2.4.1 圆的标准方程(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 [对应学生用书P52] 学习目标 1．掌握圆的定义及标准方程． 2．会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 知识点一　圆的标准方程 1．确定一个圆的基本要素是什么？ 2．你能在坐标系中画出单位圆并写出它的方程吗？ 圆的标准方程 (1)条件：圆心为A(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 1．圆的方程的特点 (1)是关于x，y的二元二次方程； (2)括号内x，y的系数都为1； (3)圆上点(x，y)，圆心(a，b)，半径r>0. 2．几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程x2＋y2＝r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程(x－a)2＋y2＝r2. (3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程x2＋(y－b)2＝r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程x2＋(y－b)2＝b2(b≠0). 考法1　直接法求圆的标准方程 [例1] 分别根据下列条件，求出圆的方程： (1)圆心在原点，半径为6； (2)圆心为点(3，－4)，半径为； (3)过点P(6，3)，圆心为(2，－2)； (4)过原点，圆心为点(1，2). 解：(1)圆心在原点，半径为6的圆的方程为x2＋y2＝36. (2)圆心为(3，－4)，半径为的圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝5. (3)由题意，圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41． (4)由题意得半径为＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． [练1] △ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程． 解：易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 考法2　待定系数法求圆的标准方程 [例2] 已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 将点M，N，P的坐标代入圆的标准方程， 得解得 ∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4<25， ∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， ∴M，N，P，Q四点不共圆． 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 [练2] 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 解：方法一(待定系数法)　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二(几何法)　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 知识点二　点与圆的位置关系 点A(1，1)，B(－4，0)，C(，)与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？ 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在 圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在 圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在 圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 [例3] 已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、在圆内、还是在圆外． 解：由已知条件可知圆心坐标为(4，6)，半径r＝|P1P2|＝×＝， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 将点M，N，P的坐标代入(x－4)2＋(y－6)2，得 ＝>， ＝， ＝<. ∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内． 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． [练3] 已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围． (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部． 解：(1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－. (2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－. (3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－且a≠0. 1．知识清单 (1)圆的标准方程． (2)点与圆的位置关系． 2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法． 3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况． ◎随堂演练 1．(2025·徐州期末)圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(1，1)，2 B． (1，1)， C．(－1，－1)，2 D．(－1，－1)， D　解析：根据圆的标准方程(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，即可得圆心坐标为(－1，－1)，半径为.故选D． 2．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B． 在圆内 C．在圆上 D．不确定 A　解析：因为点P(m，5)与圆心O(0，0)的距离为d＝|PO|＝＝>＝r，所以点P在圆外． 3．(2025·运城高二期中)已知A(0，5)，B(0，1)，C(3，4)，则△ABC外接圆的半径为(　　) A． B． 2 C． D．5 A　解析：依题意可得，线段AB的垂直平分线方程为y＝3， 因为BC的中点为，直线BC的斜率kBC＝＝1， 所以线段BC的垂直平分线的斜率为k＝－1，方程为y－＝－，即x＋y－4＝0， 解方程组得即△ABC外接圆的圆心坐标为(1，3)， 所以半径r＝＝. 4．求下列圆的标准方程． (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解：(1)r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以b＝0或b＝－8， 所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 学科网（北京）股份有限公司 $$