4.1 第3课时 函数的最值的应用(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第3课时　数列的概念与表示(习题课) [对应学生用书P7] 学习目标 1.会由递推公式探求数列的周期性． 2．掌握由数列的递推公式求通项公式的基本方法． 知识点　数列递推公式的应用 综合应用1：由递推公式探求数列的周期性 [例1] (2025·安阳高二阶段考试)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝，则a2 025＝________． 答案：2　解析：由题意得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2， 所以数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2. 由递推公式探求数列周期性的思路 解决数列周期性问题，要根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或前n项的和． [练1] (2025·南昌高二期末)已知正整数数列{an}满足an＋1＝则当a1＝8时，a2 024＋a2 025＋a2 026＝________． 答案：7　解析：由题意a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，a7＝1，…， 数列{an}从第二项起是周期数列，周期为3， 所以a2 024＝a2＝4，a2 025＝a3＝2，a2 026＝a4＝1， 所以a2 024＋a2 025＋a2 026＝4＋2＋1＝7. 综合应用2：累加法求数列通项公式 [例2] 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1－an＝－， ∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…， an－an－1＝－(n≥2，n∈N*)， ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(1－)＋(－)＋…＋(－)， 即an－a1＝1－(n≥2，n∈N*). ∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N*). ∵当n＝1时，a1＝－1也符合上式， ∴an＝－，n∈N*. 累加法求数列通项公式 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式，此方法叫累加法． [练2] (2025·济南高二期末)在数列{an}中，a1＝2，且an＝an－1＋lg (n≥2)，则a100＝________． 答案：4　解析：由题意可得an－an－1＝lg (n≥2)， 所以a2－a1＝lg ，a3－a2＝lg ，…，a100－a99＝lg ， 累加得a100－a1＝lg ＋lg ＋…＋lg ＝lg (××…×)＝lg 100＝2， 所以a100＝2＋a1＝4. 综合应用3：累乘法求数列通项公式 [例3] 在数列{an}中，已知a1＝1，＝，求{an}的通项公式． 解：因为＝，所以＝，＝，…，＝， 则an＝××…××a1＝(n＋1)·2n-2， 当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2n-2. 累乘法求数列通项公式 形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式，此方法叫累乘法． [练3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求{an}的通项公式． 解：∵a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， ∴＝， ∴an＝···…···a1 ＝··×…×××1＝. ∵当n＝1时，a1＝1也符合上式，∴an＝(n∈N*). 1．知识清单 (1)由递推公式探求数列的周期性． (2)由数列递推公式求通项公式． 2．方法归纳：归纳法，累加法，累乘法． 3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合n≥2时的通项公式． ◎随堂演练 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，∀n∈N*，an＋2＝an＋1－an，则a2 025的值为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．－3 B　解析：∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an， ∴a3＝a2－a1＝2，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－2，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝3，…， ∴{an}是以6为周期的数列，又2 025＝337×6＋3，所以a2 025＝a3＝2. 2．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 (　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) C　解析：∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2. 当n＝1时，a1＝1也符合上式．∴an＝3n－2(n∈N*). 3．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝____________． 答案：()n-1　解析：方法一　由已知可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝. 方法二　an＝··…···a1＝()n-1×1＝()n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$