3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 [对应学生用书P78] 学习目标 1．掌握双曲线的简单几何性质． 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围． 知识点　双曲线的几何性质 类比研究椭圆几何性质的过程，请从“数”和“形”两个角度研究双曲线的几何性质． 1．双曲线的几何性质 焦点 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e>1 渐近线 y＝±x y＝±x 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系为|k|＝＝＝＝. 2．等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2，离心率e＝. 考法1　双曲线的几何性质 [例1] 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0). 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝. 顶点坐标为(－，0)，(，0). 所以渐近线的方程为y＝±＝±. 由双曲线的标准方程研究几何性质的四个步骤 [练1] 求双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率． 解：将9x2－y2＝81化为标准方程－＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝81， 从而a＝3，b＝9，c＝＝3，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝18，顶点坐标为(3，0)，(－3，0)，焦点坐标为(3，0)，(－3，0)，渐近线方程为y＝±3x，离心率e＝＝. 考法2　由双曲线的几何性质求标准方程 [例2] 求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为－＝1． (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵点A(2，－3)在双曲线上， ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1． 由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路 (1)根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法． (2)但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质． [练2] 过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A．－＝1 B． －＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　解析：因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同渐近线，所以设其方程为－y2＝t(t≠0).又因为点(2，－2)在双曲线上，所以－(－2)2＝t，解得t＝－2，则所求双曲线方程为－＝1．故选A． 考法3　求双曲线的离心率的值或范围 [例3] (1)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线3x＋y＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(0，) B．(1，) C．(1，] D．(，＋∞) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ． 答案：(1)C　(2)　解析：(1)∵双曲线的一条渐近线为y＝－x，直线3x＋y＝0可化为y＝－3x. 由题意可得－≥－3，即≤3. 又＝＝＝≤3，∴－≤e≤. 又双曲线的离心率e>1，∴双曲线离心率的取值范围为(1，]. (2)方法一(直接法)　由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5，因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，2c＝|F1F2|＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝＝＝. 方法二(二级结论)　因为|AB|＝10，所以＝10，所以＝＝5，又|AF1|＝13，所以|F1F2|＝2c＝＝12，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝＝＝. 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． [练3] 已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ． 答案：　解析：如图所示，∵a＞，∴＜1， ∴y＝x的倾斜角小于， ∴＝tan ＝，∴a＝，c＝＝2，e＝＝＝. 1．知识清单 (1)双曲线的几何性质． (2)等轴双曲线． (3)双曲线的离心率和渐近线方程． 2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. ◎随堂演练 1．(2025·常州高二期中)双曲线x2＋my2＝1实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为(　　) A．－ B． － C．－2 D．－4 D　解析：双曲线方程可化为x2－＝1，其中m<0， 因为实轴长是虚轴长的2倍，故1＝2×，故m＝－4，故选D． 2．(2025·商丘高二期中)已知双曲线C：＋＝1的一个焦点为(0，)，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B． y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x C　解析：由题知，该双曲线的焦点在y轴上，－＝1，所以a2＝4，b2＝－m，c2＝()2＝5， 由c2＝a2＋b2可得4－m＝5，解得m＝－1，所以b2＝1，即双曲线的方程为－x2＝1， 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选C． 3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于(　　) A． B． C． D． C　解析：由题意知c＝3，所以a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝＝. 4．已知双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线C的标准方程和离心率． 解：由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y＝x， ∴设双曲线方程为－＝1． 又c2＝2a2＝48，∴a2＝24， ∴所求双曲线的方程为－＝1． 由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2， 又e>0，∴e＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$