5.2.1 变化率问题(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 [对应学生用书P46] 学习目标 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题． 知识点一　几个常见函数的导数 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ [练1] (2025·红桥区高二期末)已知函数f(x)＝，则f′(－2)＝ (　　) A．4 B． C．－4 D．－ D　解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－， 则f′(－2)＝－.故选D. 知识点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a (a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ (a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝x-3；(2)y＝3x；(3)y＝； (4)y＝log5x；(5)y＝cos (－x). 解：(1)y′＝－3x-4.(2)y′＝3x ln 3. (3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x－. (4)y′＝.(5)y＝sin x，y′＝cos x． 求简单函数的导函数的两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [练2] (多选)下列结论正确的是 (　　) A．(cos x)′＝－sin x B．(sin )′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D．(－)′＝ AD　解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以A正确；sin ＝，而()′＝0，所以B错误；()′＝(x-2)′＝－2x-3，所以C错误；(－)′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确． 综合应用：基本初等函数导数公式的应用 [例2] 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点． (1)求此曲线在点P处的切线方程； (2)求此曲线过点O(0，0)的切线方程． 解：(1)∵y′＝，∴k＝y′|x＝e＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. (2)∵O(0，0)不在曲线y＝ln x上， ∴设切点Q(x0，ln x0)，y′＝， 则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e，∴Q(e，1)，∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 求切线方程的关注点 (1)曲线y＝f(x)在点P处的切线只有一条； (2)曲线y＝f(x)过点P的切线，可能有多条，取决于求得的切点的个数，有几个切点，就有几条切线． [练3] 已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求过点Q(1，0)的曲线的切线方程． 解：∵y＝，∴y′＝－. (1)显然P(1，1)是曲线上的点，所以P为切点， 所求切线斜率为函数y＝在点P(1，1)处的导数， 即k＝y′|x＝1＝－1. 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0. (2)显然Q(1，0)不在曲线y＝上， 则可设切点为A(a, )(a≠0)， 那么该切线斜率为k＝y′|x＝a＝－(a≠0). 所以切线方程为y－＝－ (x－a).① 将Q(1，0)代入，得0－＝－ (1－a)，得a＝. 代入方程①整理可得切线方程为4x＋y－4＝0. [例3] 若质点的运动方程是s(t)＝sin t，则质点在t＝时的速度为________，在该时刻的加速度为________(加速度是速度对时间的导数). 答案：　－　解析：∵v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v()＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为. ∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. ∴a()＝－sin ＝－. 导数的简单应用 (1)导数在物理中的应用：位移对时间t的导数是速度，速度对时间t的导数是加速度． (2)导数在函数中的应用：利用导数的几何意义，已知切点可以求斜率，反之，已知斜率，也可以求切点． [练4] 从时刻t＝0开始的t(单位：s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).(某时刻电流强度为电量的瞬时变化率) 解：由q＝cos t得q′＝－sin t，所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7， 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安． 1．知识清单 (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． (3)切线方程． 2．方法归纳：方程思想、待定系数法． 3．常见误区：求导前未化简成基本初等函数． ◎随堂演练 1．若f(x)＝，则f′(1)等于 (　　) A．0 B．－ C．3 D． D　解析：因为f(x)＝＝x，所以f′(x)＝x－，所以f′(1)＝. 2．(2025·宁夏育才中学高二期末)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f′(1)＝1，则a＝ (　　) A．e B． C． D． A　解析：∵f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， ∴f′(x)＝， ∴f′(1)＝＝1， ∴a＝e.故选A. 3．曲线y＝cos x，x∈[0，]的切线的斜率范围是__________． 答案：[－1, 0]　解析：因为y′＝(cos x)′＝－sin x，x∈[0，]， 所以k∈[－1，0]. 4．曲线y＝ex在点(0, 1)处的切线方程为________________． 答案：y＝x＋1　解析：y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0, 1)处切线的斜率k＝e0＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即y＝x＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$