CJ﹣FJ． 当点N与点D重合时，点F与点D重合，此时CF最大，即CF＝OE， 综上所述，CF的取值范围为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，三角形面积等积变形，45°角的转化策略，函数与方程的联系，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，斜边中线定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$