1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [对应学生用书P17] 学习目标 1．能用向量语言描述点、直线和平面． 2．理解直线的方向向量，会求平面的法向量． 知识点一　空间中点的位置向量及 直线的向量表示 如何用向量表示空间中的一个点？ 我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l? 1．空间点的位置 在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量来表示．我们把向量称为点 P 的位置向量． 2．空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t 如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线 l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t② ①式和②式都被称为空间直线的向量表示式． 结论：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． [例1] (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B． 1 C． D．3 (2)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 ． 答案：(1)A　(2)(0，0，1)(答案不唯一)　(0，1，1)(答案不唯一) 解析：(1)∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，∴＝(－1，2－y，z－3).∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，设＝km，∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－，y＝z＝，∴y－z＝0. (2)因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)，直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)， BC1∥AD1，＝(0，1，1)， 所以直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). 求直线方向向量的关键是找到直线上两点，用坐标表示以两点为起点和终点的向量即为直线的一个方向向量． [练1] (多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A．＝＋k B． ＝＋k C．＝＋k D．＝＋k AB　解析：由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意． [练2] 从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C．(6，，1) D．(－2，－，13) A　解析：设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12).因为||＝34， 即＝34，解得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 知识点二　空间平面的向量表示与平面的法向量 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 1．空间平面的向量表示 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y． 该式称为空间平面ABC的向量表示式 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 2．平面的法向量 如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0} [例2] 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.试建立适当的空间直角坐标系，分别求平面ABCD、平面SAB、平面SCD的一个法向量． 解：由题意可知，AD，AB，AS两两垂直，故以A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(，0，0)，S(0，0，1). ∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量． ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB， ∴＝(，0，0)是平面SAB的一个法向量． 在平面SCD中，＝(，1，0)，＝(1，1，－1). 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，∴即∴ 令y＝－1，则z＝1，x＝2，∴n＝(2，－1，1). ∴n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量． 确定平面的法向量的常用方法 (1)直接法：根据立体几何中直线与平面垂直的判定定理得到平面的垂线，取该垂线的方向向量，即平面的法向量． (2)解方程组法： ①设：设平面的法向量为n＝(x，y，z). ②找：找出(求出)平面内两个不共线的向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). ③列：根据法向量的定义列出关于x，y，z的方程组 ④解：解方程组，取其中的一个n的坐标，即得平面的一个法向量． [练3] (多选)已知平面ABC内的两个向量为＝(－，1，－4)，＝(0，2，－2)，则平面ABC的一个法向量可以是(　　) A．(，1，－1) B．(－，1，1) C．(－3，，) D．(1，1，－) BC　解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，因为向量＝(－，1，－4)，＝(0，2，－2)，所以取y＝1，得n＝(－，1，1)，取y＝，得n＝(－3，，).故选BC． 1．知识清单 (1)点的位置向量． (2)空间中直线的向量表示． (3)空间平面的向量表示． (4)平面的法向量． 2．方法归纳：待定系数法． 3．常见误区：求平面法向量时易出现运算失误． ◎随堂演练 1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(－3，0，－6) B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) B　解析：＝(3，0，－2)＝(9，0，－6).故选B． 2．(多选)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A． B． C． D． BC 3．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　) A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) BCD　解析：对于A，＝(－1，－4，－1)，n·＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又M∈平面α，所以A∈平面α.对于B，＝(3，－1，0)，n·＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又M∈平面α，所以点B∉平面α.对于C，＝(5，－5，1)，n·＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又M∈平面α，所以C∉平面α.对于D，＝(－2，2，－3)，n·＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又M∈平面α，所以D∉平面α.故选BCD． 学科网（北京）股份有限公司 $$