第5章 走进几何世界（知识清单）数学苏科版2024七年级上册

第五章 走进几何世界 知识点1：基本几何体及其分类 1.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. 2.常见的基本几何体的分类方法： 3.平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 4. 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等． 知识点2：几何体的构成 1. 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体； 2. 面分成平面和曲面两种； 3. 面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种； 4. 线和线相交的地方形成点. 5. 从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 知识点3：棱柱与棱锥的特征 几何体 棱柱 棱锥 图示 相关概念 棱 两面相交 顶点 棱与棱相交 面 分为底面和侧面 其它特征 侧棱长度相等； 上下底面完全相同，且平行； 棱锥的的侧面都是三角形 棱柱、棱锥中顶点数、面数、棱数的数量关系： 顶点数+面数-棱数=2 知识点4：点、线、面、体的关系 1.用运动的观点看点，线，面，体的关系： 知识点5：图形的基本运动方式 1. 图形的运动方式有三种基本的方式：平移、翻折（轴对称）、旋转。 2. 图形的翻折：将平面内一个图形沿着某条直线对折，得到一个与原图形完全相同的图形，这种图形的运动叫做翻折或轴对称。 3. 图形的平移：在平面内，一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这种图形运动的方式叫做平移。 4. 图形的旋转：将平面内一个图形绕着一个定点（或定直线）沿着某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 5. 运动方式 平移 翻折 旋转 决定条件 方向+距离 定直线位置 定点+方向+角度 知识点6：正方体的平面展开图 1.平面展开图：有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为几何体的平面展开图。 2.正方体的11种展开图： 知识点7：常见几何体的平面展开图 圆柱 圆锥 棱柱 棱锥 表面展开图 两个圆和一个长方形 一个扇形和一个圆 两个相同的多边形和一些长方形 一个多边形和几个三角形 侧面展开图 长方形 扇形 长方形 几个三角形 例子 易错点1 正方体的展开图分“有盖”和“无盖” 错误：认为“正方体的展开图11种”． 注意：正方体的展开图要分情况看，正常有盖正方体的展开图是11种，很多时候会考查无盖正方体的展开图就不是11种了而是8种，因为从11种展开图中的每一种都去掉一个正方形的面之后，得到的展开图会有个别会重复． 例题1 下面图形沿虚线不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开图相关知识，判断给定图形是否符合正方体展开图的特征，进而确定能否围成正方体，核心在于对正方体展开图结构特点的理解和识别． 正方体展开图有 11 种不同的形式，可以通过对这些形式的了解来判断给定的图形能否围成正方体． 【详解】A选项：图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠，可以发现能够围成一个正方体； B选项：图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠，可以发现能够围成一个正方体； C选项：经过观察可以发现，它不符合正方体展开图的 11 种形式，无论怎样尝试折叠，都无法围成一个完整的正方体； D选项图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠（想象或动手操作），可以发现能够围成一个正方体； 故选：C． 例题2 如图，将一个无盖正方体纸盒沿图中用粗线标记的棱剪开，则它的展开图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是数形结合．根据无盖可知展开图有个正方形组成，由裁剪标记可得有面在同一行，另外一个面位于第二或第三个正方形的一侧，据此即可求解． 【详解】解：一个无盖正方体纸盒沿图中用粗线标记的棱剪开，则它的展开图为 ， 故选：C． 易错点2 几何体的展开图与侧面展开图的区别 错误：认为“几何体的展开图与侧面展开图相同”． 注意：几何体的展开图是所有的面展开成平面后的样子，即通常所说的表面展开图，而侧面展开图不包含底面． 例如：圆锥的展开图是图1，圆锥的侧面展开图为图2 图1 图2 例题3 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 例题4 如图，沿图中的虚线将该圆柱的侧面剪开并展平，得到的圆柱的侧面展开图是（   ） A．三角形 B．矩形 C．扇形 D．圆形 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图，熟练掌握圆柱的侧面展开图是解题的关键； 直接根据圆柱的特征进行求解，即可解答． 【详解】解：沿图中的虚线将该圆柱的侧面剪开并展平，得到的圆柱的侧面展开图是矩形． 故选B． 例题4 “堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱（如下图所示）．最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．下列选项中是“堑堵”的侧面展开图是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】此题考查了棱柱的侧面展开图．根据直三棱柱的侧面展开图形状进行解答即可． 【详解】 解：根据题意可得，“堑堵”的侧面展开图是， 故选：B 易错点3 长方形绕着长和宽旋转后形成几何体体积大小比较 错误：认为“长方形绕着长和宽旋转后形成的几何体“高”的一定大”． 注意：绕着长方形的长和宽分别旋转后，形成的两个圆柱体的体积计算后比较可以发现：（） 绕着旋转得到的几何体体积： 绕着旋转得到的几何体体积： 显然 同样的办法，我们也可以计算比较一下它们的表面积： 例题5 已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【答案】(1)，，，b (2)这两个圆柱的侧面积相等 【知识点】几何体中的点、棱、面、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． （1）根据图作答即可； （2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可． 【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是，高是；圆柱②的底面直径是，高是b． 故答案为：，，，b． （2）解：圆柱①的侧面积是；圆柱②的侧面积是， ∴这两个圆柱的侧面积相等． 例题5 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆锥；圆柱；面动成体 (2)小红的说法正确，理由见解析 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体： （1）由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆锥；圆柱；面动成体； （2）解：小红的说法正确，理由如下： 甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴小红的说法正确． 1．如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐一减掉验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，去掉小正方形①，如图： ∴可折成一个小正方体，故①不符合题意； 去掉小正方形②，如图： ∴可折成一个小正方体，故②不符合题意； 去掉小正方形③，如图： ∴可折成一个小正方体，故③不符合题意； 去掉小正方形④，如图： ∴不能折成一个小正方体，故④符合题意； 故选：D． 2．下列各图中，经过折叠可以得到正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟记正方体的11种展开图，是解题的关键． 【详解】解：A、B折叠后会重叠一个面，不可以折叠成正方体， C有“田”字格，不能折成正方体； D符合“33”型，能折叠成正方体， 故选：D． 3．如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：此收纳盒的展开图是：    故选：B． 4．将一个无盖正方体纸盒沿着某些棱剪开，得到的展开图，下列是无盖正方体纸盒展开图的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查的是正方体的展开图，根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项B、C均不符合题意， A、有重叠部分，不符合题意； 选项D符合题意， 故选：D． 5．如图是某一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查几何体的展开图．根据几何体的侧面展开图是三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】解：∵三棱柱的侧面展开图是三个矩形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 6．圆柱的侧面展开图不可能出现的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解题关键．由圆柱的侧面展开图的特征即可得解． 【详解】解：将圆柱的侧面沿高剪开，可以得到长方形或正方形， 将圆柱的侧面斜着剪开，可以得到平行四边形， 即圆柱的侧面展开后不可能得到的图形是梯形， 故选：D． 7．如图，这是一个几何体的平面展开图，这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了棱柱的平面展开图，熟练掌握常见几何体的结构特征是解题关键． 由中间的个矩形可以断定是柱形，再由上下的两个三角形可以判断是三棱柱，据此即可求解． 【详解】解：由中间的个矩形和上下的个三角形可以判断是三棱柱， 故选：A． 8．如图是某一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．圆锥 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据表面展开图中有1个扇形，1个圆，由此即可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：观察图形，可知表面展开图中有1个扇形，1个圆， ∴该几何体是圆锥， 故选：D． 9．如图，能围成圆锥的平面展开图是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】题目主要考查基本几何体的展开图，根据圆锥，三棱柱，圆柱体以及正方体的表面展开图的特征求解即可． 【详解】解：．能围成圆锥，故该选项符合题意； ．能围成三棱柱，故该选项不符合题意； ．能围成圆柱体，故该选项不符合题意； ．能围成正方体，故该选项不符合题意； 故选：A． 10．如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． (1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】(1)圆柱体，面动成体 (2)方案一得到的圆柱的体积大 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的体积 【分析】本题考查点，线，面，体，圆柱体积计算，解题的关键是掌握长方形旋转可得圆柱体． （1）根据面动成体解答即可； （2）先分别求出所得几何体的体积再比较大小即可． 【详解】（1）解：长方形旋转可以得到圆柱， 上述操作能形成的几何体是圆柱，说明的事实是：面动成体． 故答案为：圆柱体，面动成体 （2）解：方案一：， 方案二：， ， 方案一构造的圆柱体的体积大． 11．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 【答案】(1)①，②，③ (2)题图①中几何体的体积为；题图②中几何体的体积为． 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握三角形旋转得到圆锥，是解题关键． （1）根据三角形旋转是圆锥，可得几何体； （2）根据圆锥的体积公式计算可得答案． 【详解】（1）解：绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图①；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图②；绕的边所在的直线旋转一周③， 故答案为：①，②，③ （2）解：题图①中几何体的体积为：； 题图②中几何体的体积为：． 12．如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小即可. 【详解】解：图3中圆锥的体积更大． 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴， ∴图③中圆锥的体积更大． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 走进几何世界 知识点1：基本几何体及其分类 1.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. 2.常见的基本几何体的分类方法： 3.平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 4. 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等． 知识点2：几何体的构成 1. 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体； 2. 面分成 和 两种； 3. 面和面相交的地方形成 ，线也分为 和 两种； 4. 线和线相交的地方形成 . 5. 从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看： 动成 ， 动成 ， 动成 . 知识点3：棱柱与棱锥的特征 几何体 棱柱 棱锥 图示 相关概念 棱 两面相交 顶点 棱与棱相交 面 分为底面和侧面 其它特征 侧棱长度相等； 上下底面完全相同，且平行； 棱锥的的侧面都是三角形 棱柱、棱锥中顶点数、面数、棱数的数量关系： + - = 知识点4：点、线、面、体的关系 1.用运动的观点看点，线，面，体的关系： 知识点5：图形的基本运动方式 1. 图形的运动方式有三种基本的方式： 、 、 。 2. 图形的翻折：将平面内一个图形沿着某条直线对折，得到一个与原图形完全相同的图形，这种图形的运动叫做翻折或轴对称。 3. 图形的平移：在平面内，一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这种图形运动的方式叫做平移。 4. 图形的旋转：将平面内一个图形绕着一个定点（或定直线）沿着某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 5. 运动方式 平移 翻折 旋转 决定条件 方向+距离 定直线位置 定点+方向+角度 知识点6：正方体的平面展开图 1.平面展开图：有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为几何体的平面展开图。 2.正方体的11种展开图： 知识点7：常见几何体的平面展开图 圆柱 圆锥 棱柱 棱锥 表面展开图 两个圆和一个长方形 一个扇形和一个圆 两个相同的多边形和一些长方形 一个多边形和几个三角形 侧面展开图 长方形 扇形 长方形 几个三角形 例子 易错点1 正方体的展开图分“有盖”和“无盖” 错误：认为“正方体的展开图11种”． 注意：正方体的展开图要分情况看，正常有盖正方体的展开图是11种，很多时候会考查无盖正方体的展开图就不是11种了而是8种，因为从11种展开图中的每一种都去掉一个正方形的面之后，得到的展开图会有个别会重复． 例题1 下面图形沿虚线不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 例题2 如图，将一个无盖正方体纸盒沿图中用粗线标记的棱剪开，则它的展开图为（    ） A． B． C． D． 易错点2 几何体的展开图与侧面展开图的区别 错误：认为“几何体的展开图与侧面展开图相同”． 注意：几何体的展开图是所有的面展开成平面后的样子，即通常所说的表面展开图，而侧面展开图不包含底面． 例如：圆锥的展开图是图1，圆锥的侧面展开图为图2 图1 图2 例题3 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（   ） A．B．C． D． 例题4 如图，沿图中的虚线将该圆柱的侧面剪开并展平，得到的圆柱的侧面展开图是（   ） A．三角形 B．矩形 C．扇形 D．圆形 例题4 “堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱（如下图所示）．最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．下列选项中是“堑堵”的侧面展开图是（   ） A．B． C． D． 易错点3 长方形绕着长和宽旋转后形成几何体体积大小比较 错误：认为“长方形绕着长和宽旋转后形成的几何体“高”的一定大”． 注意：绕着长方形的长和宽分别旋转后，形成的两个圆柱体的体积计算后比较可以发现：（） 绕着旋转得到的几何体体积： 绕着旋转得到的几何体体积： 显然 同样的办法，我们也可以计算比较一下它们的表面积： 例题5 已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 例题5 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 1．如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．下列各图中，经过折叠可以得到正方体的是（   ） A．B．C． D． 3．如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ） A．  B．  C．   D．   4．将一个无盖正方体纸盒沿着某些棱剪开，得到的展开图，下列是无盖正方体纸盒展开图的是（    ） A．B．C． D． 5．如图是某一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 6．圆柱的侧面展开图不可能出现的图形是（    ） A． B． C． D． 7．如图，这是一个几何体的平面展开图，这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 8．如图是某一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．圆锥 9．如图，能围成圆锥的平面展开图是（   ） A．B．C． D． 10．如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． (1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 11．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 12．如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$