2.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.3　直线的一般式方程 [对应学生用书P40] 学习目标 1．掌握直线的一般式方程． 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与直线的关系． 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点　直线的一般式方程 1．直线的点斜式、斜截式、两点式方程都是二元一次方程，任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 2．平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 对于直线方程的一般式，规定如下： (1)x的系数为正； (2)x，y的系数及常数项一般不出现分数； (3)按含x项、含y项、常数项顺序排列． [例1] 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点． 解：(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0. (3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0. 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． [练1] (2025·海口期末)已知直线l的方向向量为n＝(3，2)，且l经过点(3，1)，则l的方程为(　　) A．2x－3y－6＝0 B． 2x－3y－3＝0 C．3x＋2y－11＝0 D．3x－2y－7＝0 B　解析：由题意，因为直线l的一个方向向量为(3，2)，所以l的斜率k＝，所以直线方程为y－1＝(x－3)，整理得2x－3y－3＝0.故选B． 综合应用：直线一般式方程的应用 考法1　含参数的一般式方程 [例2] (2025·黄山八校联盟高二期中)已知直线l：y＝kx－2k＋1(k∈R). (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围； (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积为时(O为坐标原点)，求此时相应的直线l的方程． 解：(1)由题意可知直线l：y＝kx－2k＋1(k∈R)， y＝k(x－2)＋1易知直线l过定点(2，1)， 当直线l过原点时，可得k＝， 当k≥时，直线l不经过第二象限． (2)由题意可知k<0， ∵直线l：y＝kx－2k＋1与x轴、y轴正半轴的交点分别是A，B(0，1－2k)， ∴S△AOB＝|2－|×|1－2k|＝×， 当k<0时，由S△AOB＝得 ×＝， 即4k2＋5k＋1＝0， 解得k＝－1或k＝－， 即直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋4y－6＝0. 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)根据条件，结合直线经过的特殊点求参数的值域范围． [练2] 设m为实数，若直线l的方程为mx＋(m－1)y＋3＝0，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在y轴上的截距为6； (2)直线l的斜率为2； (3)直线l经过点(1，3). 解：(1)因为直线l在y轴上的截距为6，所以直线l一定经过点(0，6)，则6m－6＋3＝0， 解得m＝. (2)当m＝1时，斜率不存在，不合题意； 当m≠1时，把直线方程化为斜截式，y＝－. 因为斜率为2，所以＝2，解得m＝. (3)因为直线l经过点(1，3)，所以m＋3(m－1)＋3＝0，解得m＝0. 考法2　一般式下直线的平行与垂直问题 [例3] 已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0.求分别满足下列条件的m的值． (1)l1⊥l2； (2)l1∥l2. 解：(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0， ∴m＝－. (2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1∥l2； 当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去． ∴m＝－3. 一般式下两直线平行与垂直的判定 若直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔ l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [练3] 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1⊥l2时，求a的值； (2)在(1)的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A(1，－3)，求直线l3的方程． 解：(1)由a×1＋2×(a－1)＝0，解得a＝. ∴当l1⊥l2时，a的值为. (2)由(1)知，l2：3x－y－＝0. ∵l3∥l2，∴可设l3的方程为3x－y＋m＝0(m≠－). 又l3过点A(1，－3)，∴3×1－(－3)＋m＝0，得m＝－6， ∴l3的方程为3x－y－6＝0. 1．知识清单 (1)直线的一般式方程． (2)直线方程五种形式间的互化． (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直． 2．方法归纳：分类讨论思想、化归转化思想． 3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况． ◎随堂演练 1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　) A．y＝－x＋4 B． y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 C　解析：直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0. 2．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过 (　　) A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：直线方程变形为y＝2x＋1，由图象(图略)可知直线经过第一、二、三象限，即直线l不经过第四象限． 3．(多选)已知直线l1：x＋(a－1)y＋1＝0，直线l2：ax＋2y＋2＝0，则下列结论正确的是(　　) A．l1在x轴上的截距为－1 B．l2恒过定点(0，－1) C．若l1∥l2，则a＝－1或a＝2 D．若l1⊥l2，则a＝ ABD　解析：直线l1：x＋(a－1)y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，A正确； 直线l2：ax＋2y＋2＝0中，令x＝0，得y＝－1，即l2恒过定点(0，－1)，故B正确； 若两直线平行，则1×2＝a(a－1)，1×2≠a×1，可得a＝－1，故C错误； 若两直线垂直，则有1×a＋2(a－1)＝0，解得a＝，故D正确． 故选ABD． 4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为 ；截距式方程为 ；斜截式方程为 ；一般式方程为 ． 答案：y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0 5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线，则实数m的取值范围是 ． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)　解析：由解得m＝2.若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2， 则实数m的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$