3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 [对应学生用书P86] 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质． 2．掌握抛物线的焦点弦与最值有关的问题． 知识点一　抛物线的几何性质 类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的 几何 意义 焦点F到准线l的距离 图象 范围 x≥0，y∈R x≤0， y∈R x∈R，y≥0 x∈R， y≤0 对称 轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心 率 e＝1 [例1] (1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点．若OD⊥OE，则抛物线C的焦点坐标为(　　) A．(，0) B．(，0) C．(1，0) D．(2，0) (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为 ． 答案：(1)B　(2)y2＝3x或y2＝－3x　解析：(1)因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p>0)交于D，E两点，且OD⊥OE，根据抛物线的对称性可知∠DOx＝∠EOx＝.不妨设点D在第一象限，则D(2，2).将点D的坐标代入抛物线方程，得4＝4p，解得p＝1．所以抛物线C的焦点坐标为(，0). (2)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，则抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1． [练1] 已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则·的最小值等于 ． 答案：－9　解析：设P(x，y)，因为A(－3，0)，B(3，0)，则·＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，所以当x＝0时，(·)min＝－9. 知识点二　抛物线的焦点弦问题 过焦点的弦长公式 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p． [例2] 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝4x B． y2＝8x C．y2＝3x D．y2＝6x D　解析：抛物线的焦点F(，0)，直线方程为y＝(x－)， 整理得12x2－20px＋3p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，|AB|＝p＋x1＋x2＝p＋＝＝8，所以p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x. 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解． (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解． (3)抛物线的焦点弦的性质：设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，x1x2＝，且＋＝. 综合应用：抛物线几何性质在最值中的应用 [例3] 已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴和直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值． 解：如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1，0)，＝1． |PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1． 当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小， 即转化为点F到x－y＋4＝0的距离d减去1． 此时d＝＝， ∴|PA|＋|PB|的最小值为－1． 与抛物线最值有关的问题的解题技巧 与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义使用几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧． [练2] (2025·南通高二期中)已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，定点A(6，4)，B为C上一动点，则△ABF周长的最小值为 ． 答案：14　解析：抛物线C：y2＝12x的焦点为F(3，0)， A(6，4)，|AF|＝＝5， 根据抛物线的定义可知，|AB|＋|BF|的最小值是A到抛物线准线x＝－3的距离， 即|AB|＋|BF|的最小值是9， 所以△ABF周长的最小值为5＋9＝14. 1．知识清单 (1)抛物线的几何性质． (2)直线与抛物线的位置关系． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法． 3．常见误区：(1)四种形式的抛物线性质混淆． (2)忽略直线的特殊情况． ◎随堂演练 1．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A． B． － C．4 D．－4 B　解析：由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝||.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－. 2．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B． y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x C　解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).因为A(±，)(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C． 3．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝(　　) A．1 B． 2 C．4 D．6 B　解析：抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离等于到准线的距离，其最小值为＝1，解得p＝2. 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，4)，过抛物线的焦点F且与x轴垂直的直线交该抛物线于M，N两点，则|MN|＝ ． 答案：4　解析：因为点(－1，4)在抛物线y2＝2px的准线上，则－＝－1，则p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1，0)，当x＝1时，y＝±2，则M(1，2)，N(1，－2)，所以|MN|＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$