2.2.2 直线的两点式方程(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.2　直线的两点式方程 [对应学生用书P38] 学习目标 掌握直线方程的两点式和截距式，并会用它们灵活解决问题． 知识点一　直线的两点式方程 已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两点的直线方程呢？ 直线的两点式方程 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线方程 ＝ 适用范围 斜率存在且不为零 两点式方程的结构特征 (1)左边全为y，右边全为x； (2)两边的分母全为常数； (3)分子、分母中的减数相同． [例1] 三角形的三个顶点是A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，3)， (1)求三角形三边所在直线的方程； (2)求BC边的中线所在直线的方程． 解：(1)由两点式方程得，边AB所在直线方程为 ＝，即y＝－x－. 同理，边BC所在直线方程为＝， 即y＝－2x＋5. 同理，边AC所在直线方程为＝， 即y＝x＋. 综上所述，直线AB的方程为y＝－x－，直线BC的方程为y＝－2x＋5，直线AC的方程为y＝x＋. (2)线段BC的中点坐标D(2，1)，所以直线AD的方程为＝，即y＝x＋. 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 提醒：求过两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件． [练1] 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝ ． 答案：－2　解析：由直线方程的两点式得＝， 即＝，∴直线AB的方程为y＝－x＋1． ∵点P(3，m)在直线AB上，则m＝－3＋1，解得m＝－2. 知识点二　直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？ 直线的截距式方程 已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 直线方程 ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点 [例2] 求过点A(5，2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解：当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，l的方程为y＝x； 当直线l在两坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又l过点A(5，2)，∴5－2＝a，解得a＝3， ∴l的方程为y＝x－3. 综上所述，直线l的方程是y＝x或y＝x－3. [变式探究] 将本例条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”改为“在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍”其他条件不变，求直线l的方程． 解：由题意若过点A(5，2)的直线l在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即y＝x. 当截距不为0时，设满足题意的直线方程为＋＝1，将A(5，2)代入得a＝，即y＝－x＋也满足题意． 综上所述，直线l的方程为y＝x或y＝－x＋. 应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． [练2] 已知菱形的两条对角线的长分别为8和10，以菱形的中心为坐标原点，较短的对角线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程． 解：菱形的四边与坐标轴的四个交点的坐标分别为(4，0)，(0，5)，(－4，0)，(0，－5)，根据截距式方程的形式知四条边所在直线的方程分别为＋＝1，＋＝1，＋＝1，＋＝1． 综合应用：直线方程的灵活运用 [例3] 直线过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件？ (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0). 若满足条件(1)，则a＋b＋＝12.　① 又直线过点P(，2)，∴＋＝1．　② 由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得或 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12，　③ 由题意得＋＝1，　④ 由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得或 故所求直线的方程为＋＝1或＋＝1． 综上所述，存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程为＋＝1． 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线或求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便． [练3] (2025·陕西师大附中高二期中)已知直线l过点P(1，2)且与x轴、y轴分别交于A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，O为坐标原点，那么2|OA|＋|OB|的最小值为 . 答案：8　解析：∵直线l与x轴、y轴分别交于A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)， ∴可设直线的截距式方程为＋＝1， ∵直线l过点P(1，2)，∴＋＝1(a>0，b>0)， ∴2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥2＋4＝8， 当且仅当 即a＝2，b＝4时，等号成立，此时2|OA|＋|OB|取得最小值为8. 1．知识清单 (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程． (3)直线方程的应用问题． 2．方法归纳：分类讨论思想、数形结合思想． 3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解． ◎随堂演练 1．(2025·启东高二期中)－＝1在y轴上的截距为(　　) A．－4 B． －2 C．2 D．4 B　解析：由－＝1可得＋＝1，所以在y轴上的截距为－2. 2．过点(2，4)，(2，－7)的直线方程是 ． 答案：x＝2　解析：因为(2，4)，(2，－7)两点的横坐标相同，故其倾斜角为90°，所以所求直线方程为x＝2. 3．已知A(0，2)，B(3，0)，C(m，1－m)三点共线，则m＝ ． 答案：－3　解析：直线AB的方程为＋＝1，将C(m，1－m)代入得＋＝1，解得m＝－3. 4．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为 ． 答案：y＝－2x－2或y＝－x＋1 学科网（北京）股份有限公司 $$