12.2 第4课时 边边边-【指南针·课堂优化】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

搞南针·八年纸上膏·数学(HS》 第④课时 边边边 窗课前优学 如果两个 ,那么 (简记为“SSS”或“边边边”). 注：(1)“SSS”定理只适用于证明三角形全等，并 不是对应边相等的所有图形都全等； (2)“SSS”反映了当三角形的三边长度确定了，则 三角形的 也随之确定了. 多雾课堂精讲 知识点1边边边公理的直接应用 例1(2021·云南)如图，在四边形ABCD中，AD= BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证： ∠DAC=∠CBD. 趣律和方法 证明三角形全等是证明线段相等或角相等的重 要方法，在运用“SSS”定理时，公共边不能忽视 o⊙t⊙*⊙4⊙⊙t⊙t⊙*⊙t⊙*⊙o⊙OtGt0t⊙⊙O⊙t⊙*⊙ 之即学即练 1.(2021·盐城)工人师傅常常利用角尺构造全等三角 形的方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边 QA,OB上分别在取OC=OD,移动角尺，使角尺两 边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点 M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等 三角形的依据是 ( A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 2.如图，在△ABC中，已知AD=ED,AB=EB,∠A= 80°，则∠1+∠C的度数是 (第1题图) (第2题图) .8 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE=CE, 试猜想DE与AB的位置关系，并说明理由. 知识点2边边边定理与其他判别方法的综合应用 例2如图，AB与CD相交于点O,M,N在AB上， 且AC=BD,AM=BN,DM=CN,求证：AB与CD互 相平分. 规律和方法 证明线段或角相等，常用的方法是证明这两个 角或者两条线段所在的三角形全等」 年CC中2+@年@04来4404@+ 之即学即练 4.如图，CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB 的中点，若DM=5cm,则DN长为 () A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 5.如图，AB=CD,AD=BC,O为DB的中点，过点 O作直线与DA、BC的延长线交于点E、F.求证： OE=OF. ·8 第十二章金黄三角形 警课外精练 A组·基础过关 一、选择题 1.如图，点E、F在直线AC上，AE=CF,AD=BC, 要使△ADF≌△CBE,还需要添加一个条件，给出 下列条件：①∠A=∠C:②BE=DF:③BE∥DF; ④AD∥BC,其中符合要求的是 () A.①②③ B.①③④C.②③④D.①②④ (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB=AD,CB=CD,∠B=30°，∠BAD= 46°，则∠ACD的度数是 A.120° B.125° C.127° D.104 3.如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若 AB=DE,BC=AE,∠E=115°，则∠BAE的度 数为 A.115 B.1209 C.125° D.130° (第3题图) (第4题困) 4.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上， 边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED, BC=BE,则∠ACB等于 A.∠EDB B.∠BED C∠AFB D.2∠ABF 二、填空题 5.如图，AB=DE,AC=DF,BF=CE (1)若BC=18cm,则FE的长度为 (2)若∠B=50°，∠D=70°，则∠DFE= 6.如图，AB=AC,BD=DC,若∠B=28°，则∠C= (第5题图) (第6题图) 指南针·八年纸上膏·数晕(HS) 7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD, 对角线AC,BD相交于点O,下列结论中： ①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分； ③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角； ④四边形ABCD的面积S=号AC·BD 正确的是 (填写所有正确结论的序号) 8.如图，已知AB=CD,AD=CB,O为BD上任意 一点，过点O的直线分别交AD、CB于点E、F 若∠DBC=30°，∠BOF=80°，则∠DEF= (第7题图) (第8题图) 三、解答题 9.(2023·衢州)已知：如图，在△ABC和△DEF中， B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件： ①AB=DE:②AC=DF:③BE=CF; ④∠ABC=∠DEF (1)请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF (2)在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF ·8 10.如图，已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,点 F是CD的中点.求证：AF⊥CD. F D 1L.如图，已知：AB=AC,点D,E分别在AB,AC 上，且BD=CE,BE交CD于点F,连结AF,求 证：△ADF≌△AEF. 8 B组·能力提升 12.平面上有△ACD与 △BCE,其中AD与 BE相交于P点，如 图，若AC=BC,AD BE,CD=CE,∠ACE=55°，∠BCD=155°，则 ∠BPD的度数为 () A.110°B.125 C.130 D.155 13.已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B、D、E 三点在同一条直线上， (1)如图1，点B在线段DE上，求证：∠DAE=∠BAC (2)如图2，点B在线段ED的延长线上，请写出 ∠ADE与∠AEC之间的数量关系并写出 理由； (3)如图3，若点B在线段DE的延长线上，请写 出∠ADE与∠AEC之间的数量关系并写 出理由 ·8 第十二章金景三角形 第⑤课时斜边直角边 课前优学 1斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的 和 分别相等，那么这两个三 角形全等，简记为 2.应用格式：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， (AB-=AB' BC=B'C' ,.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 3.用斜边、直角边定理判定三角形全等必须写明 在Rt△中，直角三角形全等也可用 判定 多男课堂精讲 知识点1利用“HL”定理证线段或角相等 例1已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直 线的距离相等，且OB=OC (1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC: (2)如图2，若点O在△ABC的内部，上述结论 成立吗？ 规律和方法 证明线段相等，角相等，往往是通过证明三角 形全等得到，要注意“HL”这一判定方法必须 在直角三角形中才能使用指南什·入年氨上哥·数学参考答案《Hs】 号∠C=∠D1=r 麦酸调适七象薄三角思中的中点处理恒巧 i∠L-∠Dr=DE∠DC. AF+T=E中日，翠E=食△A1g和凸T中， ∠A=∠L△74s1.证=TD∠nL接w #∠HLH∠CAE 1211 [An- ∠D=∠E 1=1MM为候的中点.= 在△1Dm△E中.∠nAD-∠A A网事 /C,在B球有8口下中，∠在=∠C ,色Wg M■ LADSAE D:△U2△球，二A=在△A程△4中 LAD-C ∠r∠ ∴nD△51..的=军 AHs了d AA5:T=:1—F1=Tf ionsr ”，1m程 ∠ACm∠a3A-△ADA18, 批格图文于点F,变工于点， -C 在△1△F，《AF=AF,△AF正F sLAE,1D⊥AC,∠EB∠D✉/ AOOAB-IPC ∠为=∠CB4中8三 F-E ∠EAD+=+∠AN=∠AC+C=T UD142 11 B∠LW=∠F-, ∠r=∠U山在△D剩△AN中， ∠AD=∠AN, CD过4各作M平行∠A少空AN子真M.的N平合∠A 1I解：∠A家中∠A位=1，理传即事在△，A山m色T 由=N 江中1以3岸末/件减一弹笔株 4用年分肉4.。/A11》=47,2A月 14IM满路Wr山W1 ◆，AD=6,△AB它AE61,4∠A移=∠AE1证则：是或n事F工E突球的圆长线下直F,进直C作西⊥ U 第3溪时角边用 ∠1r=CN E十A《刷∠F=∠CE。在6gEe△E △中 =1,∠+∠a 速常位平L消角丸诗号工有角 一角前球诗AAS )师：∠BE=∠，廉电年平（在△用程CAC中. ∠=∠E,i择Ea0As, 44 深空精法鳞1址请隐 f=.3N=减 p-u Fr￥ A存=【 在A周和△中，∠Anm∠： 山一有 F,0ABFu中，∠F=∠1xE= 2411国e14,29a 第5课时叶盗直具边 .W All-A NA件十M级.品成=【，十 速蜜精储例11证城略.的或文.理自席 4证雨：过或在马防B交F的罐聚线F点.：∠D ,C75=一》m4 雾4课时连线进 m学那库1.工D 镇的长为+， ∠C=∠ CC-Z ∠工AD=∠原直和△：P.(C=n 例望证明，在&样△A中，：南山，△AC四像变陆拼铜1减路. 期消高，：∠A=F优=山U二△FHE为0△在 了A 单即雄1D未8aA群，所1AB,理由如下，速情A优在 AD-AC 中点，D=1,,=h2∠1=43T ∠枫-∠图 △E与△比中，E-法，立W口△4r(5s,△FHE <F.,÷∠A=∠R套AA有RE中， △4】9转 ..6a4415A4 4E题A = ∠好.AD上有A ETKa-∠△@△n45 ∠F,=∠下IA六BFQLARFIXAS. m二 解2M聘，AM=VAuN=目y一y图有=A即学期线4据题 i∠i=∠f山电，∠AtE=∠f AC和△M中，·〈AV从，-△A园△5)象证明A-度.云C十平=F十平.再AF=球 专慧调人拿等三角私中恒酸和紫处理性巧 Capu 象谓.：∠AC■w,∠+∠AF=广，gA, 学一∠I不-6T△D成方6，在地△T41雨据长FAP相交于在F,巴A, ∠A∠市在△用△心中 1h,∠B=∠T=,∠HE+∠1=r 到为乙：和∠m的平#找， ∠A-∠E4 tCD·OPmAEI. ·品△￥△MnA 3.∠F=∠，在△家中（∠C=I, A∠B ∠U∠ ∴∠A=∠直张△与B中， ∠A=山 ∠=，·∠w ∠AF品日 = AF2△,AF=nE 六C入口=(mB与护车相平冷 cnp △A温△A拉A),出=A,=E暴M△学 △Ek.·F=,AB=AF=AD+F=AD+a 月=A 用：U,4F分酬是两十纯角T用色Ag的高 D十在=A E,在AAD有AE中 T 品△A△军AAU,△AF高为数△. 2证满：，是△消间：∠EMm∠E 项边绿 a70A的.D=主， 已作下件是0 lADAg ∠D1E∠2+∠BE,博 mAAw204nL门- /A=∠1C=4F,OAm:=CAr= =产。 C+=F+.那度= 在制△g中，一 4,∠Mm1CM4A@AT队王 1》=AF UMVE ∠W=4N 在△，A:花△F中，度= 地-TD桥一F.厚风银 A则∠Cw=∠4=∠=.Ag i∠-0∠1+∠∠2十∠A= I'DF 1家226程不 1词1 ∠=名(1证进一（载长法：用.在线量AE上腹数 4证明：t①四的C∠P47,-△AP.△为A YU0 有连样灯定时， ∠3=∠4∠∠B 合3h1A115,期6M上242=+d4Y 年 在△柱E△A0中 ◆D:和△r23gn.AD-0,公笔 0a24F ∠=∠A 长P文”tE,F数△当金△W六∠P= 41》,。,,年，440+41 ∠A=∠A用= 在△A相I口中，A雀-∠F ∠(，∠中十∠D=，∠D十∠D1- 110 ∠AAP⊥1∠A=，AD= ∠m14∠14a,号TM∠a” .=4， 区通略 二2W=∠1=4∠Pm=∠M=时， AWFI 4了11。 m,W∠D1W=/解N=4,0■，，=W+ ∠1=∠2，i心A业企1h,i∠1=∠生￥s2 C-AD+e 35 36