直线方程的倾斜角斜率与直线方程五种表示【14个题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【直线方程的倾斜角斜率与直线方程五种表示】 总览 题型梳理 一．直线的倾斜角（共6小题） 二．直线的斜率（共3小题） 三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 四．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 五．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 六．直线的点斜式方程（共7小题） 七．直线的斜截式方程（共4小题） 八．直线的两点式方程（共4小题） 九．直线的截距式方程（共6小题） 十．直线的一般式方程与直线的性质（共5小题） 十一．直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题） 十二．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题） 十三．恒过定点的直线（共4小题） 十四．与直线关于点、直线对称的直线方程（共7小题） 【知识点清单】 1．直线的倾斜角 【知识点的认识】 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大． 2．直线的斜率 【知识点的认识】 1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α） （2）斜率公式：k． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 3．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； （4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 4．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： ①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有： 两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2 ②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行． 5．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°． 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： ①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； ②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直． l1⊥l2⇔k2⇔k1•k2＝﹣1． 6．直线的点斜式方程 【知识点的认识】 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 7．直线的斜截式方程 【知识点的认识】 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 9．直线的两点式方程 【知识点的认识】 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 9．直线的截距式方程 【知识点的认识】 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 10．直线的一般式方程与直线的性质 【知识点的认识】 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 11．恒过定点的直线 【知识点的认识】 ﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【解题方法点拨】 ﹣求方程： 1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程． 2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式． 3．标准方程：得到直线方程如： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 12．与直线关于点、直线对称的直线方程 【知识点的认识】 ﹣对称直线： ﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为： ﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求对称直线方程： 1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程． 2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．直线的倾斜角（共6小题） 1．已知直线m与直线垂直，则直线m的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的倾斜角．版权所有 【分析】根据垂直关系得到直线m的斜率，进而得到倾斜角． 【解答】解：因为直线m与直线n垂直，直线n的斜率为， 所以直线m的斜率为． 结合斜率与倾斜角的关系，得直线m的倾斜角为． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 2．已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的倾斜角．版权所有 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解． 【解答】解：由题意直线l的斜率为， 可设倾斜角为θ，0≤θ＜π，则，解得，故倾斜角为． 故选：A． 【点评】本题考查了直线的斜率和倾斜角，是基础题． 3．设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A．[0，π] B． C． D． 【考点】直线的倾斜角．版权所有 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【解答】解：直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，设直线的倾斜角为α， ①当sinθ＝0时，， ②当sinθ≠0时，直线的斜率k＝tan， 所以tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）， 所以， 综上所述：； 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，正切函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 4．经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．4 【考点】直线的倾斜角．版权所有 【分析】根据两点斜率公式求解即可． 【解答】解：经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的斜率为， 又直线l的倾斜角为135°， 所以，解得m＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 5．已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的倾斜角．版权所有 【分析】把直线l的方程化为yxsinα，求出斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围． 【解答】解：由直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R， 化为yxsinα， 由﹣1≤sinα≤1， 设直线l的倾斜角为φ， 则tanφsinα∈[，]，且0≤φ＜π， 所以0≤φ或φ＜π； 即直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，π）． 故选：B． 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题． 二．直线的斜率（共3小题） 7．已知A（﹣2，3）、B（2，1），若斜率存在的直线l经过点P（0，﹣1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（　　） A．[﹣2，1] B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 【考点】直线的斜率．版权所有 【分析】直接利用直线的斜率和直线间的位置关系求出结果． 【解答】解：已知A（﹣2，3）、B（2，1），若斜率存在的直线l经过点P（0，﹣1）， 故kAP＝﹣2，kBP＝1， 由于与线段AB有交点， 故k≥kBP＝1，k≤kAP＝﹣2， 即直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：直线的斜率，直线间的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 8．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k＞2或k C．k D．k＜2 【考点】直线的斜率．版权所有 【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，数形结合得答案． 【解答】解：点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）， ∵直线PA的斜率是2， 直线PB的斜率是． 如图， ∵直线l与线段AB始终有公共点， ∴斜率k的取值范围是（，2）． 故选：A． 【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 9．已知点A（2，2），B（﹣1，3），若过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的斜率．版权所有 【分析】利用斜率公式求kPA，kPB，数形结合确定直线斜率的范围． 【解答】解：点A（2，2），B（﹣1，3），点P（0，﹣1）， 可得，如下图示， 所以． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题． 三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 10．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；函数的图象与图象的变换；直线的斜率．版权所有 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答】解：由k＝tanα，结合y＝tanx的函数图像， 直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3＜0， 直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角， 则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题． 11．如图，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则（　　） A．k1＜k2＜k3＜k4 B．k2＜k1＜k3＜k4 C．k1＜k2＜k4＜k3 D．k2＜k1＜k4＜k3 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】由图可知直线l1，l2的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l3，l4的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案． 【解答】解：直线l1，l2的倾斜角为钝角，且直线l1的倾斜角大于直线l2的倾斜角， 直线l3，l4的倾斜角为锐角，直线l3的倾斜角大于直线l4的倾斜角， 所以k3＞k4＞0＞k1＞k2． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 12．已知实数x，y满足，且﹣2≤x≤3，则的取值范围（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．[﹣1，3] 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解． 【解答】解：由于点（x，y）满足关系式，且﹣2≤x≤3， 可知M（x，y）在线段AB上移动，且A（﹣2，﹣1），B（3，0）， 设Q（﹣1，2），则，， 因为点M（x，y）在线段AB上，所以的取值范围是． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题． 13．已知直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），则下列各图形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】直接利用直线中m和n的取值范围判断函数的图象． 【解答】解：根据直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n）， ①当m＞0时，﹣m＜0，n＞0，﹣n＜0，选项A错误； ②当n＞0，﹣m＜0，则m＞0，故D正确； ③当m＞0，n＞0时，﹣m＜0，故B错误； ④由于两直线的交点在y轴上，故m＝﹣n，故m和n异号，故C错误． 故根据函数的图象只有A符合答案． 选项ABC都不对． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：直线和图象的关系，主要考查学生视图能力和数学思维能力，属于基础题． 四．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 14．若直线l1：（m﹣2）x+3y+3＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m＝（　　） A．4 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或4 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】根据直线一般方程的平行关系求m的值，并代入检验． 【解答】解：若直线l1：（m﹣2）x+3y+3＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+2＝0平行， 则（m﹣2）（m﹣1）＝3×2＝6，整理可得m2﹣3m﹣4＝0，解得m＝4或m＝﹣1， 若m＝﹣1，直线l1：x﹣y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+1＝0平行，符合题意； 若m＝4，直线l1：2x+3y+3＝0与直线l2：2x+3y+2＝0平行，符合题意； 综上所述：m＝4或m＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，考查计算能力，属于基础题． 15．已知直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可． 【解答】解：因为直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行， 所以1×3＝m（m+2），解得m＝1或m＝﹣3； 当m＝﹣3时，两条直线为：3x﹣3y+4＝0，x﹣y﹣8＝0两条直线平行， 当m＝1时，两条直线为：x+3y＝0，x+3y＝0两条直线重合，舍去． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 16．“m＝﹣4”是“直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出m，再检验即可得解． 【解答】解：若直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行， 则（m﹣2）×（m+2）＝m×（﹣3），且﹣3×1≠﹣1×（m+2）， 即m2+3m﹣4＝0，且m≠1，解得m＝﹣4， 所以“m＝﹣4”是“直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行”的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 17．过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线的方程为（　　） A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝0 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】设出直线方程再将点P（2，2），即可求得结果． 【解答】解：由题意可设所求的直线的方程为：x+2y+C＝0， 所求直线过点P（2，2）， 则2+2×2+C＝0，解得C＝﹣6， 故直线方程为x+2y﹣6＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 五．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 18．已知两条直线l1：4x﹣2y+5＝0和l2：6x+ay﹣7＝0，若l1⊥l2，则a＝（　　） A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣3 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果． 【解答】解：直线l1：4x﹣2y+5＝0和l2：6x+ay﹣7＝0，若l1⊥l2，故24﹣2a＝0，解得a＝12． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 19．若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣3 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值． 【解答】解：∵l1⊥l2 ∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）＝0，即（a﹣1）（a+3）＝0 解得a＝1或a＝﹣3 故选：D． 【点评】本题考查两直线垂直的充要条件：l1：A1x+B1y+C1＝0；l2：A2x+B2y+C2＝0垂直⇔A1A2+B1B2＝0，如果利用斜率必须分类型解答． 20．已知平行四边形ABCD的顶点A（0，1），边AB所在直线方程是x﹣y+1＝0，对角线的交点为M（2，2），边CD所在直线方程为（　　） A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝0 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】根据题意AB∥CD且A，C关于M对称，可得点C的坐标，设CD：x﹣y+m＝0，将点C代入进而求参数，即可得直线方程． 【解答】解：由题意知AB∥CD，边AB所在直线方程是x﹣y+1＝0， 可设CD：x﹣y+m＝0且m≠1， 又对角线的交点为M（2，2），A，C关于M对称，即点M为A，C的中点， 则C（4，3）， 由点C在直线CD：x﹣y+m＝0上，可得4﹣3+m＝0，解得m＝﹣1， 所以CD：x﹣y﹣1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查点关于点的对称点的求法及两条直线平行的性质的应用，属于基础题． 21．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，动直线l2：（k+1）x﹣ky+k＝0（k∈R），则下列结论正确的为（　　） A．不存在k，使得l2的倾斜角为 B．对任意的k，l1与l2都不垂直 C．存在k，使得l1与l2重合 D．对任意的k，l1与l2都有公共点 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】当k＝0时，直线l2的倾斜角为，判断出A的真假；当两条直线垂直时，可得k的值，判断出B的真假；当两条直线重合时，可得关于k的方程，由方程无解，判断出C的真假；由C选项的分析，可得两条直线有交点，判断出D的真假． 【解答】解：A中，当k＝0时，动直线为x＝0，即直线l2的倾斜角为，所以A不正确； B中，若l1与l2垂直时，1×（k+1）+（﹣1）×（﹣k）＝0，可得k， 即存在k时，两条直线垂直，所以B不正确； C中，当两条直线重合时，则，此时k∈∅，即不存在k的值，使得两条直线重合，所以C不正确； D中，由C选项分析，可得直线不平行，所以两条直线有交点，即这两条直线有公共点，所以D正确．故选：D． 【点评】本题考查直线位置关系的判断，属于基础题． 六．直线的点斜式方程（共7小题） 22．直线l经过点，倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的点斜式方程；直线的斜率．版权所有 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程． 【解答】解：因为直线x＝﹣1的倾斜角为90°， 又直线l的倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的， 所以直线l的方程为，即． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题． 23．已知直线l经过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【考点】直线的点斜式方程．版权所有 【分析】不妨设直线l分别交x、y轴于点A（a，0）、B（0，b），则a＞0，b＞0，可得出直线l的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得△AOB面积的最小值． 【解答】解：直线l经过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点， 不妨设直线l分别交x、y轴于点A（a，0）、B（0，b），则a＞0，b＞0， 所以，直线l的截距式方程为，因为点P在直线l上，则， 由基本不等式可得，可得ab≥8，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故△AOB的面积的最小值为4． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的面积以及不等式的应用，属于基础题． 24．已知直线l过点（0，2），且与直线y＝2x﹣1垂直，则直线l的方程为（　　） A．2x+y﹣2＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．x﹣2y+4＝0 【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【解答】B解：直线l过点（0，2），且与直线y＝2x﹣1垂直， 则直线l的斜率为， 直线l过点（0，2）， 则直线l的方程为y﹣2，即x+2y﹣4＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 25．已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的点斜式方程．版权所有 【分析】根据已知条件，先求出直线l的倾斜角，即可求出斜率，再结合直线l过原点，即可求解． 【解答】解：将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合， 则直线l的倾斜角为，其斜率为， 直线过原点， 则直线l的方程为y． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题． 26．若直线l的倾斜角是直线y＝x﹣3的倾斜角的两倍，且直线l经过点（2，4），则直线l的方程为（　　） A．y＝2x B．x＝4 C．x＝2 D．y＝2x﹣3 【考点】直线的点斜式方程．版权所有 【分析】根据y＝x﹣3的倾斜角求出直线l的倾斜角即可得到直线l的方程． 【解答】解：因为直线y＝x﹣3的斜率为1， 所以其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，则其斜率不存在． 又直线l过点（2，4），所以直线l的方程为x＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题． 27．若直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则该直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的点斜式方程．版权所有 【分析】由题意可得直线的倾斜角，再求出所求直线的倾斜角，进而求出所求直线的斜率，再由点斜式方程，可得答案． 【解答】解：直线的斜率k，设其倾斜角为θ，θ∈[0，π）， 可得k＝tanθ，所以θ， 由题意可得所求直线的倾斜角为，所以斜率为tan， 所以过点A（1，﹣3）的直线方程为y+3（x﹣1），即x﹣y﹣40． 故选：D． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法及直线方程的求法，属于基础题． 28．△ABC中，A（﹣5，0），B（3，2），C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（　　） A．x+4y+3＝0 B．4x+y+3＝0 C．x﹣4y+5＝0 D．4x﹣y+5＝0 【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】由题意可得的坐标及AB的中点D的坐标，由点法式方程可得所求的直线方程． 【解答】解：由题意AB中垂线为CD所在的直线， 因为△ABC中，A（﹣5，0），B（3，2），可得AB的中点D（﹣1，1），（8，2）， 所以AB的中垂线方程为8（x+1）+2（y﹣1）＝0， 整理可得：4x+y+3＝0． 故选：B． 【点评】本题考查点法式方程的应用，属于基础题． 七．直线的斜截式方程（共4小题） 29．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（　　） A．yx+3 B．yx﹣3 C．yx+3 D．yx﹣3 【考点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程．版权所有 【分析】先求出直线的斜率，结合直线的斜截式即可求解． 【解答】解：直线l的倾斜角为120°，即斜率为， 因为在y轴上的截距是3， 则直线l的方程为yx+3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角关系及直线方程的斜截式的应用，属于基础题． 30．直线的倾斜角30°，过点（0，1），则直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的斜截式方程．版权所有 【分析】由直线倾斜角得斜率，求出过点（0，1）可得直线的斜截式方程． 【解答】解：由直线的倾斜角30°， 所以过（0，1）直线的斜截式方程为：y＝xtan30°+1x+1． 即yx+1． 故选：A． 【点评】本题考查直线的斜截式方程的应用，属于基础题． 31．已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是 　　 ． 【考点】直线的斜截式方程．版权所有 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【解答】解：已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），故直线的方程为：，整理得x+4y＝19， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 32．若直线l在x轴上的截距为3，且l的一个法向量为，则l的方程为 　x+2y﹣3＝0　 ． 【考点】直线的斜截式方程．版权所有 【分析】由题意及点法式方程，可得直线的方程． 【解答】解：由题意及点法式方程为1•（x﹣3）+2•（y﹣0）＝0， 即x+2y﹣3＝0． 故答案为：x+2y﹣3＝0． 【点评】本题考查点法式方程的应用，属于基础题． 八．直线的两点式方程（共4小题） 33．下列说法正确的是（　　） A．当直线l1与l2的斜率k1，k2满足k1•k2＝﹣1时，两直线一定垂直 B．直线Ax+By+C＝0的斜率为 C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程 D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 【考点】直线的两点式方程；直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．版权所有 【分析】A．当直线l1与l2的斜率k1，k2满足k1•k2＝﹣1时，可得两直线一定垂直； B．分类讨论B＝0和B≠0； C．分类讨论：过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程（x1≠x2，y1≠y2）或x＝x1（x1＝x2）或y＝y1（y1＝y2）； D．过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等，分类讨论：截距为0和不为0两种情况． 【解答】解：A．当直线l1与l2的斜率k1，k2满足k1•k2＝﹣1时，两直线一定垂直，正确； B．直线Ax+By+C＝0，当B≠0时，其斜率为，因此不正确； C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程（x1≠x2，y1≠y2）或x＝x1（x1＝x2）或y＝y1（y1＝y2），因此不正确； D．过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或y＝x，因此不正确． 综上可知：只有A正确． 故选：A． 【点评】本题考查了直线的方程与斜率的关系、与截距的关系、直线垂直与斜率的关系，属于基础题． 34．直线l过点A（﹣1，1），B（2，4），则直线l的方程为（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣x+2 D．y＝x+2 【考点】直线的两点式方程．版权所有 【分析】根据直线的两点式方程运算求解． 【解答】解：由题可得直线l的方程为，整理得y＝x+2， 所以直线l的方程为y＝x+2． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 35．经过两点（x1，y1）、（x2，y2）的直线方程都可以表示为（　　） A． B． C．（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D． 【考点】直线的两点式方程；直线的一般式方程与直线的性质．版权所有 【分析】根据两点式直线方程即可求解． 【解答】解：当经过（x1，y1）、（x2，y2）的直线不与x，y轴平行时，所有直线均可以用， 由于x1，x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x，y轴平行的直线． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直线方程的两点式应用条件的判断，属于基础题． （多选）36．下列结论正确的是（　　） A．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的直线方程为 B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1） C．若直线l过（3，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则l的方程为x+3y﹣6＝0 D．直线的倾斜角为 【考点】直线的两点式方程；直线的截距式方程；直线的倾斜角．版权所有 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；利用点关于直线的对称性可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断D选项． 【解答】解：当x1＝x2时，过（x1，y1）、（x2，y2）两点的直线方程不能用表示，A错； 对于B选项，设点A（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为B（a，b）， 由题意可知，直线AB与直线y＝x+1垂直，且线段AB的中点在直线y＝x+1上， 所以，，解得a＝b＝1， 所以，点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1），B对； 对于C选项，当直线l不过原点时，设直线l的方程为，即x+3y﹣3m＝0， 所以，3+3﹣3m＝0，解得m＝2，此时，直线l的方程为x+3y﹣6＝0， 若直线l过（3，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍， 当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，可得3k＝1，解得， 此时，直线l的方程为，即x﹣3y＝0， 综上所述，直线l的方程为x﹣3y＝0或x+3y﹣6＝0，C错； 对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对． 故选：BD． 【点评】本题主要考查直线方程的应用，是基础题． 九．直线的截距式方程（共6小题） 37．直线在x轴的截距为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【考点】直线的截距式方程．版权所有 【分析】直接令y＝0计算即可求解． 【解答】解：对于， 令y＝0，得x＝﹣3，所以直线在x轴的截距为﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线截距的求解，属于基础题． 38．过点（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x﹣2y＝0 C．x+y﹣3＝0或x﹣2y＝0 D．x+y﹣3＝0或x﹣y﹣1＝0 【考点】直线的截距式方程．版权所有 【分析】直接利用直线的截距式和经过原点的坐标求出直线的方程． 【解答】解：①当直线l过原点时，故直线的方程是x﹣2y＝0，符合题意； ②当直线l不过原点时，其斜率为﹣1，所以方程是x+y﹣3＝0． 故直线的方程为x﹣2y＝0或x+y﹣3＝0． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 39．过A（1，4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 　3　 条． 【考点】直线的截距式方程．版权所有 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点，得到关于k的方程，求出k的不同值共3个，从而得出结论． 【解答】解：设直线方程为y﹣4＝k（x﹣1），则直线与坐标轴的交点为（0，4﹣k）、（1，0）． 由|4﹣k|＝|1|，可得 4﹣k＝1①，或 4﹣k1 ②． 解①可得 k＝4，或 k＝﹣1．解②可得 k＝4，或 k＝1． 综合可得 k＝4，或 k＝﹣1，或 k＝1． 综上，满足条件的直线共有3条． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线方程的点斜式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 40．若直线l过点（4，﹣2）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 　x+2y＝0或x﹣y﹣6＝0　 ． 【考点】直线的截距式方程．版权所有 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可． 【解答】解：当截距不为0时，设l的方程为，由l过点（4，﹣2），得， 解得a＝6，所以l的方程为x﹣y﹣6＝0． 当截距为0时，l过点（4，﹣2）和原点，所以l的方程为，即x+2y＝0． 故答案为：x+2y＝0或x﹣y﹣6＝0． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 41．已知直线l：kx﹣y+3k+1＝0，（k∈R）． （1）证明：对任意实数k，直线l都经过一个定点； （2）若直线l在x轴、y轴上截距相等，求直线l的方程． 【考点】直线的截距式方程；恒过定点的直线．版权所有 【分析】（1）将直线l的方程化简为k（x+3）﹣（y﹣1）＝0，然后求出直线x+3＝0与y﹣1＝0的交点，即可证出所求结论； （2）根据题意，按照直线l是否经过原点进行讨论，分别求出满足条件的k值，进而可得直线l的方程． 【解答】（1）证明：直线l的方程可化为k（x+3）﹣（y﹣1）＝0， 可知直线l经过直线x+3＝0与y﹣1＝0的交点（﹣3，1）， 所以对任意实数k，直线l都经过定点（﹣3，1）； （2）解：若直线l在x轴、y轴上截距相等， 则可能直线l经过原点，或直线l的斜率为﹣1， ①若直线l经过原点，则3k+1＝0，解得k， 此时直线l的方程为，即x+3y＝0； ②若直线l的斜率为﹣1，则k＝﹣1， 此时直线l的方程为﹣x﹣y﹣2＝0，即x+y+2＝0． 综上所述，直线l的方程为x+3y＝0或x+y+2＝0． 【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线的位置关系等知识，考查了计算能力，属于基础题． 42．已知△ABC顶点A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3）． （1）求边BC上的高所在直线的方程； （2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程． 【考点】直线的截距式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】（1）根据B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），即可得BC中点及斜率，进而可得其高线方程； （2）当直线l过坐标原点时可得直线方程；当直线l不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解． 【解答】解：（1）由△ABC顶点A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3），可得， 所以其高线斜率满足kl•kBC＝﹣1，即kl＝3， 所以边BC的高所在直线的方程为y﹣2＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣1＝0； （2）由直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍， 可分为两种情况讨论： 当直线l过坐标原点时，，此时直线l：y＝2x，符合题意； 当直线l不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由l过点A（1，2），则，解得a＝2， 所以直线l方程为，即2x+y﹣4＝0， 综上所述，直线l的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0． 【点评】本题考查了直线的方程，是基础题． 十．直线的一般式方程与直线的性质（共5小题） 43．△ABC的顶点A（4，3），AC边上的中线所在的直线为4x+13y﹣10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y﹣5＝0，求AC边所在直线的方程（　　） A．2x﹣3y+1＝0 B．x﹣8y+20＝0 C．3x﹣5y+3＝0 D．x﹣y+1＝0 【考点】直线的一般式方程与直线的性质．版权所有 【分析】先求出B的坐标，再利用点关于直线的对称点，求出点A（4，3）关于直线x+2y﹣5＝0的对称点A'的坐标，利用A'在直线BC上，求出直线BC的方程，设C点的坐标，建立方程组，求出点C，即可求出直线AC的方程． 【解答】解：联立方程组，解得，所以点B（9，﹣2）， 设点A（4，3）关于直线x+2y﹣5＝0的对称点为A'（x0，y0）， 则有，解得，所以点A'（2，﹣1）， 因为点A'在直线BC上， 则直线BC的方程为，即x+7y+5＝0， 设点C（x1，y1），则AC的中点坐标为， 所以，解得，所以点C（﹣12，1）， 故， 则AC边所在直线的方程为，即x﹣8y+20＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了直线方程的求解与应用，中点坐标公式的应用，点关于直线的对称点的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 44．已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x﹣y+4＝0，顶点D（0，﹣1），则顶点A的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（1，0） D．（2，0） 【考点】直线的一般式方程与直线的性质．版权所有 【分析】由AB⊥AD，求出边AD所在的直线方程，再联立直线AB，AD组成的方程组，方程组的解即为顶点A的坐标． 【解答】解：矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x﹣y+4＝0，顶点D（0，﹣1），可得AB⊥AD， 设AD所在直线方程为x+2y+m＝0，因为过D（0，﹣1）， 所以m＝2，所以AD所在直线方程为x+2y+2＝0， 由解得，即顶点A的坐标为（﹣2，0）． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线方程的求解以及点的坐标求解，属于基础题． 45．与点M（2，1）之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线是（　　） A．x＝4 B．3x﹣4y﹣12＝0 C．x＝4或3x﹣4y﹣12＝0 D．y＝4或3x﹣4y﹣12＝0 【考点】直线的一般式方程与直线的性质．版权所有 【分析】结合各选项中直线解析式，应用点线距、直线与x轴交点即可得到正确选项． 【解答】解：x＝4与M（2，1）的距离为2，在x轴上的截距为4，故符合题意； 直线3x﹣4y﹣12＝0，得，且y＝0时x＝4，故符合题意； ∴x＝4或3x﹣4y﹣12＝0都是与点M（2，1）距离为2且在x轴上的截距为4的直线，故C符合题意； y＝4与M（2，1）的距离为3且x轴无交点，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了点线距离公式及直线的截距，属于基础题． 46．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（0，4），C（4，4），则△ABC欧拉线的方程为（　　） A．x+y﹣4＝0 B．x﹣y+4＝0 C．x+y+4＝0 D．x﹣y﹣4＝0 【考点】直线的一般式方程与直线的性质．版权所有 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程． 【解答】解：由A（0，0），B（0，4），C（4，4），得AB⊥BC， 则Rt△ABC的垂心为B（0，4），线段AC的中点（2，2）为三角形的外心， 则△ABC欧拉线的方程为，即x+y﹣4＝0． 故选：A． 【点评】本题考查欧拉线的方程，考查三角形形垂心及外心的求法，是基础题． 47．已知直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，则（　　） A．直线l的截距式方程为 B．直线l的截距式方程为 C．直线l的斜截式方程为 D．直线l的斜截式方程为 【考点】直线的一般式方程与直线的性质．版权所有 【分析】根据方程之间的互化，对各选项逐项判定，即可求出结果． 【解答】解：因为直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0， 两边同时除以6整理可得：直线l的截距式方程为，故A正确，B错误； 直线l的斜截式方程为，故C，D错误． 故选：A． 【点评】本题考查斜截式方程、截距式方程、一般式方程，属于基础题． 十一．直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题） 48．已知直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：（3a﹣5）x+（a﹣1）y﹣2＝0，则l1∥l2的充要条件的是（　　） A．a＝2 B．a＝3 C．a＝2或3 D．a＝4 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．版权所有 【分析】结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：（3a﹣5）x+（a﹣1）y﹣2＝0， 则（a﹣1）2＝1•（3a﹣5），解得a＝2或3， 当a＝3时，两直线重合，不符合题意，舍去， 当a＝2时，两直线不重合，符合题意， 故a＝2， l1∥l2的充要条件的是a＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 十二．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题） 49．已知直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣4）x﹣5y﹣4＝0，则“a＝5”是“l1⊥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；充分条件必要条件的判断．版权所有 【分析】结合直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：由l1⊥l2，直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣4）x﹣5y﹣4＝0， 则a（a﹣4）﹣5＝0，解得a＝5或a＝﹣1， 所以“a＝5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查指数垂直的姓张的，属于基础题 十三．恒过定点的直线（共4小题） 50．直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0） 【考点】恒过定点的直线．版权所有 【分析】将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标． 【解答】解：将直线mx+（3m﹣1）y+1＝0整理可得m（x+3y）﹣y+1＝0， 令，解得x＝﹣3，y＝1， 即直线恒过定点（﹣3，1）． 故选：B． 【点评】本题考查直线恒过定点的求法，属于基础题． 51．已知直线2x﹣my+m﹣2＝0恒过点P，则过点P并与直线x﹣2y+4＝0垂直的直线方程为（　　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x+y+1＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．2x﹣y+3＝0 【考点】恒过定点的直线；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．版权所有 【分析】根据直线恒过定点问题、两直线的位置关系和直线的点斜式方程计算即可求解． 【解答】解：根据题意，2x﹣my+m﹣2＝0，变形可得（1﹣y）m+2x﹣2＝0， 令，解得，所以该直线恒过定点（1，1），即P的坐标为（1，1）， 由x﹣2y+4＝0，得，即该直线的斜率为， 要求直线与直线x﹣2y+4＝0垂直，则要求的直线的斜率为﹣2， 又由要求直线过点P（1，1），则要求直线的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0． 故选：A． 【点评】本题考查恒过定点的直线方程，涉及直线的一般式方程，属于基础题． （多选）52．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝3（0≤θ＜2π），则下列四个命题为真的是（　　） A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 【考点】恒过定点的直线．版权所有 【分析】根据题意，利用同角三角函数的恒等式，结合消参法可推导出直线系M表示圆x2+（y﹣2）2＝9的切线的集合，逐项计算并判断即可． 【解答】解：对于A，可令，消去θ可得x2+（y﹣2）2＝9， 故直线系M表示圆x2+（y﹣2）2＝9的切线的集合，故A错误； 对于B，对任意θ，存在定点（0，2）不在直线系M中的任一条直线上，故B正确； 对于C，M中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等， 如图中的等边三角形ABC和ADE，故C错误； 对于D，由于圆x2+（y﹣2）2＝9的外切正n边形，其所有边均在直线系M中的直线上，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 53．设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为 　（0，2）　 ． 【考点】恒过定点的直线．版权所有 【分析】将直线转化为k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令，即可求解． 【解答】解：直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0，即k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0， 令，解得x＝0，y＝2， 故点P的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题． 十四．与直线关于点、直线对称的直线方程（共7小题） 54．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣1，0），若将军从山脚下的点O（0，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】根据题意，运用轴对称的性质求出B点关于直线x+y＝3的对称点A的坐标，然后求出|OA|的长，即可得到“将军饮马”的最短总路程． 【解答】解：设B（﹣1，0）关于直线x+y＝3的对称点的坐标为A（a，b）， 则|OA|为“将军饮马”的最短总路程，如图所示： 由，解得，故A（3，4）， 可得|OA|5，即“将军饮马”的最短总路程等于5． 故选：D． 【点评】本题主要考查轴对称的性质、两点间的距离公式及其应用，考查了计算能力、图形的理解能力，属于基础题． 55．在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于（　　） A． B．4 C．5 D． 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过三角形ABC的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积． 【解答】解：由题意等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，光线QR经过△ABC的重心， 可建立直角坐标系， 可得B（6，0），C（0，6），故直线BC的方程为x+y＝6， 则三角形ABC的重心为，即（2，2）， 设P（a，0），其中0＜a＜6，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y）， 满足，解得，即P1（6，6﹣a）， 易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 直线QR的斜率为，故直线QR的方程为， 由于直线QR过三角形ABC的重心（2，2），代入得， 化简得a＝2或a＝0（舍去），故P（2，0），P1（6，4），P2（﹣2，0），直线QR的方程为， 联立，解得，即点Q的坐标为， 则三角形PQB的面积． 故选：A． 【点评】本题考查了直线的方程，对称问题的求解，是中档题． 56．已知点A（2，4）关于直线l对称的点为B（﹣1，2），则直线l的方程为（　　） A．4x﹣6y+15＝0 B．6x+4y+15＝0 C．6x+4y﹣15＝0 D．4x﹣6y﹣15＝0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】分析可知，直线l为线段AB的垂直平分线，求出线段AB的垂直平分线方程，即为所求． 【解答】解：根据题意可知，点A（2，4）关于直线l对称的点为B（﹣1，2）， 直线l为线段AB的垂直平分线，且， 所以直线l的斜率为， 又因为线段AB的中点为，所以直线l的方程为， 整理可得6x+4y﹣15＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了直线方程，属于基础题． 57．与直线2x﹣ay+1+a＝0关于x轴对称的直线的方程为（　　） A．2x+ay+1+a＝0 B．2x﹣ay﹣1+a＝0 C．2x+ay﹣1﹣a＝0 D．2x﹣y+l+a＝0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【解答】解：设（x，y）是与直线2x﹣ay+1+a＝0关于x轴对称的直线上任意一点， 则（x，﹣y）在2x﹣ay+1+a＝0上，故2x+ay+1+a＝0， 所以与直线2x﹣ay+1+a＝0关于x轴对称的直线的方程为2x+ay+1+a＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，是基础题． 58．已知直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：x﹣my﹣2＝0交于点M，点M关于直线x﹣y＝0对称的点为N（a，b），则的取值范围是（　　） A．[﹣7，1] B．（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞） C．[﹣1，7] D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞） 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】解方程组求出M点坐标，可得a，b，分m＝﹣1、m＞﹣1、m＜﹣1讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案． 【解答】解：联立l1和l2，，解得，得， 因为点N，M关于直线x﹣y＝0对称， 所以，又点N为（a，b），则， ①当m＝﹣1时，则a＝0，b＝2，无意义； ②当m＞﹣1时， ， 所以，当且仅当时成立，即m＝1等号成立； ③当m＜﹣1时， ， 所以，当且仅当时成立，即m＝﹣3等号成立； 故或． 故选：D． 【点评】本题考查了直线的性质，属于中档题． 59．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（　　） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x﹣y﹣8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x﹣6y+6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，A，C，B1三点共线满足题意，其中点B1为点B关于直线的对称点，对于A，由根据BB1被x+y﹣3＝0垂直平分求出B1的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可． 【解答】解：由题意可知A，B在x+y﹣3＝0的同侧， 设点B关于直线x+y﹣3＝0的对称点为B1（a，b）， A，C，B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则， 解得， 即B1（1，﹣3）， 对于A，直线AB1的斜率为， 以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是y+3＝7（x﹣1）， 即7x﹣y﹣10＝0， 故A错误； 对于B，联立， 解得， 即将军在河边饮马的地点的坐标为， 故B正确； 对于C，由C选项分析可知点， 直线CB的斜率为， 所以直线CB的方程为， 即x﹣7y+8＝0， 故C错误； 对于D，， 即“将军饮马”走过的总路程为， 故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了直线的方程，重点考查了对称问题，属中档题． 60．点P（3，0）关于直线l：2x﹣y﹣1＝0的对称点Q的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣3） D．（1，0） 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．版权所有 【分析】设Q（m，n），根据轴对称的性质，结合题意建立关于m、n的方程组，解之即可得到点Q的坐标． 【解答】解：设Q（m，n），则PQ的中点为M（，）， 因为点M在直线l：2x﹣y﹣1＝0上，所以21＝0…①， 由PQ⊥l，且直线l的斜率k＝2，可得PQ的斜率k1②． 由①②组成方程组，解得m＝﹣1，n＝2，即Q的坐标为（﹣1，2）． 故选：B． 【点评】本题主要考查轴对称的性质、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【直线方程的倾斜角斜率与直线方程五种表示】 总览 题型梳理 一．直线的倾斜角（共6小题） 二．直线的斜率（共3小题） 三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 四．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 五．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 六．直线的点斜式方程（共7小题） 七．直线的斜截式方程（共4小题） 八．直线的两点式方程（共4小题） 九．直线的截距式方程（共6小题） 十．直线的一般式方程与直线的性质（共5小题） 十一．直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题） 十二．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题） 十三．恒过定点的直线（共4小题） 十四．与直线关于点、直线对称的直线方程（共7小题） 【知识点清单】 1．直线的倾斜角 【知识点的认识】 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大． 2．直线的斜率 【知识点的认识】 1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α） （2）斜率公式：k． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 3．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； （4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 4．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： ①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有： 两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2 ②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行． 5．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°． 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： ①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； ②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直． l1⊥l2⇔k2⇔k1•k2＝﹣1． 6．直线的点斜式方程 【知识点的认识】 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 7．直线的斜截式方程 【知识点的认识】 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 9．直线的两点式方程 【知识点的认识】 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 9．直线的截距式方程 【知识点的认识】 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 10．直线的一般式方程与直线的性质 【知识点的认识】 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 11．恒过定点的直线 【知识点的认识】 ﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【解题方法点拨】 ﹣求方程： 1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程． 2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式． 3．标准方程：得到直线方程如： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 12．与直线关于点、直线对称的直线方程 【知识点的认识】 ﹣对称直线： ﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为： ﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求对称直线方程： 1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程． 2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．直线的倾斜角（共6小题） 1．已知直线m与直线垂直，则直线m的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 3．设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A．[0，π] B． C． D． 4．经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．4 5．已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（　　） A． B． C． D． 二．直线的斜率（共3小题） 7．已知A（﹣2，3）、B（2，1），若斜率存在的直线l经过点P（0，﹣1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（　　） A．[﹣2，1] B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 8．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k＞2或k C．k D．k＜2 9．已知点A（2，2），B（﹣1，3），若过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 10．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1 11．如图，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则（　　） A．k1＜k2＜k3＜k4 B．k2＜k1＜k3＜k4 C．k1＜k2＜k4＜k3 D．k2＜k1＜k4＜k3 12．已知实数x，y满足，且﹣2≤x≤3，则的取值范围（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．[﹣1，3] 13．已知直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），则下列各图形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 四．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 14．若直线l1：（m﹣2）x+3y+3＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m＝（　　） A．4 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或4 15．已知直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3 16．“m＝﹣4”是“直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 17．过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线的方程为（　　） A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝0 五．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 18．已知两条直线l1：4x﹣2y+5＝0和l2：6x+ay﹣7＝0，若l1⊥l2，则a＝（　　） A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣3 19．若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣3 20．已知平行四边形ABCD的顶点A（0，1），边AB所在直线方程是x﹣y+1＝0，对角线的交点为M（2，2），边CD所在直线方程为（　　） A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝0 21．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，动直线l2：（k+1）x﹣ky+k＝0（k∈R），则下列结论正确的为（　　） A．不存在k，使得l2的倾斜角为 B．对任意的k，l1与l2都不垂直 C．存在k，使得l1与l2重合 D．对任意的k，l1与l2都有公共点 六．直线的点斜式方程（共7小题） 22．直线l经过点，倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 23．已知直线l经过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 24．已知直线l过点（0，2），且与直线y＝2x﹣1垂直，则直线l的方程为（　　） A．2x+y﹣2＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．x﹣2y+4＝0 25．已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 26．若直线l的倾斜角是直线y＝x﹣3的倾斜角的两倍，且直线l经过点（2，4），则直线l的方程为（　　） A．y＝2x B．x＝4 C．x＝2 D．y＝2x﹣3 27．若直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则该直线的方程为（　　） A． B． C． D． 28．△ABC中，A（﹣5，0），B（3，2），C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（　　） A．x+4y+3＝0 B．4x+y+3＝0 C．x﹣4y+5＝0 D．4x﹣y+5＝0 七．直线的斜截式方程（共4小题） 29．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（　　） A．yx+3 B．yx﹣3 C．yx+3 D．yx﹣3 30．直线的倾斜角30°，过点（0，1），则直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 31．已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是 　 　 ． 32．若直线l在x轴上的截距为3，且l的一个法向量为，则l的方程为 　 　 ． 八．直线的两点式方程（共4小题） 33．下列说法正确的是（　　） A．当直线l1与l2的斜率k1，k2满足k1•k2＝﹣1时，两直线一定垂直 B．直线Ax+By+C＝0的斜率为 C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程 D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 34．直线l过点A（﹣1，1），B（2，4），则直线l的方程为（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣x+2 D．y＝x+2 35．经过两点（x1，y1）、（x2，y2）的直线方程都可以表示为（　　） A． B． C．（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D． （多选）36．下列结论正确的是（　　） A．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的直线方程为 B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1） C．若直线l过（3，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则l的方程为x+3y﹣6＝0 D．直线的倾斜角为 九．直线的截距式方程（共6小题） 37．直线在x轴的截距为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 38．过点（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x﹣2y＝0 C．x+y﹣3＝0或x﹣2y＝0 D．x+y﹣3＝0或x﹣y﹣1＝0 39．过A（1，4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 　 　 条． 40．若直线l过点（4，﹣2）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 　 　 ． 41．已知直线l：kx﹣y+3k+1＝0，（k∈R）． （1）证明：对任意实数k，直线l都经过一个定点； （2）若直线l在x轴、y轴上截距相等，求直线l的方程． 42．已知△ABC顶点A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3）． （1）求边BC上的高所在直线的方程； （2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程． 十．直线的一般式方程与直线的性质（共5小题） 43．△ABC的顶点A（4，3），AC边上的中线所在的直线为4x+13y﹣10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y﹣5＝0，求AC边所在直线的方程（　　） A．2x﹣3y+1＝0 B．x﹣8y+20＝0 C．3x﹣5y+3＝0 D．x﹣y+1＝0 44．已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x﹣y+4＝0，顶点D（0，﹣1），则顶点A的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（1，0） D．（2，0） 45．与点M（2，1）之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线是（　　） A．x＝4 B．3x﹣4y﹣12＝0 C．x＝4或3x﹣4y﹣12＝0 D．y＝4或3x﹣4y﹣12＝0 46．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（0，4），C（4，4），则△ABC欧拉线的方程为（　　） A．x+y﹣4＝0 B．x﹣y+4＝0 C．x+y+4＝0 D．x﹣y﹣4＝0 47．已知直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，则（　　） A．直线l的截距式方程为 B．直线l的截距式方程为 C．直线l的斜截式方程为 D．直线l的斜截式方程为 十一．直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题） 48．已知直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：（3a﹣5）x+（a﹣1）y﹣2＝0，则l1∥l2的充要条件的是（　　） A．a＝2 B．a＝3 C．a＝2或3 D．a＝4 十二．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题） 49．已知直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣4）x﹣5y﹣4＝0，则“a＝5”是“l1⊥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 十三．恒过定点的直线（共4小题） 50．直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0） 51．已知直线2x﹣my+m﹣2＝0恒过点P，则过点P并与直线x﹣2y+4＝0垂直的直线方程为（　　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x+y+1＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．2x﹣y+3＝0 （多选）52．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝3（0≤θ＜2π），则下列四个命题为真的是（　　） A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 53．设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为 　 　 ． 十四．与直线关于点、直线对称的直线方程（共7小题） 54．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣1，0），若将军从山脚下的点O（0，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 55．在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于（　　） A． B．4 C．5 D． 56．已知点A（2，4）关于直线l对称的点为B（﹣1，2），则直线l的方程为（　　） A．4x﹣6y+15＝0 B．6x+4y+15＝0 C．6x+4y﹣15＝0 D．4x﹣6y﹣15＝0 57．与直线2x﹣ay+1+a＝0关于x轴对称的直线的方程为（　　） A．2x+ay+1+a＝0 B．2x﹣ay﹣1+a＝0 C．2x+ay﹣1﹣a＝0 D．2x﹣y+l+a＝0 58．已知直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：x﹣my﹣2＝0交于点M，点M关于直线x﹣y＝0对称的点为N（a，b），则的取值范围是（　　） A．[﹣7，1] B．（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞） C．[﹣1，7] D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞） 59．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（　　） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x﹣y﹣8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x﹣6y+6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5 60．点P（3，0）关于直线l：2x﹣y﹣1＝0的对称点Q的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣3） D．（1，0） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$