1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 [对应学生用书P24] 学习目标 1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2．能用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离． 3．能描述解决这一类问题的程序“三步曲”． 知识点一　点到直线的距离 点到直线的距离 条件 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a 结论 向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝ 两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离． [例1] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解：由题意可知，BA，BC，BB1两两垂直，故以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝＝. 用向量法求点到直线的距离时的注意点 (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，需计算正确． [练1] (2025·太原期末)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是CC1的中点，则点A到直线D1E的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：建立如图所示空间直角坐标系，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)，＝(0，2，－1)，＝(2，0，－2)，所以点A到直线D1E的距离为＝＝.故选D． 知识点二　点到平面的距离 点到平面的距离 条件 如图，平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q 结论 n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离为PQ＝＝||＝ (1)已知n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． [例2] 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，则＝(0，0，1)， ＝(1，，－1)，＝(，1，－1). 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， 所以即 令y＝2，则n＝(2，2，3)， 所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝. (2)由于E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC， 所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离． 由于＝(0，，0)，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝(2，2，3)， 所以点A到平面PEF的距离为＝＝. 又AC∥平面PEF， 即直线AC到平面PEF的距离为. 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，平面α内两不共线向量，平面α的法向量为n). (4)求距离d＝. [练2] 正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1到平面BDC1的距离． 解：建立空间直角坐标系如图．则A(a，0，0)，B(a，a，0)，D(0，0，0)， C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)， ∴＝(0，a，a)，＝(－a，0，a)， ＝(－a，0，a)，＝(0，a，a). ＝，＝， ∴AB1∥DC1，AD1∥BC1，又AD1∩AB1＝A， DC1∩BC1＝C1，AD1，AB1⊂平面AB1D1，DC1，BC1⊂平面BDC1， ∴平面AB1D1∥平面BDC1． ∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d. 设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量， 则 得取z＝1，则n＝(1，－1，1). ∵＝(a，0，0)，∴d＝＝＝a. 1．知识清单 2．方法归纳：数形结合、转化法． 3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用公式，对公式推导过程的理解是应用的基础． ◎随堂演练 1．(2025·绍兴高二期中)已知平面α的一个法向量n＝(1，－1，2)，A(0，1，2)是平面α内一点，P(4，1，3)是平面α外一点，则点P到平面α的距离是(　　) A． B． 2 C．3 D．2 A　解析：由题意，＝(4，0，1)，点P到平面α的距离是d＝＝＝. 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(0，1，2)，C(1，0，2)，则点O到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D．2 B　解析：依题意可得＝(－1，－1，2)，＝(1，－1，0)，＝(1，2，0)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则可得y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)，所以点O到平面ABC的距离是d＝＝＝.故选B． 3．已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． C　解析：因为A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，所以＝(0，－1，2)，＝(1，1，－1)，则点C到直线AB的距离为＝＝.故选C． 4．若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 A　解析：∵＝(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)， ∴两平面间的距离d＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$