2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1．2　两条直线平行和垂直的判定 [对应学生用书P33] 学习目标 1．理解两条直线平行与垂直的条件． 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题． 知识点一　直线平行的判定 1．如图，对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 2．对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2? 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 图示 对应 关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2，或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这个结论． [例1] 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5). 解：(1)因为k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，所以l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. 判断两条不重合的直线是否平行的思维流程 [练1] (多选)(2025·汕头河溪中学高二期中)若A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，3)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则m的值为(　　) A．－1 B． 0 C．1 D．2 BD　解析：当AB与CD斜率均不存在时，m＝2m，m＋1＝1，故得m＝0，此时AB∥CD； 当kAB＝kCD时，即m≠0时，＝，解得m＝2，此时AB∥CD． 知识点二　两条直线垂直的判定 1．设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，方向向量分别为a，b，试用k1，k2写出向量a，b的坐标． 2．如果l1⊥l2，那么方向向量a，b有什么关系？你会得出怎样的关系式？ 3．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？ 两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 “两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件．因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0. [例2] (1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直． (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求实数a的值． 解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意知，直线l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5， 此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意． 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式， 得k1＝＝，k2＝＝. 由l1⊥l2知k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，实数a的值为0或5. 判定两直线是否垂直的方法 (1)在两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可． (2)一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． [练2] (多选)(2025·长沙高二期中)满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　　) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2，0)，B(3，) C．l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1，0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为(1，－) BCD　解析：对于A，kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，所以A错误； 对于B，kl2＝＝，kl1·kl2＝－×＝－1，故B正确； 对于C，kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl1·kl2＝－1，故C正确； 对于D，因为(1，m)·(1，－)＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确． 综合应用：两条直线平行与垂直的简单综合问题 [例3] 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状． 解：由斜率公式得kOP＝＝t，kRQ＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－. 所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形． [变式探究] 将本例中的四个点改为A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状． 解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形． 用代数运算判断几何图形问题思路 利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定． 1．知识清单 2．方法归纳：分类讨论思想，数形结合思想． 3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． ◎随堂演练 1．已知直线l1的倾斜角的正切值为－，直线l2与l1垂直，则l2的斜率是(　　) A．－ B． － C． D． D　解析：设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则k1＝－，且k1·k2＝－1．所以k2＝. 2．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为(　　) A． B． － C． D．－ C　解析：因为直线l1的倾斜角为30°，所以kl1＝tan 30°＝，又l1∥l2，所以kl2＝kl1＝. 3．(多选)(2025·扬州邵伯高级中学高二测试)若l1与l2为两条不重合的直线，则下列说法正确的有(　　) A．若l1∥l2，则它们的斜率相等 B．若l1与l2的斜率相等，则l1∥l2 C．若l1∥l2，则它们的倾斜角相等 D．若l1与l2的倾斜角相等，则l1∥l2 BCD　解析：对于A，当l1和l2倾斜角均为时，l1∥l2，但两直线斜率不存在，A错误； 对于B，若l1和l2斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知l1∥l2，B正确； 对于C，若l1∥l2，可知两直线倾斜角相等，C正确； 对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知l1∥l2，D正确． 4．直线l1经过点A(－m，1)，点B(－4，－m＋3)，直线l2经过点C(－1，2)，点D(－4，m＋2). (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． 解：(1)由题可知直线l2的斜率存在且k2＝＝－， 若直线l1的斜率也存在， 由k2＝k1＝＝， 得＝－，即m2－7m＋6＝0，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2，故m的值为1或6. (2)若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率k1＝＝－存在，不符合题意， 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1， 即－·＝－1，即m2＋m－12＝0， 解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 学科网（北京）股份有限公司 $$