2.2.1 直线的点斜式方程(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 [对应学生用书P36] 学习目标 1．掌握直线的点斜式和斜截式方程． 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题． 知识点一　直线的点斜式方程 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线l经过的一个点P0(x0，y0)和斜率k，能否将直线上所有的点的坐标P(x，y)满足的关系表示出来？ 直线的点斜式方程 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)点斜式方程中的点可以是这条直线上的任意一点. (3)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0.当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0 .特别地，y轴的方程是x＝0. [例1] 根据条件写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°； (2)经过原点，倾斜角为60°； (3)经过点D(－1，1)，与x轴平行． 解：(1)∵k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1． (2)∵k＝tan 60°＝，且过原点，∴直线方程为y＝x. (3)∵直线斜率k＝0，∴直线方程为y＝1． 利用点斜式求方程的步骤 (1)判断斜率k是否存在，若存在求出斜率； (2)在直线上找一点； (3)代入公式并化简． [练1] (2025·南阳高二期中)已知直线l过点(2，3)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为 ． 答案：x＝2　解析：因为直线l过点(2，3)，且倾斜角为90°，可知直线l与x轴垂直，所以直线l的方程为x＝2. [练2] (2025·苏州高二月考)直线l经过点A(0，1)，且倾斜角为直线y＝－x－1的倾斜角的一半，则l的方程为 ． 答案：y＝x＋1　解析：由直线y＝－x－1得此直线的斜率为－，倾斜角为120°，则直线l的倾斜角为60°，斜率为. 由直线过点A(0，1)，可得直线l为y－1＝(x－0)，即y＝x＋1． 知识点二　直线的斜截式方程 经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？ 1．直线在y轴上的截距 把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．直线的斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 方程式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－1的斜率k＝2，纵截距为－1． [例2] 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距为b＝－2. 由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2. 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． [练3] 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的斜截式方程． 解：设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1． 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1． 综合应用：两条直线平行与垂直的综合问题 [例3] (1)已知直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，求a的值； (2)已知直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，求a的值． 解：(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2. ∵l1∥l2，∴解得a＝－1． 故当直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行时，a的值为－1． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 当直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直时， a的值为. 判断两条直线位置关系的方法 已知直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若k1≠k2，则两直线相交． (2)若k1＝k2，则两直线平行或重合．当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合． (3)若k1·k2＝－1，则两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [练4] (1)求经过点(0，2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线l1：y＝3x－5垂直的直线l2的方程． 解：(1)由l1：y＝－3x－5得k1＝－3， 由两直线平行知k2＝k1＝－3， 所以所求直线方程为y－2＝－3x，即y＝－3x＋2. (2)由l1：y＝3x－5得k1＝3， 由两直线垂直知k1k2＝－1，所以k2＝－. 所以所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)， 即y＝－x－. 1．知识清单 直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0). 特例：y＝kx＋b(斜截式方程). 2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想． 3．常见误区 (1)求直线方程时忽视斜率不存在的情况． (2)混淆截距与距离． ◎随堂演练 1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B． x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 D　解析：∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2. 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 C　解析：直线的方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1． 3．(多选)(2025·遵义高二月考)直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx＋a在同一平面直角坐标系内的位置可能是(　　) BC　解析：对于A选项，两条直线的斜率和在y轴上的截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和在y轴上的截距，不符合题意，A错误． 对于B选项，当ab<0时，符合题意，B正确． 对于C选项，当或时，符合题意，C正确． 对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D错误． 4．(2025·丰台高二期中)已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为 . 答案：y＝2x－1　解析：因为直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－1， 所以所求直线方程为y＝2x－1． 学科网（北京）股份有限公司 $$