2.3.1 两条直线的交点坐标(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 [对应学生用书P43] 学习目标 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一　两条直线的交点坐标 观察图形，思考下列问题： 1．在方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解说明什么？ 2．如何求上述两直线的交点坐标？ 两条直线的交点坐标 已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 若两直线方程组成的方程组有唯一解则两直线相交，交点坐标为(x0，y0). [例1] 求下列各组直线的交点坐标： (1)l1：x－y＋2＝0，l2：x－2y＋3＝0； (2)l1：3x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋3＝0； (3)l1：y＝3x＋2，l2：y＝－2x－3. 解：(1)联立解得 所以交点坐标为(－1，1). (2)联立解得 所以交点坐标为(－1，－1). (3)联立解得 所以交点坐标为(－1，－1). 求两相交直线的交点坐标的方法 (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． [练1] (2025·海口高二期中)已知直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：3x＋y＋6＝0的交点在x轴上，则直线l1的斜率为(　　) A． B． C．－ D．－ D　解析：在直线方程3x＋y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－2， 即直线3x＋y＋6＝0与x轴的交点为(－2，0)， 因为点(－2，0)在直线ax＋3y＋4＝0上，所以－2a＋3×0＋4＝0，即a＝2， 所以l1：2x＋3y＋4＝0，即y＝－x－，所以直线l1的斜率为－. 知识点二　两条直线的位置关系 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行，能否判断对应方程组解的情况？ 两直线的位置关系 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，方程组解的组数与两条直线的位置关系如下： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的 公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的 位置关系 相交 重合 平行 [例2] 分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：(1)联立解得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数个解， 直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 两条直线相交的判定方法 (1)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． (2)两直线斜率都存在且斜率不相等． (3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [练2] 当m≠±1时，方程组的解的情况为(　　) A．仅有唯一解 B．有唯一解或无穷多解 C．无解或无穷多解 D．有唯一解或无解 A　解析：方法一　由m2－1＝0解得m＝±1，进而可知当m＝－1时，直线mx＋y＝m＋1与直线x＋my＝2m平行；当m＝1时，直线mx＋y＝m＋1与直线x＋my＝2m重合．因为m≠±1，所以，直线mx＋y＝m＋1与直线x＋my＝2m相交，所以该方程组的解是唯一的． 方法二　因为m≠±1，故由方程组 解得所以当m确定时，该方程组的解是唯一的． 综合应用：直线系方程问题 (1)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. [例3] 已知直线l经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P. (1)若直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直，求直线l的方程； (2)若直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0平行，求直线l的方程． 解：(1)方法一(方程组法)　解方程组得P(0，2). 因为直线l3的斜率为，所以直线l的斜率为－. 所以直线l的方程为y＝－x＋2， 即4x＋3y－6＝0. 方法二(直线系法)　设直线l的方程为4x＋3y＋m＝0. 解方程组得P(0，2). 因为直线l过直线l1与l2的交点P(0，2)， 所以4×0＋3×2＋m＝0，解得m＝－6. 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. (2)方法一(方程组法)　由(1)可知P(0，2)，直线l的斜率为，故直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0. 方法二(直线系法)　设直线l的方程为3x－4y＋n＝0(n≠5). 由3×0－4×2＋n＝0，得n＝8. ∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0. 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． [练3] 求证：不论m取何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0都过一个定点，并求这个定点的坐标． 证明：方法一　令m＝0，得x＋y－1＝0，　① 令m＝1，得4x－y＋2＝0，　② 将①②联立得得 把x＝－，y＝代入(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0的左边， 得(3m＋1)×(－)－(2m－1)＋3m－1＝0. ∴不论m为何值，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0恒过定点(－，). 方法二　方程可化为(x＋y－1)＋m(3x－2y＋3)＝0. 由m的任意性可知得 ∴不论m为何实数，直线都恒过定点(－，). 1．知识清单 (1)两条直线的交点，两条直线的位置关系． (2)过两条直线交点的直线系方程． 2．方法归纳：代入消元法、加减消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. ◎随堂演练 1．下列直线与直线2x－y－3＝0相交的是(　　) A．2ax－ay＋6＝0(a≠0) B．y＝2x C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0 D　解析：直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确． 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) C　解析：直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 令 解得 ∴直线l恒过定点(－3，1). 3．已知直线l经过直线x－1＝0与x＋y＋1＝0的交点，且倾斜角为60°，则直线l的方程为 ． 答案：x－y－－2＝0　解析：解方程组 得故交点坐标为(1，－2). 又直线l的倾斜角为60°，故斜率k＝tan 60°＝. 因此直线l的方程为y＋2＝(x－1)，即x－y－－2＝0. 4．分别判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标： (1)2x＋y－11＝0，x＋3y－18＝0； (2)2x＋5y－6＝0，2x－5y－6＝0. 解：(1)因为≠，所以2x＋y－11＝0与x＋3y－18＝0相交，联立解得故交点坐标为(3，5). (2)因为≠，所以2x＋5y－6＝0与2x－5y－6＝0相交，联立解得故交点坐标为(3，0). 学科网（北京）股份有限公司 $$