1.2 第1课时 空间向量基本定理(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 学习目标 1．掌握空间向量基本定理． 2．会用空间向量基本定理对向量进行分解． 3．会用基底法表示空间向量． 4．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 第1课时　空间向量基本定理 [对应学生用书P7] 知识点　空间向量基本定理 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理).对于任意一个空间向量，有没有类似的结论呢？ 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底 把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底． 解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面． ∴此方程组无解． 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底． 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． [练1] (2025·西安高二联考)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和a，b＋c构成空间中一个基底的向量为(　　) A．a＋b＋c B． a－b－c C．a＋2b＋c D．2a＋b＋c C　解析：易知：a＋b＋c＝a＋(b＋c)，则a＋b＋c与a，b＋c共面，同理a－b－c＝a－(b＋c)，2a＋b＋c＝2a＋(b＋c)，即a－b－c，2a＋b＋c均与a，b＋c共面，所以A，B，D三项均不能和a，b＋c构成空间中的另一个基底，故A，B，D错误；设a＋2b＋c＝xa＋y(b＋c)⇒显然无法成立，即a＋2b＋c与a，b＋c不共面，故C正确．故选C． [例2] 如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解：连接A′N(图略). ＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋(－)＋AA′＝＋＋＝(a＋b＋c). ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c. 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简． [练2] 如图，四棱锥P­OABC的底面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用基底{a，b，c}表示，，，. 解：连接BO， 则＝＝(＋)＝(＋＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c； ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c； ＝＋＝＋＋(＋)＝＋＋＝－a＋b＋c； ＝＝＝a. 1．知识清单 (1)空间向量基本定理． (2)基底、基向量． (3)单位正交基底、正交分解． 2．方法归纳：数形结合、化归转化． 3．常见误区：转化目标不清，表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义． ◎随堂演练 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　) A．{，，} B．{，， } C．{，， } D．{，， } C　解析：只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底． 2.(2025·房山区高二期中)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1中点．设＝a，＝b，＝c，用基底表示向量，则＝(　　) A．a＋b＋c B． a＋b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c B　解析：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选B． 3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一个基底的是(　　) A．a B． b C．c D．p－2q C　解析：因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故p，q，c不共面． 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列关于的表达式中： ①＋＋； ②＋＋； ③＋＋； ④(＋)＋． 正确的个数是 ． 答案：3　解析：＋＋＝＋＝＋AB1≠，②不正确；(＋)＋A1C1＝(＋)＋＝＋＝，④正确；①③正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$