2.5.2 圆与圆的位置关系(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5.2　圆与圆的位置关系 [对应学生用书P61] 学习目标 1．了解圆与圆的位置关系． 2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法． 3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点　圆与圆的位置关系 下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程． 可以用两个圆来表示变化过程． 1．根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系有几种？ 2．能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？ 3．直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？ 圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 公切线条数 外离 d＞r1＋r2 4 外切 d＝r1＋r2 3 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2| 1 内含 0≤d＜|r1－r2| 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元得一元二次方程 考法1　两圆位置关系的判断 [例1] 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1． 所以|C1C2|＝＝a， (1)当|C1C2|＝ r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝ r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当0<|C1C2|<3，即a<3时，两圆内含． 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． [练1] 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系； (2)是否存在实数m，使得圆C1与圆C2内含？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径r1＝3；圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1，0)，半径r2＝1．两圆的圆心距d＝＝2，r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，从而圆C1和圆C2相交． (2)不存在实数m，使得圆C1与圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d＝＜3－1，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1与圆C2内含． 考法2　两圆相交问题 [例2] 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝. 又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋， |r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3， ∴公共弦长为l＝2＝2＝2. 方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或 ∴|AB|＝＝2，即公共弦长为2. 求两圆公共弦长及公共弦所在直线方程的两种方法 (1)方法一：解方程组求出两圆交点坐标，然后由两点间距离公式求弦长，再由两点坐标求公共弦所在直线方程． (2)方法二： [练2] 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为 ． 答案：　解析：由题意将圆C1和圆C2两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的半径r＝，圆心坐标为(1，1)，其到直线l的距离为d＝＝，由条件知，r2－d2＝－＝，所以直线l被圆C3截得的弦长为2×＝. 考法3　两圆相切问题 [例3] 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1． 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题意可知 解得或 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论． (2)转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). [练3] 若圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－4)2＝16有3条公切线，则正数a＝(　　) A．－3 B． 3 C．5 D．3或－3 B　解析：由条件可知两圆外切．又圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1， 圆(x－a)2＋(y－4)2＝16的圆心为(a，4)，半径为4， ∴＝5，∴a＝±3. 又a>0，∴a＝3. 1．知识清单 (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混． ◎随堂演练 1．(2025·济南高二检测)圆C1：x2＋y2－4x－16＝0与圆C2：x2＋(y＋1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B． 外切 C．内切 D．相离 C　解析：根据题意，圆C1：x2＋y2－4x－16＝0，即(x－2)2＋y2＝20，其圆心为(2，0)，半径R＝2.圆C2：x2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(0，－1)，半径r＝.两圆的圆心距d＝＝＝R－r，则两圆内切．故选C． 2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－2x＋2y＝2的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为(　　) A． B． C． D．1 C　解析：由题意得圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1， 圆x2＋y2－2x＋2y＝2的圆心为(1，－1)，半径为2， 则两圆圆心距为，而2－1<<2＋1，即圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－2x＋2y＝2相交， 故将x2＋y2＝1和x2＋y2－2x＋2y＝2相减得2x－2y＋1＝0， 即圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－2x＋2y＝2的公共弦所在直线方程为2x－2y＋1＝0， 令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝－， 故2x－2y＋1＝0与两坐标轴所围成的三角形面积为××＝. 3．若圆O1：x2＋y2＝4与圆O2：(x－a)2＋y2＝1外切，则a＝ ． 答案：±3　解析：因为d＝|O1O2|＝＝|a|，所以|a|＝2＋1＝3，所以a＝±3. 4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝ ． 答案：1　解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $$