2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 [对应学生用书P56] 学习目标 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系． 知识点一　直线与圆的位置关系 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 1．图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？ 2．结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，判断直线与圆有几种位置关系？ 3．如何判断直线与圆的位置关系？ 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 考法1　直线与圆位置关系的判断 [例1] 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解：方法一(几何法)　圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2. (1)若相交，则d＜r，即＜2，所以m＜－2或m＞2. (2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2. (3)若相离，则d＞r，即＞2，所以－2＜m＜2. 方法二(代数法) 由方程组 消去x整理得(m2＋1)y2－12my＋32＝0， Δ＝(－12m)2－4×32(m2＋1)＝16(m2－8)， (1)若相交，则Δ>0，即m2－8>0，所以m<－2或m>2； (2)若相切，则Δ＝0，即m2－8＝0，所以m＝±2； (3)若相离，则Δ<0，即m2－8<0，所以－2<m<2. 直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若已知直线和圆的方程或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单． (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单． [练] (多选)(2025·江门纪元中学高二期中)已知直线l：ax＋by＝1，圆C：x2＋y2＝1，点M(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若M在圆上，则直线l与圆C相切 B．若M在圆内，则直线l与圆C相离 C．若M在圆外，则直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相切 ABD　解析：圆C：x2＋y2＝1，圆心C(0，0)，半径r＝1． 对于A，若M在圆上，则|MC|＝＝r＝1，圆心到直线l的距离为d＝＝1＝r，则直线l与圆C相切，故A正确； 对于B，若M在圆内，则|MC|＝<1，圆心到直线l的距离为d＝>1＝r，则直线l与圆C相离，故B正确； 对于C，若M在圆外，则|MC|＝>1，圆心到直线l的距离为d＝<1＝r，直线l与圆C相交，故C错误； 对于D，若M在直线l上，则a2＋b2＝1，圆心到直线l的距离为d＝＝1＝r，则直线l与圆C相切，故D正确． 考法2　圆的切线方程 [例2] 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． (1)若直线斜率不存在， 设圆心为C，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以切线方程为x＝4. (2)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. [变式探究] 1．将本例条件“(x－3)2＋(y－1)2＝1”改为“(x－1)2＋(y－1)2＝25”．其他条件不变，求切线方程． 解：因为(4－1)2＋(－3－1)2＝25，所以点A(4，－3)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝25上，所求切线过点A且与直线AC垂直． 又kAC＝＝－，所以切线方程为y－(－3)＝(x－4)， 即3x－4y－24＝0. 2．求斜率为2，且与本例中的圆相切的直线方程． 解：设所求切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0， 因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即|b＋5|＝，解得b＝－5±，所以切线方程为y＝2x－5－或y＝2x－5＋. 过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． (2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为另一条过这点的切线的斜率不存在． 知识点二　圆的弦长问题 如图，直线l与圆O相交于A，B两点， (1)若弦AB的长记为L，则L，d，r之间的关系式为L＝2. (2)直线l与圆O相交于A，B两点，当直线l过圆O的圆心时，截得的弦长|AB|最长，且最长为2r. (3)设直线y＝kx＋b与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在). [例3] 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 解：方法一　由 得交点A(1，3)，B(2，0)， ∴弦AB的长为|AB|＝＝. 方法二　由消去y，得x2－3x＋2＝0. 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2. ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 即弦AB的长为. 方法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0，1)，半径r＝， 点(0，1)到直线l的距离为d＝＝， ∴半弦长为＝＝＝， ∴弦长|AB|＝. [变式探究] 将本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为”，求该直线方程． 解：由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝， 又弦长为.所以圆心到直线的距离 d＝＝＝. 又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在． 可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)， 所以d＝＝，解得k＝－3或k＝， 所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0. 求弦长的三种方法 (1)几何法：利用圆的半径、圆心距、弦长的一半满足的勾股数进行计算． (2)代数法：如直线与圆交点坐标易求，可求出交点坐标后用两点间距离公式求解． (3)弦长公式法：利用弦长公式求弦长． 1．知识清单 (1)直线与圆的三种位置关系． (2)圆的切线方程． (3)弦长公式． 2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法． 3．常见误区：求切线方程时忽略直线斜率不存在的情况. ◎随堂演练 1．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．相离 B． 相切 C．相交 D．不确定 C　解析：直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且该点在圆x2＋y2＝4内，所以直线与圆相交． 2．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形(　　) A．是锐角三角形 B． 是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 B　解析：由题意得＝1，即c2＝a2＋b2，所以由|a|，|b|，|c|为边长构成的三角形为直角三角形．故选B． 3．(2025·江门第一中学高二期中)已知直线x＋my＋1＝0与圆O：x2＋y2＝2交于A，B两点，若△OAB面积为，则m的值为 ． 答案：±1　解析：由x2＋y2＝2得圆的圆心O(0，0)，半径r＝， 因为直线x＋my＋1＝0恒过点(－1，0)，而点(－1，0)在圆O：x2＋y2＝2内， 所以直线与圆相交， 圆心O(0，0)到直线x＋my＋1＝0的距离d＝， 所以|AB|＝2＝2＝2， 所以S△OAB＝|AB|d＝×2×＝， 解得m＝±1． 学科网（北京）股份有限公司 $$