2.2-2.4等腰三角形的性质与判定（3知识点+7题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册浙教版（2024）

第2章 特殊三角形 2.2-2.4等腰三角形 等腰三角形的性质定理，等腰三角形的判定定理 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质定理和判定定理。​ . 能运用等腰三角形的性质定理和判定定理进行简单的推理、计算和证明。 . . . 一：等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 二：等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 三：等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 考点一： 等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分两种情况讨论：为底边或腰长，结合三角形三边关系判断是否成立． 【详解】解：①当为底边时： 腰长为． 此时三边为、、，满足三角形三边关系（），成立． ② 当为腰长时： 底边长为． 此时三边为、、，但，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 综上，腰长只能为， 故选：B． 2．若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 3．如图所示的图形是由一张纸对折后（两部分完全重合）得到的，展开折纸，可能得到（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．长方形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了图形的折叠、折叠的性质、等腰三角形，熟练掌握图形的折叠是解题关键．根据图形的折叠画出可能得到的图形，由此即可得． 【详解】解：由题意，可能得到的图形如下：它们均是轴对称图形，折痕是它的对称轴． 则可能得到等腰三角形和四边形， 故选：A． 4．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 考点二：等边对等角 5．某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（    ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增大，则减小， 故选：A． 6．小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】解：如图所示： 有两种情况： 当顶角时 当底角是时， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 7．等腰三角形有一个角等于，则它的底角是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理．分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为； 综上所述，它的底角是或， 故选：A． 8．若等腰三角形的一个外角为，则其底角度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了外角，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 等腰三角形的一个外角为，需分情况讨论该外角对应的是顶角还是底角的外角，进而求出底角的度数． 【详解】解：当顶角的外角为时， ∴顶角为， ∴等腰三角形两底角之和为：， ∵等腰三角形两底角相等， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为， ∴等腰三角形的底角为：； 综上，底角可能为或， 故选：C． 考点三. 三线合一 9．如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 10．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 11．一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由等腰三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，即得，即可得，得到，利用中线性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选C． 考点四.等腰三角形的判定 13．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 14．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 15．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 16．如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 考点五.等腰三角形的性质 17．如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 18．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 19．如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分， ∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分， ， ∵， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 20．如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据角平分线的定义可得的度数，可判断A；证明是等腰直角三角形，可得，可证明，再证明，可得，可判断B；证明是等腰三角形，可判断C；根据，可得，过点G作于点M，利用角平分线的性质可得，可证明，可得，从而得到，可判断D． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，即， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是等腰直角三角形，H是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 如图，过点G作于点M， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选错误，符合题意； 故选：D 考点六.格点中画等腰三角形 21．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 22．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 23．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 24．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 考点七.尺规作等腰三角形 25．已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】解：如图，等腰即为所作： 26．已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，过直线上一点作直线的垂线，作线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：如图，即为所求； 理由：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求. 27．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作线段的垂直平分线、作两条线段相等等知识，先作线段，再作的垂直平分线，垂足为点，在垂直平分线上截取，即可作出等腰．解决此类题目的关键是熟悉五类基本尺规作图，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图所示： 等腰即为所求． 一、单选题 1．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据题意可得，，然后证明出，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 由折叠得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴一定是等腰三角形． 故选：B． 2．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形两边之和大于第三边进行验证． 【详解】等腰三角形的两边长为3和7，可能有两种情况： 当腰长为3，底边为7时， 此时三边为3、3、7． ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； 当腰长为7，底边为3时， 此时三边为7、7、3， ∵， ∴可构成三角形， ∴周长为． 故选：D． 3．一个三角形的两个内角分别是和，它是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出第三个角的度数，再根据角度判断三角形的形状． 【详解】解：已知三角形的两个内角分别为和，根据三角形内角和为180°，第三个角为：， 因此，三角形的三个内角分别为、和．其中有两个角均为，根据“等角对等边”，该三角形有两条边相等，故为等腰三角形， 故选：A． 4．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 5．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 7．如图，已知直线，直线分别交直线于点，射线平分交于点，有下列四个式子： （1）； （2）； （3），（4）．其中不正确的是（    ） A．（1）    B．（2）     C．（3）     D．（4） 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边等知识．根据平行线的性质即可判断（1）（2），根据角平分线的定义、等角对等边即可判断（3），无法判断（4），即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴；； 故（1）（2）正确； ∵射线平分交于点， ∴， ∵， ∴； ∴， 故③正确； 无法证明，故（4）不正确； 故选：D 8．如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质．根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项 A ；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项D，C；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ，则选项A正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴，则选项 D正确； ∵， ∴，则选项C正确； 假设， ， 又 ∵， ∴与矛盾， 则假设不成立，选项B错误； 故选：B． 9．如图，，E、F分别是、上的点，，将沿折叠，边与交于点G，．下列4个结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质． ①利用等角的余角相等证明即可； ②分别证明，即可； ③利用平行线的性质证明即可； ④求出，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴平分，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 10．如图，在中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用；设运动的时间为秒，则有，，由，列方程即可求解；根据等腰三角形的定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有，， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：； 故选：B． 2、 填空题 11．已知等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角的度数分别是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 12．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等， ①当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，其三角形的周长为：； ②当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，三角形的周长为：； 故答案为：或． 13．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接得出，，得到，当在同一条直线上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ， ，， ∴， ∵为定值，两点之间线段最短， ∴当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小， ，点是的中点， ， ∴， ∴． 故答案为： ． 14．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 15．如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：11． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 2.2-2.4等腰三角形 等腰三角形的性质定理，等腰三角形的判定定理 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质定理和判定定理。​ . 能运用等腰三角形的性质定理和判定定理进行简单的推理、计算和证明。 . . . 一：等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 二：等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 三：等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 考点一： 等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（   ） A． B． C． D．或 2．若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 3．如图所示的图形是由一张纸对折后（两部分完全重合）得到的，展开折纸，可能得到（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．长方形 D．正方形 4．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 考点二：等边对等角 5．某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（    ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 6．小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．或 7．等腰三角形有一个角等于，则它的底角是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．若等腰三角形的一个外角为，则其底角度数为（    ） A． B． C．或 D． 考点三. 三线合一 9．如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 10．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 11．一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 考点四.等腰三角形的判定 13．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 14．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 15．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 考点五.等腰三角形的性质 17．如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 18．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 19．如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 考点六.格点中画等腰三角形 21．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 22．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 24．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点七.尺规作等腰三角形 25．已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 26．已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 27．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 一、单选题 1．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 3．一个三角形的两个内角分别是和，它是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 5．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线，直线分别交直线于点，射线平分交于点，有下列四个式子： （1）； （2）； （3），（4）．其中不正确的是（    ） A．（1）    B．（2）     C．（3）     D．（4） 8．如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，E、F分别是、上的点，，将沿折叠，边与交于点G，．下列4个结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图，在中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 2、 填空题 11．已知等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角的度数分别是 ． 12．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 13．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为 ． 14．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 15．如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$