2.5.1 第2课时 直线与圆的位置关系的简单应用(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[课时梯级训练(25)P179] 第2课时　直线与圆的位置关系的简单应用 [对应学生用书P59] 学习目标 1．理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用． 2．会用坐标法解决几何问题． 知识点一　直线与圆的方程的实际应用问题 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [例1] (2025·长春高二期末)某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，O的正北方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．已知经过O，A，B三点的圆为圆C． (1)求圆C的方程； (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区，经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，小汽车会不会进入安全预警区？说明理由． 解：(1)由题意得A(40，40)，B(－240，0)， 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点， 所以解得 所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0. (2)圆C化成标准方程为(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圆心为C(－120，160)，半径r＝200， 因圆心到直线y＝－x－200的距离d＝＝120<r. 所以直线y＝－x－200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区． 解决实际问题的一般程序 (1)仔细读题(审题)； (2)建立数学模型； (3)解答数学模型； (4)检验，给出实际问题的答案． [练1] 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 m. 答案：2　解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系． 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2 (r>0)， 水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m). 知识点二　坐标法证明几何问题 [例2] 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点． 证明：如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设⊙O的半径为r，|OE|＝m， 则⊙O的方程为x2＋y2＝r2， 设C(m，b1)，D(m，b2)，则有m2＋b＝r2，m2＋b＝r2， 即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根， 解方程得b＝±， 则b1＝－，b2＝， 则CD的中点坐标为(m，)， 即(m，0).故E(m，0)是CD的中点． 建立直角坐标系的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易求得． [练2] 如图，AB，CD为圆的两条直径，CD绕圆心运动，自点D作AB的垂线DE，延长ED到点P，使|PD|＝|AB|．求证：直线CP必过一定点． 证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图． 设圆的方程为x2＋y2＝r2. 令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)， 所以P(－x0，－y0－2r). 所以直线CP的方程为y－y0＝·(x－x0)＝(x－x0)， 即y0x＋rx－(y＋r)x0＝0， 令得即(0，－r). 所以直线CP必过一定点(0，－r). 1．知识清单 (1)直线与圆的方程的应用． (2)坐标法解决问题的“三步曲”． 2．方法归纳：数学建模、坐标法． 3．常见误区：不能正确进行数学建模． ◎随堂演练 1．一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 km处有一个小岛A，距离小岛10 km范围内可能存在暗礁．若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为(　　) A．(x＋20)2＋(y－20)2＝100 B．(x－20)2＋(y＋20)2＝100 C．(x＋20)2＋(y＋20)2＝10 D．(x－20)2＋(y－20)2＝100 D　解析：易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB＝30°，∵|OA|＝40，∴|AB|＝20，|OB|＝＝20，∴暗礁所在区域边界方程为(x－20)2＋(y－20)2＝100. 2．方程y＝－对应的曲线是 (　　) A　解析：由方程y＝－得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上及以下的部分． 3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线的方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为 ． 答案：－2　解析：由圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2. 4．某操场400 m跑道的直道长为86.96 m，弯道是两个半圆弧，半径为36 m，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程． 解：易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0，43.48)，其所在圆的半径为36， 故上半个弯道所在圆的方程是x2＋(y－43.48)2＝362(y≥43.48). 同理下半个弯道所在圆的方程是x2＋(y＋43.48)2＝362(y≤－43.48). 学科网（北京）股份有限公司 $$