1.3.2 空间向量运算的坐标表示(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 [对应学生用书P14] 学习目标 1．掌握空间向量运算的坐标表示． 2．掌握空间两点间距离公式． 3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 知识点一　空间向量的坐标运算 在平面向量中，如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.在空间向量中，是否也有类似的结论成立？你能不能先试着写一写． 空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 [例1] 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5). (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 解：(1)方法一：＝＋＝(2，－5，3)＋(4，1，2)＝(6，－4，5)， ＝＋＝(6，－4，5)＋(3，－2，5)＝(9，－6，10)， 所以点B的坐标为(6，－4，5)，点C的坐标为(9，－6，10). 方法二：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z). 因为＝(4，1，2)， 所以解得所以点B的坐标为(6，－4，5). 因为＝(3，－2，5)，所以解得 所以点C的坐标为(9，－6，10). (2)因为＝(－7，1，－7)，所以·＝－21－2－35＝－58. (3)设P(x2，y2，z2)，则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为(，－，). 空间向量坐标运算的规律及注意点 考查角度及类型 运算规律及注意点 由点的坐标求向量坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算 由条件求向量或点的坐标 把向量或点用坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标 [练1] 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).设p＝，q＝.求： (1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q). 解：因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝(0，1，9)·(4，1，－3)＝0＋1－27＝－26. 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 1．空间向量平行、垂直、模及夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 平行 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)(b≠0) 垂直 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0) 模 |a| 夹角 cos 〈a，b〉 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系Oxyz中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1，P2两点间的距离P1P2＝||＝. [例2] 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)因为＝(－2，－1，2)且c∥， 设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)， 所以|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1． 所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行． (2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2＝0判定两向量垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判定两向量平行． [练2] 设x，y∈R，a＝(1，1，1)，b＝(1，y，z)，c＝(x，－4，2)，且a⊥c，b∥c，则＝(　　) A．2 B． 0 C．3 D．3 D　解析：由a⊥c⇒a·c＝0⇒x－4＋2＝0⇒x＝2， 由b∥c⇒＝＝⇒y＝－2，z＝1． 所以＝＝＝3.故选D． 综合应用：利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 [例3] 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. (1)解：如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. (2)解：依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， ∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又||＝，|CB1|＝， ∴cos 〈，〉＝＝. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. (3)证明：依题意得C1(0，0，2)，B(0，1，0)，N(1，0，1)，M(，，2)， ∴＝(，，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，－1，1)， ∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0， ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴⊥，⊥， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N. 又C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN， ∴BN⊥平面C1MN. 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 [练3] 在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则有E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)，H(0，，). ＝(，，－)，＝(－1，0，－1). ∴·＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C． (2)解：∵＝(0，－，－1)， ∴||＝＝. 又·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)＝， ||＝＝， ∴cos 〈，〉＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (3)解：∵F(，，0)，H(0，，)， ∴＝(－，，)， ∴||＝＝. 即FH的长为. 1．知识清单 (1)向量运算的坐标表示． (2)向量的坐标表示的应用． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区 (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等，忽视了前提条件． (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况． ◎随堂演练 1．(2025·皖豫名校联盟高二期中)已知向量a＝(2，x，－2)，b＝(2，4，y)，若|a|＝3，且a⊥b，则xy的值为(　　) A．0 B． 4 C．0或4 D．1或4 C　解析：因为a＝(2，x，－2)且|a|＝3，所以＝3，解得x＝±1．又a⊥b，所以a·b＝4＋4x－2y＝0，当x＝1时，解得y＝4，此时xy＝4，当x＝－1时，解得y＝0，此时xy＝0，故选C． 2．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角为(　　) A． B． C． D． C　解析：∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)， ∴cos 〈，〉＝＝＝－， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为. 3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝ ． 答案：4　解析：∵a∥b，∴b＝λa，∴∴ ∴x－y＝4. 4．与向量a＝(6，7，－6)方向相同的单位向量是 ． 答案：(，，－)　解析：设与a平行的单位向量为b＝(x，y，z)，则x2＋y2＋z2＝1，且x＝6λ，y＝7λ，z＝－6λ，所以λ＝±，当λ＞0时方向相同，故b＝(，，－). 学科网（北京）股份有限公司 $$