精品解析：贵州省遵义航天高级中学2024—2025学年高一下学期学情段考（四）数学试题A

2024—2025学年（下）高一年级学情段考（四） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 20 2. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 4. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数（ ） A B. C. D. 1 6. 旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（ ）. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，以下说法正确的是（    ） A. 复数的虚部是 B. C. 在复平面内对应点在第一象限 D. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则是等腰直角三角形 B. 在中，若，则 C. 在锐角三角形中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若球O的体积为，则球O表面积也为36π B. 若球O半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍 C. 若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为 D. 棱长为a的正方体的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______． 13. 已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________. 14. 如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值. 17. 如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， （1）证明：； （2）求异面直线BD与PC所成角的余弦值； （3）在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 设、是两个不共线向量，如果，，. （1）求证：、、三点共线； （2）试确定的值，使和共线； （3）若、为单位向量，且、夹角的正弦值为，求的模. 19. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． （1）试将写成三角形式（辐角取主值）； （2）复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； （3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高一年级学情段考（四） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A B. C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的模的公式计算求解即可 【详解】因为复数，所以. 故选：B. 2. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项. 【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  对于函数，因为，所以是偶函数. 又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确.  对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误.  对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数. 但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  满足周期为的偶函数的函数是. 故选：B 3. 已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，，，则、平行或相交，A错； 对于B选项，若，，则、平行或相交，B错； 对于C选项，若，，则或，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 4. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合正切函数的性质，作出判断． 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 5. 在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据是边上的中点，是的中点，得到，再利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：因为是边上的中点，是的中点， 所以， 所以， ， 又因为， 所以，则， 故选：C 6. 旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先求出，再由余弦定理求解即可 【详解】由题意可知：， ，， 由余弦定理得 故选：C 7. 如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（ ）. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明平面，得证，即可确定异面直线所成角大小，再证明是平面与平面所成的二面角的平面角，求出其大小后可得结论． 【详解】面，面，则，同理，， 是正方形，则， 平面，所以平面， 又平面，所以，即异面直线与所成角的大小为，这时可确定只有选项A正确； 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 而，所以，即平面与平面所成的二面角大小为， 故选：A． 8. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，即，进而结合正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接圆的面积. 【详解】∵由余弦定理可得：， 又∵，可得， ∵，可得：，即， ∵，∴， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，即得：， ∴外接圆的面积， 故选：A. 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，属于中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，以下说法正确的是（    ） A. 复数的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由复数除法求得，再由复数的相关概念逐一判断各个选项即可得解. 【详解】由题意，复数的虚部是， 复数在复平面内对应的点为在第一象限，. 故选：ABCD. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则是等腰直角三角形 B. 在中，若，则 C. 在锐角三角形中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角关系，利用二倍角的正弦，结合正弦函数性质判断A；由正弦定理及三角形边角关系判断B；由，则，结合正弦函数性质C；利用余弦定理及已知确定△的形状判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得，即， 又，则或，则为等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理得，B正确； 对于C，锐角中，，则，，C正确； 对于D，由已知及余弦定理，得，则，即， 又，因此必是等边三角形，D正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若球O的体积为，则球O表面积也为36π B. 若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍 C. 若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为 D. 棱长为a的正方体的外接球半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用球体的体积公式和表面积公式即可判断AB，利用轴截面是等腰梯形的内切圆来求半径即可判断C，利用正方体外接球直径就是体对角线来判断D. 【详解】对于A，由球的体积公式得， 再由球的表面积公式得，故A正确； 对于B，由球的体积与半径成正比，所以半径变为原来的3倍，体积变为原来的27倍，故B错误； 对于C，由于球O为圆台的内切球，设内切球半径为，根据轴截面可知， 球O中最大圆为轴截面等腰梯形的内切圆，即等腰梯形的高为， 根据圆台上下底面半径分别为1和3，可知等腰梯形的上下底边长分别是2和6， 即由勾股定理可得腰长为， 再利用等面积法，则有， 解得：，故C正确； 对于D，棱长为a的正方体的外接球直径等于体对角线长，即， 故半径为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】第50百分位数为数据的中位数，即得. 【详解】数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是3. 故答案为：3 13. 已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求底面等边三角形的外接圆半径，结合正三棱柱的结构特征求半径和体积. 【详解】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径， 则外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 14. 如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹组成的图形为，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 分别连结， 因为，可得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由且，可得， 又由且，所以， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因此点的轨迹组成的图形为， 在等腰三角形中，， 可得底边上的高为， 所以面积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为 （2）四边形周长的取值范围为（米） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）在中，利用余弦定理，结合基本不等式求得的范围，求得四边形的取值范围. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 即，故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R，故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． 【小问2详解】 因为A，B，C，D四点共圆，，所以， 在，由余弦定理可得，， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，又，又，， 所以四边形周长的取值范围为（米）． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值. 【答案】（1），单调减区间为. （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解； （3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. 【小问3详解】 由函数，可得， 因为， 所以 . 17. 如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， （1）证明：； （2）求异面直线BD与PC所成角的余弦值； （3）在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【小问1详解】 连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ．    18. 设、是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：、、三点共线； （2）试确定的值，使和共线； （3）若、为单位向量，且、夹角的正弦值为，求的模. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出即可得出，从而得证； （2）首先化简和，依题意可得，根据平面向量共线定理及基本定理计算可得； （3）根据平面向量线性运算得到，设、的夹角为，则，即可求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又、是两个不共线的向量，且，即， 又、有公共点，所以、、三点共线； 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 又和共线， 所以， 即， 又、是两个不共线的向量， 所以，显然，则， 解得. 【小问3详解】 因为，，， 所以， 所以， 又、为单位向量，且、夹角的正弦值为， 设、的夹角为，则，又，所以， 当时， ， 当时， . 即的模为或. 19. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． （1）试将写成三角形式（辐角取主值）； （2）复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； （3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 小问1详解】 由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 . . 【小问3详解】 设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $