第2章 对称图形——圆（单元测试·提升卷）数学苏科版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 2．如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 4．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 6．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知的半径为4，，则点A在 （填“内”、“上”或“外”）． 8．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 9．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是 ． 10．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 11．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 12．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    13．如图所示，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，则的长 ．（结果保留） 14．如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为 ． 15．如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 16．如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， °，线段长度的最大值是 cm． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 18．如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 19．如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 20．如图，在中，，，点D在BC边上，⨀D经过点A和点B且与BC边相交于点E． (1)求证：AC是⨀D的切线； (2)若，求⨀D的半径． 21．如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 23．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 24．如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 25．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 26．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______． 27．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 2．如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长． 【详解】解：作于H，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 4．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 5．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 6．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知的半径为4，，则点A在 （填“内”、“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点A在外， 故答案为：外． 8．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，由题意可求到y轴的距离d为3，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴到y轴的距离d为3， ∵， ∴y轴与相交， 故答案为：相交． 9．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的全面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：，其中是底面半径，是母线长． 根据圆锥的全面积等于圆锥的底面圆的面积与圆锥的侧面积之和即可得． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的底面圆的面积为， 这个圆锥的侧面积为， 则这个圆锥的全面积为， 故答案为：． 10．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 12．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【答案】/54度 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 13．如图所示，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，则的长 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，弧长公式，尺规作线段，等边三角形的性质和判定， 先根据平行四边形的性质得，再根据尺规作图可得，进而得出是等边三角形，然后根据弧长公式可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据为的直径，以及为的中点，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15．如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接所对的弦是直径，弧、弦与圆周角的关系，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意得出在以为直径的圆上，进而根据得出则，然后根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， °，线段长度的最大值是 cm． 【答案】 90 14 【分析】因为和都是等腰直角三角形，可证，所以，又因为，根据三角形内角和定理可得．点F在以为直径的圆上运动，且弦位于下方；D、E在以C为圆心，长为半径的运动，当与相切时，最大；易得四边形是正方形，从而由勾股定理可求得，则由可求得的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设交于点O， ∵，， ∴． ∴点F在以为直径的圆上运动； ∵， ∴； ∵， ∴弦在直径的下方，如图； ∵D、E在以C为圆心，长为半径的运动， 当与相切时，最大； 则， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：90；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 18．如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定与性在，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，结合等腰三角形的性质推出，由已知，即可求解； （2）由题意求出，，由直角三角形的性质可得，则，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ； （2）解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴． 19．如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）取圆与格线的交点D，连接，然后作的垂直平分线交于点O，即可； （2）连接并延长交圆于，连接，，，由圆的对称性与圆周角定理可得四边形为矩形，取，与格线的交点，可得四边形，为平行四边形，连接，交于点，连接并延长交圆O于点S，则由中位线的性质可得，可得，可得是的中点，取圆与格线的交点，连接并延长交格线于，连接交于，则四边形为平行四边形，可得，则，连接，则． 【详解】（1）解：如图，点O，点D即为所求； ； 理由如下： ∵， ∴为直径， ∴弦的垂直平分线与的交点为圆心， 连接， ∴， ∴； （2）解：如图，点E即为所求． 理由如下：由作图可得：为直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴为的中点； 如图，弦即为所求， 理由如下： 由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置，圆周角定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 20．如图，在中，，，点D在BC边上，⨀D经过点A和点B且与BC边相交于点E． (1)求证：AC是⨀D的切线； (2)若，求⨀D的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆的半径的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质．通过连接圆心与圆上一点构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出相关角度；利用等边三角形的性质，由角相等可得边相等． （1）由可得为等腰三角形，再由圆的半径相等可得为等腰三角形，即，由可求解的度数，由切线定理即可证明． （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解，即得为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径． 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， ， 所以的半径为． 21．如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．解题的关键是构造辅助线，利用圆的性质和全等相似三角形的性质，逐步推导出所需证明的结论． （1）连接，证，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出即可求解； （2）延长交于点，连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，所以，设，则．在中，，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接，． ，，， ， ， ． ， ， ；    （2）延长交于点，连接， ， ， ， ．设，则． 在中，， ， 或（舍）， ， ．    22．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 在和中， ， ． 又于点，于点，即分别是边上的高， ． （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 23．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，设该圆弧所在圆的半径为，得出垂直平分．在中，勾股定理建立方程，求得，即可求解； （2）连接，设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．射线与，分别相交于点，，则．证明得出，进而求得从而应向右平移的最大值为，即可求解． 【详解】（1）如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧， 设该圆弧所在圆的半径为， 依题意，得，在中， ， 垂直平分． ． 在中，， 即， 解得或（负值舍去）． 即秋千的长度为． （2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点． 射线与，分别相交于点，，则． 又， 与均为等腰直角三角形． ，． 当时，， 连接，又，， 又，， ． ． 而， ． 从而应向右平移的最大值． 应将挡光板沿方向向右最多平移约． 24．如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离； （2）过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键． 26．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 27．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)的半径为或 (4) 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形； （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再根据在圆心位置分类讨论，画出图形求解即可； （4）利用（2）中规律得到，，再设，半径为，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 2．如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 4．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 6．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知的半径为4，，则点A在 （填“内”、“上”或“外”）． 8．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 9．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是 ． 10．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 11．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 12．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    13．如图所示，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，则的长 ．（结果保留） 14．如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为 ． 15．如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 16．如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， °，线段长度的最大值是 cm． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 18．如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 19．如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 20．如图，在中，，，点D在BC边上，⨀D经过点A和点B且与BC边相交于点E． (1)求证：AC是⨀D的切线； (2)若，求⨀D的半径． 21．如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 23．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 24．如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 25．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 26．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______． 27．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B B C A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．外 8．相交 9． 10． 11． 12．/54度 13．/ 14．/70度 15． 16． 90 14 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外；.............................4分 （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是．.............................7分 18． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ；.............................4分 （2）解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴．.............................7分 19． 【详解】（1）解：如图，点O，点D即为所求； ； 理由如下： ∵， ∴为直径， ∴弦的垂直平分线与的交点为圆心， 连接， ∴， ∴；.............................4分 （2）解：如图，点E即为所求． 理由如下：由作图可得：为直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴为的中点； 如图，弦即为所求， 理由如下： 由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴．.............................8分 20． 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． .............................4分 （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， ， 所以的半径为． .............................8分 21． 【详解】（1）证明：连接，． ，，， ， ， ． ， ， ；   .............................4分 （2）延长交于点，连接， ， ， ， ．设，则． 在中，， ， 或（舍）， ， ．   .............................8分 22． 【详解】解：（1）．理由如下： 在和中， ， ． 又于点，于点，即分别是边上的高， ．.............................4分 （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线．.............................8分 23． 【详解】（1）如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧， 设该圆弧所在圆的半径为， 依题意，得，在中， ， 垂直平分． ． 在中，， 即， 解得或（负值舍去）． 即秋千的长度为．.............................4分 （2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点． 射线与，分别相交于点，，则． 又， 与均为等腰直角三角形． ，． 当时，， 连接，又，， 又，， ． ． 而， ． 从而应向右平移的最大值． 应将挡光板沿方向向右最多平移约．.............................8分 24． 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴；.............................2分 （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴；.............................5分 （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或．.............................8分 25． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离；.............................2分 （2）过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形；.............................5分 ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：．.............................8分 26． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：．.............................3分 ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴．.............................6分 （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为：.............................9分 27． 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或；.............................2分 （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴；.............................4分 （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或；.............................6分 （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴．.............................9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$